{"id":98,"date":"2020-10-16T17:06:25","date_gmt":"2020-10-16T15:06:25","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/konfidenzintervalle\/"},"modified":"2025-02-25T17:31:35","modified_gmt":"2025-02-25T16:31:35","slug":"konfidenzintervalle","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/konfidenzintervalle\/","title":{"rendered":"Konfidenzintervalle"},"content":{"raw":"<h1>9.0 Einf\u00fchrung<\/h1>\r\nWie im letzten Kapital bereits erw\u00e4hnt, gibt es in der Inferenzstatistik zwei Verfahren, mit deren Hilfe wir aus einer gezogenen Stichprobe die entsprechenden Populationsparameter sch\u00e4tzen k\u00f6nnen. Diese sind:\r\n<ul>\r\n \t<li>Die Punktsch\u00e4tzung<\/li>\r\n \t<li>Die Intervallsch\u00e4tzung.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>Punktsch\u00e4tzung sch\u00e4tzt<\/strong> anhand eines erwartungstreuen Stichprobenkennwerts <strong>einen einzelnen,<\/strong> m\u00f6glichst genauen <strong>N\u00e4herungswert<\/strong> f\u00fcr den gesuchten Populationsparameter. Diese punktgenaue Sch\u00e4tzung trifft jedoch nur sehr selten den tats\u00e4chlichen Populationsparameter.\u00a0 In diesem Kapitel widmen wir uns nun dem zweiten und in der Wissenschaft auch beliebteren Verfahren, der <strong>Intervallsch\u00e4tzung<\/strong>. Diese gibt einen <strong>Bereich<\/strong> vor, in dem der gesuchte Populationsparameter wahrscheinlich liegt.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Punkt- und Intervallsch\u00e4tzung<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nWir wollen herausfinden, wie alt die Kunden unserer Burger-Kette sind. Hierf\u00fcr nutzen wir zwei unterschiedliche Verfahren der Parametersch\u00e4tzung und erhalten entsprechend unterschiedliche Ergebnisse.\r\n<ul>\r\n \t<li>M\u00f6gliches Ergebnis der Punktsch\u00e4tzung: Unsere Kunden haben ein Durchschnittsalter von 26,5 Jahren, der Standardfehler des Sch\u00e4tzers liegt bei 0,75<\/li>\r\n \t<li>M\u00f6gliches Ergebnis der Intervallsch\u00e4tzung: Wir sind uns sehr sicher (\u00fcblicherweise zu 95%), dass das Durchschnittsalter der Kunden zwischen 25,03 und 27,97 Jahren liegt.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nDie Punktsch\u00e4tzung ist dabei vergleichbar mit dem Versuch, mit einem Dartpfeil eine Fliege zu treffen. Das wird nie klappen, aber das Ziel ist es m\u00f6glichst nahe dran zu sein (wie nahe, das sagt uns der Sch\u00e4tzfehler). Die Intervallsch\u00e4tzung entspricht der \u00fcblicheren Methode der Fliegenklatsche, welche eine deutlich h\u00f6here Trefferquote hat. Wir m\u00fcssen hierf\u00fcr n\u00e4mlich nicht wissen, wo genau die Fliege ist, es reicht zu wissen, in welchem Bereich sie sich wahrscheinlich aufh\u00e4lt.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h1>9.1 Intervallsch\u00e4tzung<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Intervallsch\u00e4tzung sch\u00e4tzt auf Basis einer Zufallsstichprobe einen Bereich (ein Intervall), in dem der gesuchte Populationsparameter mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit liegt. Dieser Bereich wird auch <strong>Konfidenzintervall<\/strong> oder Vertrauensintervall genannt.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Gegensatz zur Punktsch\u00e4tzung ist das Ziel des Verfahrens also, keinen bestimmten Punkt anzugeben, sondern einen Bereich zu bestimmen, in dem der Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von z.B. 95% liegt. Wenn wir beispielsweise das durchschnittliche Einkommen sch\u00e4tzen m\u00f6chten, so w\u00fcrden wir bei der Punktsch\u00e4tzung den Mittelwert der Stichprobe von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> <\/span>= 1500\u20ac als Sch\u00e4tzung f\u00fcr den Populationsmittelwert nennen. Bei der Intervallsch\u00e4tzung hingegen geben wir einen Bereich an und k\u00f6nnen somit die Aussage t\u00e4tigen, dass der Populationsmittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 1400\u20ac und 1600\u20ac liegt.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um solch ein Konfidenzintervall zu konstruieren, ben\u00f6tigen wir zun\u00e4chst eine erwartungstreue Punktsch\u00e4tzung, wie beispielsweise den Stichprobenmittelwert, der uns als Ausgangspunkt f\u00fcr unsere Sch\u00e4tzung dient.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-641 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6.png\" alt=\"\" width=\"496\" height=\"215\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im n\u00e4chsten Schritt wird um diesen Punkt herum ein (symmetrisches) Intervall bestimmt. Wie gro\u00df dieses Intervall ist, h\u00e4ngt dabei von der <strong>Wahrscheinlichkeit<\/strong> ab, die wir <strong>selbst im Vorhinein definieren<\/strong>. Wenn wir uns beispielsweise sehr sicher sein wollen, dass unser gesuchter Parameter wirklich in dem Intervall liegt, k\u00f6nnten wir auch das 99%-Konfidenzintervall konstruieren. Dies bedeutet, dass der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% in diesem Bereich liegt, h\u00e4tte aber auch zur Folge, dass das Intervall dadurch gr\u00f6\u00dfer wird (dazu sp\u00e4ter mehr).<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-642 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2.png\" alt=\"\" width=\"505\" height=\"219\" \/>\r\n\r\nDas folgende Video von Five Profs zeigt Ihnen das Konzept der Konfidenzintervalle an einem Beispiel.\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XReLMPOMWAo\">9.1 Konfidenzintervall | Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/XReLMPOMWAo\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um nun zu definieren wie gro\u00df unser Konfidenzintervall ist beziehungsweise wo seine \"Grenzen\" liegen, m\u00fcssen wir jedoch nicht nur die Wahrscheinlichkeit im Vorhinein bestimmen, sondern auch wissen, wie wir aus dieser Wahrscheinlichkeit einen Wertebereich bestimmen k\u00f6nnen. Machen wir hierzu zun\u00e4chst einen kleinen Exkurs in die Welt der Wahrscheinlichkeitsverteilungen.<\/p>\r\n\r\n<h1>9.2 Exkurs Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wahrscheinlichkeitsverteilungen bilden die Auftrittswahrscheinlichkeit (auf der y-Achse) f\u00fcr unterschiedliche Merkmalsauspr\u00e4gungen (auf der x-Achse) ab. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten werden dabei als Zahlen zwischen 0 und 1 angegeben. So wird eine 50% Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Ereignis A als P(A)= 0,5 beschrieben. Wenn man alle Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnet, ergeben diese zusammen 1 (=100%).<\/p>\r\nMan unterscheidet hierbei grunds\u00e4tzlich zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.\r\n<h2>Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h2>\r\nDiskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ordnen diskreten Zufallsvariablen Auftrittswahrscheinlichkeiten zu. Diese Variablen k\u00f6nnen nur eine <strong>endliche oder abz\u00e4hlbare Menge an Auspr\u00e4gungen<\/strong> annehmen.\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<ul>\r\n \t<li>Ergebnisse beim M\u00fcnzwurf oder W\u00fcrfeln<\/li>\r\n \t<li>Geschlecht oder Haarfarbe eines Kindes<\/li>\r\n \t<li>Bestehen \/ Nicht-Bestehen der Statistik-Klausur<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\nUm nun die Auftrittswahrscheinlichkeit einer einzelnen Merkmalsauspr\u00e4gung (wie z.B. x<sub>2<\/sub>) zu bestimmen, m\u00fcssen wir lediglich den Wert an der entsprechenden Stelle der y-Achse in der <strong>Wahrscheinlichkeitsfunktion<\/strong> ablesen. So kann f\u00fcr jede Auspr\u00e4gung eine Auftrittswahrscheinlichkeit bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit aller Auspr\u00e4gungen zusammen betr\u00e4gt immer 100% oder 1. Grafisch betrachtet haben alle Balken zusammen eine H\u00f6he von 1.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-652 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7.png\" alt=\"\" width=\"509\" height=\"239\" \/>\r\n<h2>Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h2>\r\nStetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen hingegen bilden die Auftrittswahrscheinlichkeit von <strong>stetigen Zufallsvariablen<\/strong> ab, welche <strong>unendlich viele Merkmalsauspr\u00e4gungen<\/strong> besitzen.\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n<ul>\r\n \t<li>Weite beim Kugelsto\u00dfen oder Zeit beim Marathon<\/li>\r\n \t<li>Gewicht von K\u00fchen oder Gr\u00f6\u00dfe von B\u00e4umen<\/li>\r\n \t<li>Zeit die Studierende auf YouTube verbringen<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Solch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann beispielsweise in einer <strong>Dichtefunktion<\/strong> abgebildet werden. Sie ist das \u00c4quivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Merkmalen und zeigt mittels einer Kurve an, wo sich die Werte der Zufallsvariable am \u201edichtesten\u201c scharen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-653 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8.png\" alt=\"\" width=\"509\" height=\"240\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Anders als bei diskreten Merkmalen l\u00e4sst sich bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Auftrittswahrscheinlichkeit <strong>einer bestimmten<\/strong> Merkmalsauspr\u00e4gung <strong>nicht<\/strong> bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr eine einzelne Auspr\u00e4gung l\u00e4uft statistisch gesehen gegen Null, da es unendlich viele andere m\u00f6gliche Merkmalsauspr\u00e4gungen gibt und alle M\u00f6glichkeiten zusammen 1 bzw. 100% ergeben m\u00fcssen. Man kann jedoch die Auftrittswahrscheinlichkeiten f\u00fcr einen Bereich von Auspr\u00e4gungen bestimmen. Hierzu berechnen wir ein Integral (=Fl\u00e4che unter der Dichtefunktion) zwischen zwei Punkten und erhalten somit die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr diesen Wertebereich. Die Berechnung von Integralen selbst wird hier in Statistik Grundlagen nicht behandelt und ist auch f\u00fcr die weiteren Verfahren nicht notwendig, da wir uns in der Statistik \u00fcblicherweise mit Tabellen behelfen, dazu aber sp\u00e4ter mehr.<\/p>\r\n&nbsp;\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Dichtefunktion und Netflix<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nDie folgende Dichteverteilung zeigt den Netflix Konsum von Studierenden pro Tag (X-Achse). Aus dieser Grafik l\u00e4sst sich nun die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr bestimmte Bereiche ablesen. Beispielsweise betr\u00e4gt die Fl\u00e4che zwischen 1 und 2 in der unteren Grafik =0,5 (Wie dieses Fl\u00e4che berechnet wird, spielt an dieser Stelle zun\u00e4chst noch keine Rolle). Wir k\u00f6nnen somit sagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ein Wert im Bereich zwischen 1 und 2 auftritt. Anders ausgedr\u00fcckt, bedeutet dies, dass ein zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlter Studierender mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zwischen einer und zwei Stunden Netflix am Tag schaut. Dies ist nat\u00fcrlich nur ein rein fiktives Beispiel...\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-654 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9.png\" alt=\"\" width=\"570\" height=\"265\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n&nbsp;\r\n\r\nDie folgende Tabelle zeigt Ihnen eine \u00dcbersicht \u00fcber die zwei verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilung und worin sie sich unterscheiden:\r\n<table style=\"height: 278px;\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 17px;\">\r\n<td style=\"width: 437.391px; height: 17px;\"><strong>Diskrete Wahrscheinlichkeits-Verteilung<\/strong><\/td>\r\n<td style=\"width: 489.391px; height: 17px;\"><strong>Stetige Wahrscheinlichkeits-Verteilung<\/strong><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 17px;\">\r\n<td style=\"width: 437.391px; height: 17px;\">Endliche Anzahl an Merkmalsauspr\u00e4gungen<\/td>\r\n<td style=\"width: 489.391px; height: 17px;\">Unendliche Anzahl an Merkmalsauspr\u00e4gungen<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 196px;\">\r\n<td style=\"width: 437.391px; height: 156px;\"><img class=\"alignnone size-medium wp-image-657\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1-300x142.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"142\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 489.391px; height: 156px;\"><img class=\"alignnone size-medium wp-image-656\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11-300x142.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"142\" \/><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 35px;\">\r\n<td style=\"width: 437.391px; height: 35px;\">F\u00fcr jede Auspr\u00e4gung kann eine Auftritts-Wahrscheinlichkeit exakt bestimmt werden.<\/td>\r\n<td style=\"width: 489.391px; height: 35px;\">Wahrscheinlichkeit einzelner Auspr\u00e4gungen l\u00e4sst sich nicht exakt bestimmen.<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 53px;\">\r\n<td style=\"width: 437.391px; height: 53px;\">Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Wertebereich l\u00e4sst sich durch Addition der einzelnen Auftritts-Wahrscheinlichkeiten bestimmen.<\/td>\r\n<td style=\"width: 489.391px; height: 53px;\">Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Bereiche von Auspr\u00e4gungen l\u00e4sst sich durch Integrale (=Fl\u00e4che unter der Dichtefunktion) bestimmen.<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Folgenden werden wir uns mit stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen besch\u00e4ftigen. Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die Normalverteilung. Sie kommt in der Natur besonders h\u00e4ufig vor und ist Grundlage f\u00fcr die Inferenzstatistik, weshalb eine kurze Wiederholung an dieser Stelle nicht schadet. Die Einleitung zur Normalverteilung findet sich im <a href=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/kennwerte\/#chapter-39-section-12\">Kapitel 2<\/a>.<\/p>\r\n\r\n<h2>Die Normalverteilung<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Normalverteilung besitzt eine zentrale Bedeutung f\u00fcr die nachfolgenden Sch\u00e4tz- und Testverfahren in der Inferenzstatistik. Oft wird sie auch als Gau\u00df-Kurve oder Gau\u00dfsche Glockenkurve bezeichnet. Ihre glockenf\u00f6rmige Form muss dabei keineswegs immer gleich aussehen. Der Verlauf wird durch die beiden Parameter \u00b5 (Mittelwert) und \u03c3 (Standardabweichung) eindeutig bestimmt. Dadurch variiert die Normalverteilung in ihrer Form abh\u00e4ngig von diesen beiden Werten. Was jedoch gleich bleibt, ist ihre Symmetrie, sodass der Mittelwert, Modus und Median immer auf denselben Wert zusammenfallen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-658 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12.png\" alt=\"\" width=\"523\" height=\"292\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Normalverteilung kann nicht nur graphisch veranschaulicht werden, sondern auch in einer Dichtefunktion ausgedr\u00fcckt werden. Diese Funktion beschreibt eine Schar von Verteilungen, die sich hinsichtlich \u00b5 und \u03c3 unterscheiden. Wie bei allen stetigen Verteilungen kann man bei der Normalverteilung die Auftrittswahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Wertebereich bestimmen. Um zu ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs eintreten, berechnet man normalerweise Integrale (=die Fl\u00e4che unter der Dichtefunktion). Die Dichtefunktion f\u00fcr die Normalverteilung lautet:<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\"><img class=\"size-medium wp-image-659 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/13-300x59.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"59\" \/>\r\nDoch keine Sorge, diese Formel werden Sie nicht brauchen um Inferenzstatistik zu betreiben. Denn bei <span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">der Normalverteilung sind, im Gegensatz zu anderen unbestimmten stetigen Verteilungen, die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Werte in bestimmten Intervallen auftreten, immer gleich. Dies vereinfacht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr Intervalle erheblich. Beispielsweise liegen zwischen den zwei Wendepunkten der Normalverteilung (also \u03bc \u00b1 \u03c3) immer ca. 68,27% der Werte.\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-662 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-1024x339.png\" alt=\"\" width=\"728\" height=\"241\" \/><\/span><\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Wahrscheinlichkeitsberechnung noch einfacher zu machen, k\u00f6nnen wir die Normalverteilung durch eine z-Standardisierung in eine Standardnormalverteilung transformieren. Dies kann man mit jeder Normalverteilung (aber auch nur einer solchen!) durchf\u00fchren. Dadurch erhalten wir eine immer gleiche Verteilung mit dem Mittelwert \u00b5 = 0 und der Standardabweichung \u03c3 = 1. Ebenso wie bei der Normalverteilung ist es bei der Standardnormalverteilung festgelegt, wie viel Prozent der Werte in einem bestimmten Bereich auftreten. Nun h\u00e4ngt dieser Bereich jedoch nicht mehr von \u00b5 und \u03c3 ab, sondern ist standardisiert.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-665 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-1024x485.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"485\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">So liegen im Wertebereich zwischen z = -1 und z = +1 immer ca. 68,27% der Werte. Oder anders ausgedr\u00fcckt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,27% liegt der Wert in dem Bereich zwischen -1 und +1.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch nun genug von der Theorie. Wie sieht das Ganze in der Praxis aus? Wie k\u00f6nnen wir solche Intervalle aus Tabellen ablesen? Schauen wir uns dies an einem Beispiel an:<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Nehmen wir an, wir haben eine Maschine gekauft die Burger-Patties in gro\u00dfen Mengen herstellen kann. Die Maschine ist jedoch nicht sehr akkurat und so schwankt die Dicke der Fleischscheiben mit einer Standardabweichung von 10mm um den Mittelwert von 40mm herum (Es handelt sich um unsere gro\u00dfen XXL-Burger). Wir nehmen bei der Verteilung der Dicke eine Normalverteilung an. Damit haben wir eine Normalverteilung mit \u00b5=40mm und \u03c3=10mm gegeben. Nun m\u00f6chten wir herausfinden, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Burger-Patty mit einer Dicke von 35 - 42 mm produziert wird (oder mathematisch ausgedr\u00fcckt: P(35 \u2264 X \u2264 42) ). Graphisch k\u00f6nnten wir die Aufgabe wie folgt abbilden:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-666 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-1024x361.png\" alt=\"\" width=\"616\" height=\"217\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der erste Schritt w\u00e4re diese Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung zu \u00fcberf\u00fchren, um dadurch die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Wertebereich in einer Tabelle auslesen zu k\u00f6nnen. Durch die z-Standardisierung werden so unsere Bereichsgrenzen (35 und 42mm) in z-Werte umgewandelt:<\/p>\r\n<img class=\"wp-image-1848 size-full aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung.png\" alt=\"\" width=\"832\" height=\"504\" \/>\r\n\r\nGraphisch betrachtet w\u00fcrde sich unser gesuchter Bereich nun wie folgt \u00e4ndern:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-667 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-1024x363.png\" alt=\"\" width=\"657\" height=\"233\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir berechnen also die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Bereich von z = -0,5 bis z = 0,2. Dazu benutzen wir die schon erw\u00e4hnten Tabellen, die Dichteeigenschaften der Standardnormalverteilung beinhalten. In diesem Tabellen haben flei\u00dfige Statistiker bereits alle \u00fcblichen Integrale unter der Standardnormalverteilung f\u00fcr Sie berechnet und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten angegeben. Sie finden diese im Anhang zu diesem Buch oder jedem anderen Statistik-Lehrbuch oder im Internet. Schauen wir uns zun\u00e4chst ihren Aufbau an. In der obersten Zeile und Spalte sehen wir die z-Werte. In den \u00fcbrigen Zellen ist die Wahrscheinlichkeit abgebildet, dass ein solcher oder kleiner z-Wert auftritt.\u00a0<span style=\"font-size: 18.6667px;\">Was einer Fl\u00e4che von -<\/span><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" style=\"font-size: 18.6667px;\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty \" aria-hidden=\"true\" \/><span style=\"font-size: 18.6667px;\"> bis z entspricht.\u00a0<\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">F\u00fcr d<\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">iese Wahrscheinlichkeiten bei der Standardnormalverteilung wird in der Literatur oft der griechische Buchstaben <\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">\u03a6 (<\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">phi) angegeben, welchen wir im Folgenden hier auch verwenden werden. <\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">\u00a0Die Wahrscheinlichkeit, dass z = 0,2 oder ein kleinerer Wert auftritt, ist beispielsweise \u03a6(0,2) = 0,5793 (=57,93%).<\/span><\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-669 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-1024x426.png\" alt=\"\" width=\"834\" height=\"347\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie Ihnen bestimmt aufgefallen ist, werden nicht alle z-Werte in der Tabelle aufgef\u00fchrt, sondern nur die Positiven. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines negativen z-Wertes erfahren m\u00f6chten, m\u00fcssen wir deshalb einen Zwischenschritt machen. Es gilt:<\/p>\r\n\u03a6(-z) = 1 - \u03a6(z)\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Beispiel m\u00f6chten wir die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr unsere untere Intervallgrenze mit z=-0,5 ausrechnen. Deshalb rechnen wir: \u03a6(-0,5) = 1 - \u03a6(0,5) = 1 - 0,6915 = 0,3085 (=30,85%)<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Kommen wir nun zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit unseres Bereichs. Dazu m\u00fcssen wir von der Wahrscheinlichkeit, dass z = 0,2 oder ein kleiner Wert auftritt (roter Bereich unter der Kurve) die Wahrscheinlichkeit, dass z = -0,5 oder ein kleinerer Wert auftritt (schwarz schraffierter Bereich unter der Kurve) subtrahieren.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-670 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-1024x634.png\" alt=\"\" width=\"557\" height=\"345\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir zur\u00fcck auf unsere Aufgabenstellung schauen, so k\u00f6nnen wir nun sagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 27,08% ein Burger-Patty mit einer Dicke zwischen 35mm und 42mm von unserer Maschine produziert wird.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Mithilfe solcher Tabellen k\u00f6nnen wir nicht nur Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr Intervalle bestimmen, sondern alle m\u00f6glichen Aufgabenstellungen berechnen. Im Folgenden finden Sie eine kleine \u00dcbersicht \u00fcber solche Aufgabenstellungen und ihre mathematische Herangehensweise:<\/p>\r\n\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 48px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">P(z<sub>1<\/sub> \u2264 X \u2264 z<sub>2<\/sub>)<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">= \u03a6(z<sub>2<\/sub>) - \u03a6(z<sub>1<\/sub>)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">P(X \u2264 z)<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">= \u03a6(z)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">P(X \u2265 z)<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">= 1 - \u03a6(z)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Rechenbeispiele f\u00fcr Intervalle<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nNehmen wir als Beispiel nochmal unsere bereits erw\u00e4hnte Burger-Maschine. Diese produziert Burger-Patties mit einem Erwartungswert von \u03bc = 40mm und \u03c3 = 10mm. Wir setzen eine Normalverteilung voraus.\r\n\r\n1. Wie wahrscheinlich ist es, dass unser Burger-Patty kleiner als 30mm ist?\r\n\r\n&nbsp;\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Zun\u00e4chst machen wir eine z-Standardisierung:<\/p>\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\"><img class=\"wp-image-671 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/21.png\" alt=\"\" width=\"148\" height=\"52\" \/><\/p>\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Nun rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus:\u00a0 \u00a0 P(X &lt; -1) = \u03a6(-1) = 1 \u2013 \u03a6(1) = 1 \u2013 0,8413 = 0,1587<\/p>\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass unser Burger-Patty kleiner als 30mm ist, betr\u00e4gt 15,87%.<\/p>\r\n&nbsp;\r\n\r\n2. Wie wahrscheinlich ist es, dass unser Burger-Patty gr\u00f6\u00dfer als 45mm ausf\u00e4llt?\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Zun\u00e4chst machen wir eine z-Standardisierung:<\/p>\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\"><img class=\"wp-image-672 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/22.png\" alt=\"\" width=\"123\" height=\"45\" \/><\/p>\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Nun rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus:\u00a0 \u00a0P(X &gt; 0,5) = 1 \u2013 \u03a6(0,5) = 1 \u2013 0,6915 = 0,3085<\/p>\r\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Unser Brett f\u00e4llt mit einer Wahrscheinlichkeit von 30,85% gr\u00f6\u00dfer als 45mm aus.<\/p>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2>Fazit des Exkurses<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Ziel des Exkurses war es Ihnen aufzuzeigen, welche Verteilungsformen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung existieren und wie man mit ihrer Hilfe Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen kann. So k\u00f6nnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr ein bestimmtes Intervall angeben oder ein Intervall bestimmen, welches eine bestimmte Wahrscheinlichkeit besitzt.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Kommen wir jedoch zur\u00fcck zu unserem urspr\u00fcnglichen Thema: der Intervallsch\u00e4tzung. Ihr Ziel ist es einen Bereich zu sch\u00e4tzen, in dem ein gesuchter Populationsparameter mit einer vordefinierten Wahrscheinlichkeit liegt. Hierzu m\u00fcssen wir, wie wir soeben gesehen haben, die Verteilung der Daten kennen. In der Praxis stellt jedoch genau das ein Problem dar. Oftmals ist die Verteilung der Daten in der Grundgesamtheit unbekannt, wodurch Wahrscheinlichkeitsaussagen theoretisch nicht m\u00f6glich w\u00e4ren. Um dennoch eine Intervallsch\u00e4tzung vornehmen zu k\u00f6nnen, hilft uns das zentrale Grenzwerttheorem.<\/p>\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch5.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>\r\n<h1>9.3 Zentrales Grenzwerttheorem<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Das zentrale Grenzwerttheorem besagt, dass <strong>unabh\u00e4ngig<\/strong> <strong>von der Verteilung der Daten<\/strong> in der Grundgesamtheit die <strong>Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte<\/strong> mit wachsendem Stichprobenumfang in eine <strong>Normalverteilung<\/strong> \u00fcbergeht.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Was bedeutet dies genau? Stellen sie sich folgende Populationsverteilung vor:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-673 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-1024x485.png\" alt=\"\" width=\"488\" height=\"231\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun ziehen wir aus dieser Population (hypothetisch) unendlich viele Stichproben und berechnen f\u00fcr jede Stichprobe den Mittelwert. Wenn wir diese Mittelwerte daraufhin in einer Verteilung abbilden, erhalten wir eine Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte, die wie folgt aussieht:<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\"><img class=\"aligncenter wp-image-674 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-1024x543.png\" alt=\"\" width=\"472\" height=\"251\" \/>\r\nHeureka! Wir sehen, dass die Stichprobenkennwerteverteilung einer Normalverteilung entspricht und nicht wie die urspr\u00fcngliche Datenverteilung aussieht. Dies passiert, da der Mittelwert als erwartungstreuer Sch\u00e4tzer zuf\u00e4llig um den wahren Populationsmittelwert \u03bc schwankt und dadurch bei gen\u00fcgend vielen oder gen\u00fcgend gro\u00dfen Stichproben automatisch eine Normalverteilung abbildet. Aus diesem Grund k\u00f6nnen wir bei einer gen\u00fcgend gro\u00dfen Stichprobe eine Normalverteilung f\u00fcr die Stichprobenkennwerteverteilung unterstellen, obwohl wir die eigentliche Verteilung der Daten nicht kennen. Gen\u00fcgend gro\u00dfe Stichprobe bedeutet dabei \u00fcblicherweise mindestens n &gt; 30. Diese Zahl ist jedoch eine Konvention in der Wissenschaft (also ein Wert, auf den man sich in der gelebten Praxis geeinigt hat) und kein Bestandteil des Grenzwerttheorems selbst.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wichtig zu beachten ist hierbei, dass das zentrale Grenzwerttheorem <strong>nur<\/strong> <strong>f\u00fcr die Kennwerteverteilung der Mittelwerte<\/strong> gilt. Bei anderen Kennwerten wie z.B. dem Median, der Standardabweichung oder des Prozentwerts h\u00e4ngt die Verteilungsform auch bei gr\u00f6\u00dferen Stichproben von der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit ab.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um f\u00fcr Sie das zentrale Grenzwerttheorem noch einmal zu veranschaulichen, zeigen Ihnen die folgenden Videos die Thematik anhand praktischer Beispiele:<\/p>\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XtLMd7RUpoc\">9.2 Konfidenzintervall | Zentrales Grenzwerttheorem<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/XtLMd7RUpoc\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/dARw1r_Y3dI\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Da wir nun dank des zentralen Grenzwerttheorems von einer Normalverteilung bei der Kennwerteverteilung der Mittelwerte ausgehen k\u00f6nnen, haben wir die Frage um die Verteilungsform gekl\u00e4rt und k\u00f6nnen somit zum n\u00e4chsten Schritt \u00fcbergehen: Der Konstruktion eines (symmetrischen) <strong>Konfidenzintervalls<\/strong>, um sagen zu k\u00f6nnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Parameter (z.B. \u03bc ) zu erwarten ist, wenn man einen bestimmten Mittelwert in einer Stichprobe findet.<\/p>\r\n\r\n<h1>9.4 Konfidenzintervalle berechnen<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Das <strong>Konfidenzintervall<\/strong> ist ein Intervall, in dem der gesuchte Populationsparameter mit einer bestimmten (und im Vorhinein festgelegten) Wahrscheinlichkeit liegt. Die festgelegte Wahrscheinlichkeit wird auch als <strong>Konfidenzkoeffizient<\/strong> bezeichnet und betr\u00e4gt beispielsweise 95%. Gegenst\u00fcck zum Konfidenzkoeffizienten ist die <strong>Gegenwahrscheinlichkeit<\/strong> <strong>\u03b1.\u00a0<\/strong>Sie ist der Fehler, den wir bereit sind einzugehen und betr\u00e4gt bei einem 95%-Konfidenzkoeffizienten = 5%. Es gilt somit: Konfidenzkoeffizient = 1 - \u03b1.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Logik des Konfidenzintervalls besser zu verstehen, n\u00e4hern wir uns seiner Konstruktion mit Hilfe eines Beispiels. Nehmen wir an, wir m\u00f6chten die durchschnittliche YouTube-Nutzungsdauer pro Tag mit einer 95%-Wahrscheinlichkeit bestimmen. Daf\u00fcr nehmen wir eine repr\u00e4sentative Stichprobe von 100 Personen und k\u00f6nnen aufgrund der ausreichend gro\u00dfen Stichprobe (n&gt;30) eine Normalverteilung unterstellen.\r\nAusgangspunkt unseres 95%-Konfidenzintervalls ist eine erwartungstreue Punktsch\u00e4tzung, die durch unseren Stichprobenmittelwert (<span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 40 Minuten pro Tag) gegeben ist.<\/span><\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-675 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25.png\" alt=\"\" width=\"511\" height=\"228\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Jetzt fehlt nur noch das symmetrische Intervall um diese Punktsch\u00e4tzung herum. Hierf\u00fcr ziehen wir unsere Erkenntnisse aus unserem Exkurs zu Rate. Dort haben wir gelernt, dass in einer Normalverteilung festgelegt ist, wie viel Prozent der Werte in einem bestimmten Bereich auftreten. Genau dasselbe gilt auch f\u00fcr unsere Verteilung der Mittelwerte, die aufgrund des zentralen Grenzwerttheorems ebenfalls eine Normalverteilung widerspiegelt. Unsere Aufgabe ist es nun den Bereich in der Normalverteilung zu bestimmen, in dem 95% der Werte liegen. Wichtig dabei ist, dass der Bereich symmetrisch sein soll und demensprechend unsere Punktsch\u00e4tzung im Mittelpunkt liegen muss.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-677 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1.png\" alt=\"\" width=\"641\" height=\"183\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie wir in der Grafik sehen, teilt sich aufgrund der Symmetrie des Intervalls die Gegenwahrscheinlichkeit \u03b1 in zwei H\u00e4lfen auf. In unserem Beispiel liegt somit die 5%-Gegenwahrscheinlichkeit nicht auf einer Seite, sondern teilt sich in jeweils 2,5% auf beiden Seiten auf. Wenn wir also die Grenzen unseres 95%-Konfidenzintervalls definieren m\u00f6chten, m\u00fcssen wir wissen bis zu welchem Punkt 2,5% unserer Werte liegen und bis zu welchem Punkt 97,5% unserer Werte liegen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-678 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27.png\" alt=\"\" width=\"584\" height=\"198\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Ebenso wie im Exkurs ziehen wir hierzu die Tabellen heran, in denen die Wahrscheinlichkeit abgebildet ist, dass ein bestimmter oder kleinerer z-Wert auftritt. Dort suchen wir nun den z-Wert, der die Wahrscheinlichkeit von 97,5% (=0,975) aufweist.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-679 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-1024x596.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"596\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir sehen, dass ein z-Wert von z=1,96 die gegebene Wahrscheinlichkeit besitzt. Doch wie finden wir den z-Wert heraus, bis zu dem 2,5% der Werte liegen? Durch die Symmetrie der Normalverteilung m\u00fcssen wir lediglich das Vorzeichen \u00e4ndern, um die entsprechenden z-Wert zu bestimmen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-680 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29.png\" alt=\"\" width=\"547\" height=\"214\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir eine Standardnormalverteilung h\u00e4tten, w\u00e4ren wir an diesem Schritt fertig. Unser 95%-Konfidenzintervall w\u00fcrde einen Bereich von [-1,96 ; +1,96] abdecken. Um jedoch die eigentliche Aufgabenstellung zu beantworten, hilft uns dieses Wissen nur wenig. Damit wir unseren Mittelwert der YouTube-Nutzungsdauer eingrenzen k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir die Grenzen der Standardnormalverteilung auf unsere Stichprobenmittelwertverteilung \u00fcbertragen. Da sie jedoch nicht standardisiert ist und damit von \u03bc (bzw. in unserer Sch\u00e4tzung von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/>)<\/span> \u00a0und \u03c3 abh\u00e4ngt, m\u00fcssen wir unser bisheriges Intervall um diese Variablen erg\u00e4nzen. Dadurch wird aus unserem [-1,96 ; +1,96] Intervall ein Bereich, welcher folgende Grenzen enth\u00e4lt:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-682 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1.png\" alt=\"\" width=\"498\" height=\"455\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Jetzt m\u00fcssen wir nur noch <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> und \u03c3<sub>x<\/sub><\/span> eintragen und schon haben wir die Grenzen unseres Konfidenzintervalls definiert. <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> ist mit 40 Minuten pro Tag bereits bekannt, die Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung m\u00fcssen wir hingegen noch ausrechnen. Wer sich an das letzte Kapitel erinnert, wei\u00df, dass die Formel hierf\u00fcr wie folgt lautet:<\/span><\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-683 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-1024x229.png\" alt=\"\" width=\"688\" height=\"154\" \/>\r\n\r\nNehmen wir an, dass die Populationsvarianz mit \u03c3<sup>2<\/sup> = 400 bekannt ist, sodass wir alle n\u00f6tigen Variablen einsetzen k\u00f6nnen. So erhalten wir folgenden Standardfehler:\r\n\r\n<img class=\"wp-image-687 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34.png\" alt=\"\" width=\"145\" height=\"75\" \/>\r\n\r\nNun k\u00f6nnen wir die Grenzen unseres Konfidenzintervalls berechnen:\r\n<p style=\"text-align: center;\"><img class=\"wp-image-902 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3-291x300.png\" alt=\"\" width=\"551\" height=\"568\" \/><\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen wir aussagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% die durchschnittliche YouTube-Nutzungsdauer in der Grundgesamtheit zwischen 36,08 Minuten und 43,92 Minuten liegt.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Allgemein formuliert lautet die Formel f\u00fcr ein beidseitiges Konfidenzintervall f\u00fcr den Parameter \u03bc mit der Wahrscheinlichkeit 1- \u00a0\u03b1 (wenn die <strong>Populationsvarianz bekannt<\/strong> ist und eine <strong>Normalverteilung<\/strong> unterstellt werden kann) wie folgt:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-684 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/32.png\" alt=\"\" width=\"588\" height=\"80\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Rechenbeispiel Konfidenzintervall<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nAn einer repr\u00e4sentativen Stichprobe von 100 Personen wird ein Test zur Ermittlung der Koordinationsf\u00e4higkeit durchgef\u00fchrt. Die Testleistungen haben einen Mittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span> \u00a0= 80 und die Populationsvarianz wird auf \u03c3<sup>2 <\/sup>= 400 gesch\u00e4tzt.\r\n\r\nNun m\u00f6chten wir herausfinden, in welchem Bereich \u03bc mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt.\r\n\r\nZun\u00e4chst bestimmen wir den z-Wert an unserer oberen Intervallgrenze: Da wir ein 95%-Konfidenzintervall berechnen m\u00f6chten, interessiert uns der z-Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% (1-\u03b1\/2). Wenn wir in die Tabelle schauen, sehen wir, dass 1,96 der gesuchte z-Wert ist.\r\n\r\nAls N\u00e4chstes rechnen wir den Standardfehler des Mittelwertes aus: <img class=\"alignnone wp-image-687\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34.png\" alt=\"\" width=\"121\" height=\"63\" \/>\r\n\r\nNun setzen wir die berechneten Variablen in die Formel f\u00fcr die Intervallgrenzen ein:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-805 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37.png\" alt=\"\" width=\"415\" height=\"370\" \/>\r\n\r\nMit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt \u03bc zwischen 76,08 und 83,92.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nWir haben jedoch nicht immer den Luxus die Populationsvarianz zu kennen. In manchen F\u00e4llen m\u00fcssen wir aus diesem Grund den <strong>Standardfehler<\/strong> <strong>des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts<\/strong> auf Basis der Stichprobenvarianz mittels folgender Formel sch\u00e4tzen:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-704 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1024x292.png\" alt=\"\" width=\"793\" height=\"226\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen Konfidenzintervalle mit T-Verteilung<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nIst die Populationsvarianz nicht bekannt, entspricht die Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwerts zudem nicht mehr einer Normalverteilung, sondern eher einer t-Verteilung. Aus diesem Grund muss man statt der z-Werte, die wir bei der Normalverteilung ablesen, die Werte f\u00fcr die t-Verteilung benutzen. Beim Ablesen sollte jedoch beachtet werden, dass es f\u00fcr jede Stichprobengr\u00f6\u00dfe eine eigene t-Verteilung gibt. Das beidseitige Konfidenzintervall lautet nun:\r\n\r\n<img class=\" wp-image-707 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-300x44.png\" alt=\"\" width=\"470\" height=\"69\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um das Thema Konfidenzintervalle im Gesamten anhand eines anschaulichen Beispiels besser nachvollziehen zu k\u00f6nnen, stehen Ihnen die folgenden Videos zur Verf\u00fcgung. Sie bauen aufeinander auf, weshalb es sich lohnt, sie in der vorgegebenen Reihenfolge anzuschauen.<\/p>\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/94TtjKS85SE\">9.4 Konfidenzintervall | Konstruktion des Konfidenzintervalls<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/94TtjKS85SE\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/bhQ233iU-zM\">9.5 Konfidenzinterval | Bestimmung des Konfidenzkoeffizienten<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/bhQ233iU-zM\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/9AL8ZnMv-kM\">9.6 Konfidenzintervall | Berechnung des Konfidenzintervalls<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/9AL8ZnMv-kM\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/f97yHPmPxl4\">9.7 Konfidenzintervall | Rechen-Beispiel<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/f97yHPmPxl4\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In diesem Buchkapitel haben Sie gelernt, auf welcher Logik die Intervallsch\u00e4tzung basiert und wie Sie Konfidenzintervalle f\u00fcr den Mittelwert ausrechnen k\u00f6nnen. Man kann jedoch auch andere Parameter mittels Konfidenzintervalle sch\u00e4tzen, wie z.B. die Varianz, Standardabweichung, H\u00e4ufigkeiten und noch einige mehr. Die Formeln weichen hierf\u00fcr zum Teil erheblich von der ab, die Sie f\u00fcr den Mittelwert gelernt haben. In der Praxis wird bei der Berechnung von Konfidenzintervallen f\u00fcr solche Kennwerte jedoch meist gar kein mathematisches Verfahren genutzt, sondern das sogenannte Bootstrapping durchgef\u00fchrt. Das Bootstrapping-Verfahren werden wir zum Abschluss dieses Kapitels noch genauer besprechen, zun\u00e4chst wollen wir uns jedoch der Berechnung des Konfidenzintervalls in SPSS widmen.<\/p>\r\n\r\n<h1>9.5 Konfidenzintervalle in Jamovi berechnen und (grafisch) ausgeben<\/h1>\r\nKonfidenzintervalle f\u00fcr den Mittelwert sowie der Standardfehler lassen sich in Jamovi einfach berechnen. Dies erfolgt \u00fcber das Men\u00fc\r\n\r\n<em><strong>Analyse &gt; Erforschung &gt; Deskriptive Statistiken<\/strong><\/em>\r\n\r\nHier k\u00f6nnen die interessierenden Variablen in das Feld \"Abh\u00e4ngige Variablen\" gezogen werden. Standardm\u00e4\u00dfig gibt Jamovi den Mittelwert sowie den Standardabweichung aus. Mit einem Klick auf \"Std.-Fehler des Mittelwerts\" kann einfach noch der Standardfehler ausgegeben werden.\r\n\r\nZus\u00e4tzlich k\u00f6nnen Konfidenzintervalle \u00fcber die Option \"Konfidenzintervall f\u00fcr Mittelwert\" berechnet werden. Das Standardintervall betr\u00e4gt 95%, kann aber bei Bedarf angepasst werden.\r\n\r\nEine grafische Darstellung von Konfidenzintervallen ist in Jamovi \u00fcber das Men\u00fc\r\n\r\n<em><strong>A<\/strong><strong>nalysen &gt; t-Tests &gt; t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/strong><\/em>\r\n\r\nm\u00f6glich. Hier kann der Diagrammtyp \"Deskriptive Diagramme\" gew\u00e4hlt werden, um die Konfidenzintervalle visuell darzustellen. Dies geht jedoch nur f\u00fcr eine metrische Variable aufgeteilt in genau zwei Gruppen. Wie das genau geht wird auch im folgenden Video gezeigt.\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/RAgHysj_V5s\r\n<h1>9.6 Konfidenzintervalle in SPSS berechnen und (grafisch) ausgeben<\/h1>\r\nKonfidenzintervalle f\u00fcr den Mittelwert sowie der Standardfehler lassen sich in SPSS recht einfach ausgeben. Hierf\u00fcr gehen Sie in folgendes Men\u00fc:\r\n\r\n<em><strong>Analysieren &gt; Deskriptive Statistiken &gt; Explorative Datenanalyse.<\/strong><\/em>\r\n\r\nSie ziehen die interessierende Variable einfach in das Feld <em>Abh\u00e4ngige Variable <\/em>und k\u00f6nnen bei Bedarf noch im Feld <em>Faktorenliste<\/em> eine Gruppierungsvariable ausw\u00e4hlen um z.B. die Konfidenzintervalle getrennt f\u00fcr M\u00e4nner und Frauen berechnen zu lassen. Standardm\u00e4\u00dfig wird Ihnen hierbei der Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts sowie das 95%-Konfidenzintervall ausgegeben. Weitere Konfidenzintervalltypen k\u00f6nnen Sie mit einem Klick auf <em>Statistiken<\/em> einstellen. Das folgende Video zeigt dies an einem Beispiel.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/c33xyj27UhE\">Video 9.10 Konfidenzintervalle und Standardfehler in SPSS berechnen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/c33xyj27UhE\r\n\r\nKonfidenzintervalle lassen sich in SPSS auch sehr sch\u00f6n graphisch visualisieren. Hierzu dient der \u00fcbliche Diagramm-Assistent, der in folgendem Men\u00fc zu finden ist:\r\n\r\n<em>Grafik &gt; Diagrammerstellung.<\/em>\r\n\r\nHierbei sollte der Diagrammtyp <em>Einfache Fehlerbalken<\/em> ausgew\u00e4hlt werden, welcher als Standardeinstellung bereits das 95%-Konfidenzintervall anzeigt. Das folgende Video zeigt dies wieder an einem Beispiel:\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/pRtKwYXtBRs\">Video 9.11 Konfidenzintervalle grafisch in SPSS darstellen und berechnen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/pRtKwYXtBRs\r\n<h1>9.7 Konfidenzintervalle mit dem Bootstrapping Verfahren<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Bootstrapping ist eine M\u00f6glichkeit, mithilfe schierer Rechenleistung, daf\u00fcr fast ganz ohne Mathematik, Konfidenzintervalle zu generieren. Hierbei werden aus einer bestehenden Stichprobe sehr viele (meist \u00fcber 1000) neue Stichproben generiert und daraus eine \"echte\" Kennwerteverteilung generiert, aus der man das Intervall direkt ablesen kann. Dies hat den Vorteil, dass das Verfahren nicht auf der Annahme der Normalverteilung der Stichproben-Kennwerteverteilung basiert und daher auch f\u00fcr kleine Stichproben nutzbar ist. Doch wie erzeugt ein PC Programm (wie SPSS) aus nur einer Stichprobe mehrere tausend neue Stichproben? Das Geheimnis dabei ist, dass diese neuen Stichproben mit zur\u00fccklegen gezogen werden. Nehmen wir an, die Ursprungsstichprobe beinhaltet 10 Personen. SPSS generiert nun daraus neue Stichproben bei der jedes Mal eine Person gezogen wird und jede der 10 Personen immer die gleiche Chance hat gezogen zu werden (n\u00e4mlich1\/10). Dadurch kann eine Person mehrmals in einer Stichprobe landen oder im Extremfall eine Stichprobe aus nur einer einzigen Person bestehen, die zuf\u00e4llig zehn Mal hintereinander gezogen wurde. Das folgende Video veranschaulicht dieses Verfahren:<\/p>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/JU5m-aPrNJw\">Video 9.8 Konfidenzintervalle mit dem Bootstrapping Verfahren<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/JU5m-aPrNJw\r\n<h1>9.8 Konfidenzintervalle mit dem Bootstrapping Verfahren in SPSS berechnen<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Berechnung von Bootstrapping Konfidenzintervallen l\u00e4sst sich in SPSS sehr komfortabel f\u00fcr fast alle Kennwerte aktivieren. Hierf\u00fcr muss nur im jeweiligen Men\u00fc der Button <em><strong>Bootstrap<\/strong><\/em> gedr\u00fcckt werden und auf <em><strong>Bootstrapping durchf\u00fchren<\/strong><\/em> geklickt werden. In der Praxis bietet sich das sog. BCa (Bias-Corrected and Accelerated) Verfahren an, da dieses schneller l\u00e4uft und auch eine robustere Absch\u00e4tzung f\u00fcr das Konfidenzintervall liefert. Das folgende Video zeigt die Durchf\u00fchrung in SPSS.<\/p>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/IZ143upky6U\">Video 9.9 Konfidenzintervalle mit Bootstrapping in SPSS<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/IZ143upky6U\r\n<h1>9.9 \u00dcbungsfragen<\/h1>\r\nBei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!\r\n\r\n[h5p id=\"103\"]\r\n[h5p id=\"104\"]\r\n[h5p id=\"105\"]\r\n\r\n[h5p id=\"63\"]\r\n\r\nIn diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!\r\n\r\n[h5p id=\"27\"]\r\n\r\n[h5p id=\"28\"]\r\n\r\n[h5p id=\"108\"]\r\n<h1>9.10 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\r\n<div><header>\r\n<h2>\u00dcbungsaufgabe 1<\/h2>\r\n<\/header><\/div>\r\nWir haben eine Stichprobe von n=40 Burgerkunden nach Ihrem Alter gefragt und wollen hieraus eine Intervallsch\u00e4tzung f\u00fcr das Alter in der Population berechnen. Wir haben in der Stichprobe einen Mittelwert von 23,5 Jahren und einen Standardfehler von 0,55.\r\n\r\nWie ist das 90- und 95-Prozent Konfidenzintervall f\u00fcr das Alter unserer Burgerkunden?\r\n\r\nDie L\u00f6sung finden Sie Schritt-f\u00fcr-Schritt im folgendem Video:\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/cTEZ_HscUL0\r\n\r\n<header><\/header>&nbsp;\r\n<h2>\u00dcbungsaufgabe 2<\/h2>\r\nBitte interpretieren Sie folgenden Output:\r\n[h5p id=\"65\"]\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>","rendered":"<h1>9.0 Einf\u00fchrung<\/h1>\n<p>Wie im letzten Kapital bereits erw\u00e4hnt, gibt es in der Inferenzstatistik zwei Verfahren, mit deren Hilfe wir aus einer gezogenen Stichprobe die entsprechenden Populationsparameter sch\u00e4tzen k\u00f6nnen. Diese sind:<\/p>\n<ul>\n<li>Die Punktsch\u00e4tzung<\/li>\n<li>Die Intervallsch\u00e4tzung.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>Punktsch\u00e4tzung sch\u00e4tzt<\/strong> anhand eines erwartungstreuen Stichprobenkennwerts <strong>einen einzelnen,<\/strong> m\u00f6glichst genauen <strong>N\u00e4herungswert<\/strong> f\u00fcr den gesuchten Populationsparameter. Diese punktgenaue Sch\u00e4tzung trifft jedoch nur sehr selten den tats\u00e4chlichen Populationsparameter.\u00a0 In diesem Kapitel widmen wir uns nun dem zweiten und in der Wissenschaft auch beliebteren Verfahren, der <strong>Intervallsch\u00e4tzung<\/strong>. Diese gibt einen <strong>Bereich<\/strong> vor, in dem der gesuchte Populationsparameter wahrscheinlich liegt.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Punkt- und Intervallsch\u00e4tzung<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Wir wollen herausfinden, wie alt die Kunden unserer Burger-Kette sind. Hierf\u00fcr nutzen wir zwei unterschiedliche Verfahren der Parametersch\u00e4tzung und erhalten entsprechend unterschiedliche Ergebnisse.<\/p>\n<ul>\n<li>M\u00f6gliches Ergebnis der Punktsch\u00e4tzung: Unsere Kunden haben ein Durchschnittsalter von 26,5 Jahren, der Standardfehler des Sch\u00e4tzers liegt bei 0,75<\/li>\n<li>M\u00f6gliches Ergebnis der Intervallsch\u00e4tzung: Wir sind uns sehr sicher (\u00fcblicherweise zu 95%), dass das Durchschnittsalter der Kunden zwischen 25,03 und 27,97 Jahren liegt.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die Punktsch\u00e4tzung ist dabei vergleichbar mit dem Versuch, mit einem Dartpfeil eine Fliege zu treffen. Das wird nie klappen, aber das Ziel ist es m\u00f6glichst nahe dran zu sein (wie nahe, das sagt uns der Sch\u00e4tzfehler). Die Intervallsch\u00e4tzung entspricht der \u00fcblicheren Methode der Fliegenklatsche, welche eine deutlich h\u00f6here Trefferquote hat. Wir m\u00fcssen hierf\u00fcr n\u00e4mlich nicht wissen, wo genau die Fliege ist, es reicht zu wissen, in welchem Bereich sie sich wahrscheinlich aufh\u00e4lt.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h1>9.1 Intervallsch\u00e4tzung<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Intervallsch\u00e4tzung sch\u00e4tzt auf Basis einer Zufallsstichprobe einen Bereich (ein Intervall), in dem der gesuchte Populationsparameter mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit liegt. Dieser Bereich wird auch <strong>Konfidenzintervall<\/strong> oder Vertrauensintervall genannt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Gegensatz zur Punktsch\u00e4tzung ist das Ziel des Verfahrens also, keinen bestimmten Punkt anzugeben, sondern einen Bereich zu bestimmen, in dem der Parameter mit einer Wahrscheinlichkeit von z.B. 95% liegt. Wenn wir beispielsweise das durchschnittliche Einkommen sch\u00e4tzen m\u00f6chten, so w\u00fcrden wir bei der Punktsch\u00e4tzung den Mittelwert der Stichprobe von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> <\/span>= 1500\u20ac als Sch\u00e4tzung f\u00fcr den Populationsmittelwert nennen. Bei der Intervallsch\u00e4tzung hingegen geben wir einen Bereich an und k\u00f6nnen somit die Aussage t\u00e4tigen, dass der Populationsmittelwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 1400\u20ac und 1600\u20ac liegt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um solch ein Konfidenzintervall zu konstruieren, ben\u00f6tigen wir zun\u00e4chst eine erwartungstreue Punktsch\u00e4tzung, wie beispielsweise den Stichprobenmittelwert, der uns als Ausgangspunkt f\u00fcr unsere Sch\u00e4tzung dient.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-641\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6.png\" alt=\"\" width=\"496\" height=\"215\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6.png 860w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6-300x130.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6-768x333.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6-65x28.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6-225x98.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-6-350x152.png 350w\" sizes=\"(max-width: 496px) 100vw, 496px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im n\u00e4chsten Schritt wird um diesen Punkt herum ein (symmetrisches) Intervall bestimmt. Wie gro\u00df dieses Intervall ist, h\u00e4ngt dabei von der <strong>Wahrscheinlichkeit<\/strong> ab, die wir <strong>selbst im Vorhinein definieren<\/strong>. Wenn wir uns beispielsweise sehr sicher sein wollen, dass unser gesuchter Parameter wirklich in dem Intervall liegt, k\u00f6nnten wir auch das 99%-Konfidenzintervall konstruieren. Dies bedeutet, dass der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% in diesem Bereich liegt, h\u00e4tte aber auch zur Folge, dass das Intervall dadurch gr\u00f6\u00dfer wird (dazu sp\u00e4ter mehr).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-642\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2.png\" alt=\"\" width=\"505\" height=\"219\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2.png 860w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2-300x130.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2-768x333.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2-65x28.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2-225x98.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/2-350x152.png 350w\" sizes=\"(max-width: 505px) 100vw, 505px\" \/><\/p>\n<p>Das folgende Video von Five Profs zeigt Ihnen das Konzept der Konfidenzintervalle an einem Beispiel.<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XReLMPOMWAo\">9.1 Konfidenzintervall | Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.1 Konfidenzintervall | Einf\u00fchrung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/XReLMPOMWAo?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um nun zu definieren wie gro\u00df unser Konfidenzintervall ist beziehungsweise wo seine &#8222;Grenzen&#8220; liegen, m\u00fcssen wir jedoch nicht nur die Wahrscheinlichkeit im Vorhinein bestimmen, sondern auch wissen, wie wir aus dieser Wahrscheinlichkeit einen Wertebereich bestimmen k\u00f6nnen. Machen wir hierzu zun\u00e4chst einen kleinen Exkurs in die Welt der Wahrscheinlichkeitsverteilungen.<\/p>\n<h1>9.2 Exkurs Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wahrscheinlichkeitsverteilungen bilden die Auftrittswahrscheinlichkeit (auf der y-Achse) f\u00fcr unterschiedliche Merkmalsauspr\u00e4gungen (auf der x-Achse) ab. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten werden dabei als Zahlen zwischen 0 und 1 angegeben. So wird eine 50% Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Ereignis A als P(A)= 0,5 beschrieben. Wenn man alle Wahrscheinlichkeiten zusammenrechnet, ergeben diese zusammen 1 (=100%).<\/p>\n<p>Man unterscheidet hierbei grunds\u00e4tzlich zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.<\/p>\n<h2>Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h2>\n<p>Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ordnen diskreten Zufallsvariablen Auftrittswahrscheinlichkeiten zu. Diese Variablen k\u00f6nnen nur eine <strong>endliche oder abz\u00e4hlbare Menge an Auspr\u00e4gungen<\/strong> annehmen.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen:<\/p>\n<\/header>\n<ul>\n<li>Ergebnisse beim M\u00fcnzwurf oder W\u00fcrfeln<\/li>\n<li>Geschlecht oder Haarfarbe eines Kindes<\/li>\n<li>Bestehen \/ Nicht-Bestehen der Statistik-Klausur<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p>Um nun die Auftrittswahrscheinlichkeit einer einzelnen Merkmalsauspr\u00e4gung (wie z.B. x<sub>2<\/sub>) zu bestimmen, m\u00fcssen wir lediglich den Wert an der entsprechenden Stelle der y-Achse in der <strong>Wahrscheinlichkeitsfunktion<\/strong> ablesen. So kann f\u00fcr jede Auspr\u00e4gung eine Auftrittswahrscheinlichkeit bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit aller Auspr\u00e4gungen zusammen betr\u00e4gt immer 100% oder 1. Grafisch betrachtet haben alle Balken zusammen eine H\u00f6he von 1.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-652\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7.png\" alt=\"\" width=\"509\" height=\"239\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7.png 823w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-300x141.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-768x360.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-65x30.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-225x106.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-350x164.png 350w\" sizes=\"(max-width: 509px) 100vw, 509px\" \/><\/p>\n<h2>Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen<\/h2>\n<p>Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen hingegen bilden die Auftrittswahrscheinlichkeit von <strong>stetigen Zufallsvariablen<\/strong> ab, welche <strong>unendlich viele Merkmalsauspr\u00e4gungen<\/strong> besitzen.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen:<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<ul>\n<li>Weite beim Kugelsto\u00dfen oder Zeit beim Marathon<\/li>\n<li>Gewicht von K\u00fchen oder Gr\u00f6\u00dfe von B\u00e4umen<\/li>\n<li>Zeit die Studierende auf YouTube verbringen<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Solch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann beispielsweise in einer <strong>Dichtefunktion<\/strong> abgebildet werden. Sie ist das \u00c4quivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Merkmalen und zeigt mittels einer Kurve an, wo sich die Werte der Zufallsvariable am \u201edichtesten\u201c scharen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-653\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8.png\" alt=\"\" width=\"509\" height=\"240\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8.png 813w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8-300x141.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8-768x362.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8-65x31.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8-225x106.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/8-350x165.png 350w\" sizes=\"(max-width: 509px) 100vw, 509px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Anders als bei diskreten Merkmalen l\u00e4sst sich bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Auftrittswahrscheinlichkeit <strong>einer bestimmten<\/strong> Merkmalsauspr\u00e4gung <strong>nicht<\/strong> bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr eine einzelne Auspr\u00e4gung l\u00e4uft statistisch gesehen gegen Null, da es unendlich viele andere m\u00f6gliche Merkmalsauspr\u00e4gungen gibt und alle M\u00f6glichkeiten zusammen 1 bzw. 100% ergeben m\u00fcssen. Man kann jedoch die Auftrittswahrscheinlichkeiten f\u00fcr einen Bereich von Auspr\u00e4gungen bestimmen. Hierzu berechnen wir ein Integral (=Fl\u00e4che unter der Dichtefunktion) zwischen zwei Punkten und erhalten somit die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr diesen Wertebereich. Die Berechnung von Integralen selbst wird hier in Statistik Grundlagen nicht behandelt und ist auch f\u00fcr die weiteren Verfahren nicht notwendig, da wir uns in der Statistik \u00fcblicherweise mit Tabellen behelfen, dazu aber sp\u00e4ter mehr.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Dichtefunktion und Netflix<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Die folgende Dichteverteilung zeigt den Netflix Konsum von Studierenden pro Tag (X-Achse). Aus dieser Grafik l\u00e4sst sich nun die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr bestimmte Bereiche ablesen. Beispielsweise betr\u00e4gt die Fl\u00e4che zwischen 1 und 2 in der unteren Grafik =0,5 (Wie dieses Fl\u00e4che berechnet wird, spielt an dieser Stelle zun\u00e4chst noch keine Rolle). Wir k\u00f6nnen somit sagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ein Wert im Bereich zwischen 1 und 2 auftritt. Anders ausgedr\u00fcckt, bedeutet dies, dass ein zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlter Studierender mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zwischen einer und zwei Stunden Netflix am Tag schaut. Dies ist nat\u00fcrlich nur ein rein fiktives Beispiel&#8230;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-654\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9.png\" alt=\"\" width=\"570\" height=\"265\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9.png 824w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9-300x139.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9-768x357.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9-65x30.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9-225x105.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/9-350x163.png 350w\" sizes=\"(max-width: 570px) 100vw, 570px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Die folgende Tabelle zeigt Ihnen eine \u00dcbersicht \u00fcber die zwei verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilung und worin sie sich unterscheiden:<\/p>\n<table style=\"height: 278px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 17px;\">\n<td style=\"width: 437.391px; height: 17px;\"><strong>Diskrete Wahrscheinlichkeits-Verteilung<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 489.391px; height: 17px;\"><strong>Stetige Wahrscheinlichkeits-Verteilung<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 17px;\">\n<td style=\"width: 437.391px; height: 17px;\">Endliche Anzahl an Merkmalsauspr\u00e4gungen<\/td>\n<td style=\"width: 489.391px; height: 17px;\">Unendliche Anzahl an Merkmalsauspr\u00e4gungen<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 196px;\">\n<td style=\"width: 437.391px; height: 156px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-657\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1-300x142.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"142\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1-300x142.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1-768x363.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1-65x31.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1-225x106.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1-350x165.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/10-1.png 794w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 489.391px; height: 156px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-656\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11-300x142.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"142\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11-300x142.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11-768x363.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11-65x31.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11-225x106.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11-350x165.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/11.png 794w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 35px;\">\n<td style=\"width: 437.391px; height: 35px;\">F\u00fcr jede Auspr\u00e4gung kann eine Auftritts-Wahrscheinlichkeit exakt bestimmt werden.<\/td>\n<td style=\"width: 489.391px; height: 35px;\">Wahrscheinlichkeit einzelner Auspr\u00e4gungen l\u00e4sst sich nicht exakt bestimmen.<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 53px;\">\n<td style=\"width: 437.391px; height: 53px;\">Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Wertebereich l\u00e4sst sich durch Addition der einzelnen Auftritts-Wahrscheinlichkeiten bestimmen.<\/td>\n<td style=\"width: 489.391px; height: 53px;\">Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Bereiche von Auspr\u00e4gungen l\u00e4sst sich durch Integrale (=Fl\u00e4che unter der Dichtefunktion) bestimmen.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Folgenden werden wir uns mit stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen besch\u00e4ftigen. Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die Normalverteilung. Sie kommt in der Natur besonders h\u00e4ufig vor und ist Grundlage f\u00fcr die Inferenzstatistik, weshalb eine kurze Wiederholung an dieser Stelle nicht schadet. Die Einleitung zur Normalverteilung findet sich im <a href=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/kennwerte\/#chapter-39-section-12\">Kapitel 2<\/a>.<\/p>\n<h2>Die Normalverteilung<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Normalverteilung besitzt eine zentrale Bedeutung f\u00fcr die nachfolgenden Sch\u00e4tz- und Testverfahren in der Inferenzstatistik. Oft wird sie auch als Gau\u00df-Kurve oder Gau\u00dfsche Glockenkurve bezeichnet. Ihre glockenf\u00f6rmige Form muss dabei keineswegs immer gleich aussehen. Der Verlauf wird durch die beiden Parameter \u00b5 (Mittelwert) und \u03c3 (Standardabweichung) eindeutig bestimmt. Dadurch variiert die Normalverteilung in ihrer Form abh\u00e4ngig von diesen beiden Werten. Was jedoch gleich bleibt, ist ihre Symmetrie, sodass der Mittelwert, Modus und Median immer auf denselben Wert zusammenfallen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-658\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12.png\" alt=\"\" width=\"523\" height=\"292\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12.png 1072w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12-300x167.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12-1024x571.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12-768x428.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12-65x36.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12-225x126.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/12-350x195.png 350w\" sizes=\"(max-width: 523px) 100vw, 523px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Normalverteilung kann nicht nur graphisch veranschaulicht werden, sondern auch in einer Dichtefunktion ausgedr\u00fcckt werden. Diese Funktion beschreibt eine Schar von Verteilungen, die sich hinsichtlich \u00b5 und \u03c3 unterscheiden. Wie bei allen stetigen Verteilungen kann man bei der Normalverteilung die Auftrittswahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Wertebereich bestimmen. Um zu ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs eintreten, berechnet man normalerweise Integrale (=die Fl\u00e4che unter der Dichtefunktion). Die Dichtefunktion f\u00fcr die Normalverteilung lautet:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-659 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/13-300x59.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"59\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/13-300x59.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/13-65x13.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/13-225x44.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/13-350x69.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/13.png 476w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nDoch keine Sorge, diese Formel werden Sie nicht brauchen um Inferenzstatistik zu betreiben. Denn bei <span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">der Normalverteilung sind, im Gegensatz zu anderen unbestimmten stetigen Verteilungen, die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Werte in bestimmten Intervallen auftreten, immer gleich. Dies vereinfacht die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr Intervalle erheblich. Beispielsweise liegen zwischen den zwei Wendepunkten der Normalverteilung (also \u03bc \u00b1 \u03c3) immer ca. 68,27% der Werte.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-662\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-1024x339.png\" alt=\"\" width=\"728\" height=\"241\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-1024x339.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-300x99.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-768x254.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-1536x508.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-65x22.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-225x74.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2-350x116.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/14-2.png 1575w\" sizes=\"(max-width: 728px) 100vw, 728px\" \/><\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Wahrscheinlichkeitsberechnung noch einfacher zu machen, k\u00f6nnen wir die Normalverteilung durch eine z-Standardisierung in eine Standardnormalverteilung transformieren. Dies kann man mit jeder Normalverteilung (aber auch nur einer solchen!) durchf\u00fchren. Dadurch erhalten wir eine immer gleiche Verteilung mit dem Mittelwert \u00b5 = 0 und der Standardabweichung \u03c3 = 1. Ebenso wie bei der Normalverteilung ist es bei der Standardnormalverteilung festgelegt, wie viel Prozent der Werte in einem bestimmten Bereich auftreten. Nun h\u00e4ngt dieser Bereich jedoch nicht mehr von \u00b5 und \u03c3 ab, sondern ist standardisiert.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-665 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-1024x485.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"485\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-1024x485.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-300x142.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-768x364.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-1536x728.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-2048x971.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-65x31.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-225x107.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/15-1-350x166.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">So liegen im Wertebereich zwischen z = -1 und z = +1 immer ca. 68,27% der Werte. Oder anders ausgedr\u00fcckt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,27% liegt der Wert in dem Bereich zwischen -1 und +1.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch nun genug von der Theorie. Wie sieht das Ganze in der Praxis aus? Wie k\u00f6nnen wir solche Intervalle aus Tabellen ablesen? Schauen wir uns dies an einem Beispiel an:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nehmen wir an, wir haben eine Maschine gekauft die Burger-Patties in gro\u00dfen Mengen herstellen kann. Die Maschine ist jedoch nicht sehr akkurat und so schwankt die Dicke der Fleischscheiben mit einer Standardabweichung von 10mm um den Mittelwert von 40mm herum (Es handelt sich um unsere gro\u00dfen XXL-Burger). Wir nehmen bei der Verteilung der Dicke eine Normalverteilung an. Damit haben wir eine Normalverteilung mit \u00b5=40mm und \u03c3=10mm gegeben. Nun m\u00f6chten wir herausfinden, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Burger-Patty mit einer Dicke von 35 &#8211; 42 mm produziert wird (oder mathematisch ausgedr\u00fcckt: P(35 \u2264 X \u2264 42) ). Graphisch k\u00f6nnten wir die Aufgabe wie folgt abbilden:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-666\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-1024x361.png\" alt=\"\" width=\"616\" height=\"217\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-1024x361.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-300x106.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-768x271.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-65x23.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-225x79.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1-350x123.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/16-1.png 1307w\" sizes=\"(max-width: 616px) 100vw, 616px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der erste Schritt w\u00e4re diese Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung zu \u00fcberf\u00fchren, um dadurch die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Wertebereich in einer Tabelle auslesen zu k\u00f6nnen. Durch die z-Standardisierung werden so unsere Bereichsgrenzen (35 und 42mm) in z-Werte umgewandelt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1848 size-full aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung.png\" alt=\"\" width=\"832\" height=\"504\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung.png 832w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung-300x182.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung-768x465.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung-65x39.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung-225x136.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Z-Standardisierung-350x212.png 350w\" sizes=\"(max-width: 832px) 100vw, 832px\" \/><\/p>\n<p>Graphisch betrachtet w\u00fcrde sich unser gesuchter Bereich nun wie folgt \u00e4ndern:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-667\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-1024x363.png\" alt=\"\" width=\"657\" height=\"233\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-1024x363.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-300x106.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-768x272.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-65x23.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-225x80.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17-350x124.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/17.png 1307w\" sizes=\"(max-width: 657px) 100vw, 657px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir berechnen also die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den Bereich von z = -0,5 bis z = 0,2. Dazu benutzen wir die schon erw\u00e4hnten Tabellen, die Dichteeigenschaften der Standardnormalverteilung beinhalten. In diesem Tabellen haben flei\u00dfige Statistiker bereits alle \u00fcblichen Integrale unter der Standardnormalverteilung f\u00fcr Sie berechnet und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten angegeben. Sie finden diese im Anhang zu diesem Buch oder jedem anderen Statistik-Lehrbuch oder im Internet. Schauen wir uns zun\u00e4chst ihren Aufbau an. In der obersten Zeile und Spalte sehen wir die z-Werte. In den \u00fcbrigen Zellen ist die Wahrscheinlichkeit abgebildet, dass ein solcher oder kleiner z-Wert auftritt.\u00a0<span style=\"font-size: 18.6667px;\">Was einer Fl\u00e4che von &#8211;<\/span><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" style=\"font-size: 18.6667px;\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty\" aria-hidden=\"true\" \/><span style=\"font-size: 18.6667px;\"> bis z entspricht.\u00a0<\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">F\u00fcr d<\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">iese Wahrscheinlichkeiten bei der Standardnormalverteilung wird in der Literatur oft der griechische Buchstaben <\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">\u03a6 (<\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">phi) angegeben, welchen wir im Folgenden hier auch verwenden werden. <\/span><span style=\"font-size: 14pt;\">\u00a0Die Wahrscheinlichkeit, dass z = 0,2 oder ein kleinerer Wert auftritt, ist beispielsweise \u03a6(0,2) = 0,5793 (=57,93%).<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-669\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-1024x426.png\" alt=\"\" width=\"834\" height=\"347\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-1024x426.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-300x125.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-768x319.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-65x27.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-225x94.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19-350x146.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/19.png 1368w\" sizes=\"(max-width: 834px) 100vw, 834px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie Ihnen bestimmt aufgefallen ist, werden nicht alle z-Werte in der Tabelle aufgef\u00fchrt, sondern nur die Positiven. Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines negativen z-Wertes erfahren m\u00f6chten, m\u00fcssen wir deshalb einen Zwischenschritt machen. Es gilt:<\/p>\n<p>\u03a6(-z) = 1 &#8211; \u03a6(z)<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Beispiel m\u00f6chten wir die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr unsere untere Intervallgrenze mit z=-0,5 ausrechnen. Deshalb rechnen wir: \u03a6(-0,5) = 1 &#8211; \u03a6(0,5) = 1 &#8211; 0,6915 = 0,3085 (=30,85%)<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Kommen wir nun zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit unseres Bereichs. Dazu m\u00fcssen wir von der Wahrscheinlichkeit, dass z = 0,2 oder ein kleiner Wert auftritt (roter Bereich unter der Kurve) die Wahrscheinlichkeit, dass z = -0,5 oder ein kleinerer Wert auftritt (schwarz schraffierter Bereich unter der Kurve) subtrahieren.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-670\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-1024x634.png\" alt=\"\" width=\"557\" height=\"345\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-1024x634.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-300x186.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-768x475.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-65x40.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-225x139.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20-350x217.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/20.png 1306w\" sizes=\"(max-width: 557px) 100vw, 557px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir zur\u00fcck auf unsere Aufgabenstellung schauen, so k\u00f6nnen wir nun sagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 27,08% ein Burger-Patty mit einer Dicke zwischen 35mm und 42mm von unserer Maschine produziert wird.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mithilfe solcher Tabellen k\u00f6nnen wir nicht nur Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr Intervalle bestimmen, sondern alle m\u00f6glichen Aufgabenstellungen berechnen. Im Folgenden finden Sie eine kleine \u00dcbersicht \u00fcber solche Aufgabenstellungen und ihre mathematische Herangehensweise:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 48px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">P(z<sub>1<\/sub> \u2264 X \u2264 z<sub>2<\/sub>)<\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">= \u03a6(z<sub>2<\/sub>) &#8211; \u03a6(z<sub>1<\/sub>)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">P(X \u2264 z)<\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">= \u03a6(z)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">P(X \u2265 z)<\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 16px;\">= 1 &#8211; \u03a6(z)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Rechenbeispiele f\u00fcr Intervalle<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Nehmen wir als Beispiel nochmal unsere bereits erw\u00e4hnte Burger-Maschine. Diese produziert Burger-Patties mit einem Erwartungswert von \u03bc = 40mm und \u03c3 = 10mm. Wir setzen eine Normalverteilung voraus.<\/p>\n<p>1. Wie wahrscheinlich ist es, dass unser Burger-Patty kleiner als 30mm ist?<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Zun\u00e4chst machen wir eine z-Standardisierung:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-671 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/21.png\" alt=\"\" width=\"148\" height=\"52\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/21.png 245w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/21-65x23.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/21-225x79.png 225w\" sizes=\"(max-width: 148px) 100vw, 148px\" \/><\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Nun rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus:\u00a0 \u00a0 P(X &lt; -1) = \u03a6(-1) = 1 \u2013 \u03a6(1) = 1 \u2013 0,8413 = 0,1587<\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Die Wahrscheinlichkeit, dass unser Burger-Patty kleiner als 30mm ist, betr\u00e4gt 15,87%.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>2. Wie wahrscheinlich ist es, dass unser Burger-Patty gr\u00f6\u00dfer als 45mm ausf\u00e4llt?<\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Zun\u00e4chst machen wir eine z-Standardisierung:<\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-672 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/22.png\" alt=\"\" width=\"123\" height=\"45\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/22.png 238w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/22-65x24.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/22-225x82.png 225w\" sizes=\"(max-width: 123px) 100vw, 123px\" \/><\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Nun rechnen wir die Wahrscheinlichkeit aus:\u00a0 \u00a0P(X &gt; 0,5) = 1 \u2013 \u03a6(0,5) = 1 \u2013 0,6915 = 0,3085<\/p>\n<p style=\"padding-left: 40px;\">Unser Brett f\u00e4llt mit einer Wahrscheinlichkeit von 30,85% gr\u00f6\u00dfer als 45mm aus.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2>Fazit des Exkurses<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ziel des Exkurses war es Ihnen aufzuzeigen, welche Verteilungsformen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung existieren und wie man mit ihrer Hilfe Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen kann. So k\u00f6nnen Sie nun die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr ein bestimmtes Intervall angeben oder ein Intervall bestimmen, welches eine bestimmte Wahrscheinlichkeit besitzt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Kommen wir jedoch zur\u00fcck zu unserem urspr\u00fcnglichen Thema: der Intervallsch\u00e4tzung. Ihr Ziel ist es einen Bereich zu sch\u00e4tzen, in dem ein gesuchter Populationsparameter mit einer vordefinierten Wahrscheinlichkeit liegt. Hierzu m\u00fcssen wir, wie wir soeben gesehen haben, die Verteilung der Daten kennen. In der Praxis stellt jedoch genau das ein Problem dar. Oftmals ist die Verteilung der Daten in der Grundgesamtheit unbekannt, wodurch Wahrscheinlichkeitsaussagen theoretisch nicht m\u00f6glich w\u00e4ren. Um dennoch eine Intervallsch\u00e4tzung vornehmen zu k\u00f6nnen, hilft uns das zentrale Grenzwerttheorem.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch5.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\n<h1>9.3 Zentrales Grenzwerttheorem<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das zentrale Grenzwerttheorem besagt, dass <strong>unabh\u00e4ngig<\/strong> <strong>von der Verteilung der Daten<\/strong> in der Grundgesamtheit die <strong>Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte<\/strong> mit wachsendem Stichprobenumfang in eine <strong>Normalverteilung<\/strong> \u00fcbergeht.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Was bedeutet dies genau? Stellen sie sich folgende Populationsverteilung vor:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-673\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-1024x485.png\" alt=\"\" width=\"488\" height=\"231\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-1024x485.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-300x142.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-768x364.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-65x31.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-225x107.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23-350x166.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/23.png 1072w\" sizes=\"(max-width: 488px) 100vw, 488px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun ziehen wir aus dieser Population (hypothetisch) unendlich viele Stichproben und berechnen f\u00fcr jede Stichprobe den Mittelwert. Wenn wir diese Mittelwerte daraufhin in einer Verteilung abbilden, erhalten wir eine Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte, die wie folgt aussieht:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-674\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-1024x543.png\" alt=\"\" width=\"472\" height=\"251\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-1024x543.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-300x159.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-768x408.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-65x34.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-225x119.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24-350x186.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/24.png 1044w\" sizes=\"(max-width: 472px) 100vw, 472px\" \/><br \/>\nHeureka! Wir sehen, dass die Stichprobenkennwerteverteilung einer Normalverteilung entspricht und nicht wie die urspr\u00fcngliche Datenverteilung aussieht. Dies passiert, da der Mittelwert als erwartungstreuer Sch\u00e4tzer zuf\u00e4llig um den wahren Populationsmittelwert \u03bc schwankt und dadurch bei gen\u00fcgend vielen oder gen\u00fcgend gro\u00dfen Stichproben automatisch eine Normalverteilung abbildet. Aus diesem Grund k\u00f6nnen wir bei einer gen\u00fcgend gro\u00dfen Stichprobe eine Normalverteilung f\u00fcr die Stichprobenkennwerteverteilung unterstellen, obwohl wir die eigentliche Verteilung der Daten nicht kennen. Gen\u00fcgend gro\u00dfe Stichprobe bedeutet dabei \u00fcblicherweise mindestens n &gt; 30. Diese Zahl ist jedoch eine Konvention in der Wissenschaft (also ein Wert, auf den man sich in der gelebten Praxis geeinigt hat) und kein Bestandteil des Grenzwerttheorems selbst.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wichtig zu beachten ist hierbei, dass das zentrale Grenzwerttheorem <strong>nur<\/strong> <strong>f\u00fcr die Kennwerteverteilung der Mittelwerte<\/strong> gilt. Bei anderen Kennwerten wie z.B. dem Median, der Standardabweichung oder des Prozentwerts h\u00e4ngt die Verteilungsform auch bei gr\u00f6\u00dferen Stichproben von der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit ab.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um f\u00fcr Sie das zentrale Grenzwerttheorem noch einmal zu veranschaulichen, zeigen Ihnen die folgenden Videos die Thematik anhand praktischer Beispiele:<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/XtLMd7RUpoc\">9.2 Konfidenzintervall | Zentrales Grenzwerttheorem<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.2 Konfidenzintervall | Zentrales Grenzwerttheorem\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/XtLMd7RUpoc?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.3 Konfidenzintervall| Zentrales Grenzwerttheorem und Wahrscheinlichkeitsverteilung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/dARw1r_Y3dI?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Da wir nun dank des zentralen Grenzwerttheorems von einer Normalverteilung bei der Kennwerteverteilung der Mittelwerte ausgehen k\u00f6nnen, haben wir die Frage um die Verteilungsform gekl\u00e4rt und k\u00f6nnen somit zum n\u00e4chsten Schritt \u00fcbergehen: Der Konstruktion eines (symmetrischen) <strong>Konfidenzintervalls<\/strong>, um sagen zu k\u00f6nnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Parameter (z.B. \u03bc ) zu erwarten ist, wenn man einen bestimmten Mittelwert in einer Stichprobe findet.<\/p>\n<h1>9.4 Konfidenzintervalle berechnen<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das <strong>Konfidenzintervall<\/strong> ist ein Intervall, in dem der gesuchte Populationsparameter mit einer bestimmten (und im Vorhinein festgelegten) Wahrscheinlichkeit liegt. Die festgelegte Wahrscheinlichkeit wird auch als <strong>Konfidenzkoeffizient<\/strong> bezeichnet und betr\u00e4gt beispielsweise 95%. Gegenst\u00fcck zum Konfidenzkoeffizienten ist die <strong>Gegenwahrscheinlichkeit<\/strong> <strong>\u03b1.\u00a0<\/strong>Sie ist der Fehler, den wir bereit sind einzugehen und betr\u00e4gt bei einem 95%-Konfidenzkoeffizienten = 5%. Es gilt somit: Konfidenzkoeffizient = 1 &#8211; \u03b1.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Logik des Konfidenzintervalls besser zu verstehen, n\u00e4hern wir uns seiner Konstruktion mit Hilfe eines Beispiels. Nehmen wir an, wir m\u00f6chten die durchschnittliche YouTube-Nutzungsdauer pro Tag mit einer 95%-Wahrscheinlichkeit bestimmen. Daf\u00fcr nehmen wir eine repr\u00e4sentative Stichprobe von 100 Personen und k\u00f6nnen aufgrund der ausreichend gro\u00dfen Stichprobe (n&gt;30) eine Normalverteilung unterstellen.<br \/>\nAusgangspunkt unseres 95%-Konfidenzintervalls ist eine erwartungstreue Punktsch\u00e4tzung, die durch unseren Stichprobenmittelwert (<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 40 Minuten pro Tag) gegeben ist.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-675\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25.png\" alt=\"\" width=\"511\" height=\"228\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25.png 836w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25-300x134.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25-768x343.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25-65x29.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25-225x100.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/25-350x156.png 350w\" sizes=\"(max-width: 511px) 100vw, 511px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Jetzt fehlt nur noch das symmetrische Intervall um diese Punktsch\u00e4tzung herum. Hierf\u00fcr ziehen wir unsere Erkenntnisse aus unserem Exkurs zu Rate. Dort haben wir gelernt, dass in einer Normalverteilung festgelegt ist, wie viel Prozent der Werte in einem bestimmten Bereich auftreten. Genau dasselbe gilt auch f\u00fcr unsere Verteilung der Mittelwerte, die aufgrund des zentralen Grenzwerttheorems ebenfalls eine Normalverteilung widerspiegelt. Unsere Aufgabe ist es nun den Bereich in der Normalverteilung zu bestimmen, in dem 95% der Werte liegen. Wichtig dabei ist, dass der Bereich symmetrisch sein soll und demensprechend unsere Punktsch\u00e4tzung im Mittelpunkt liegen muss.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-677\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1.png\" alt=\"\" width=\"641\" height=\"183\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1.png 960w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1-300x86.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1-768x219.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1-225x64.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/26-1-350x100.png 350w\" sizes=\"(max-width: 641px) 100vw, 641px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie wir in der Grafik sehen, teilt sich aufgrund der Symmetrie des Intervalls die Gegenwahrscheinlichkeit \u03b1 in zwei H\u00e4lfen auf. In unserem Beispiel liegt somit die 5%-Gegenwahrscheinlichkeit nicht auf einer Seite, sondern teilt sich in jeweils 2,5% auf beiden Seiten auf. Wenn wir also die Grenzen unseres 95%-Konfidenzintervalls definieren m\u00f6chten, m\u00fcssen wir wissen bis zu welchem Punkt 2,5% unserer Werte liegen und bis zu welchem Punkt 97,5% unserer Werte liegen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-678\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27.png\" alt=\"\" width=\"584\" height=\"198\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27.png 837w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27-300x102.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27-768x261.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27-65x22.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27-225x76.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/27-350x119.png 350w\" sizes=\"(max-width: 584px) 100vw, 584px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ebenso wie im Exkurs ziehen wir hierzu die Tabellen heran, in denen die Wahrscheinlichkeit abgebildet ist, dass ein bestimmter oder kleinerer z-Wert auftritt. Dort suchen wir nun den z-Wert, der die Wahrscheinlichkeit von 97,5% (=0,975) aufweist.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-679 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-1024x596.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"596\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-1024x596.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-300x174.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-768x447.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-65x38.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-225x131.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28-350x204.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/28.png 1281w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir sehen, dass ein z-Wert von z=1,96 die gegebene Wahrscheinlichkeit besitzt. Doch wie finden wir den z-Wert heraus, bis zu dem 2,5% der Werte liegen? Durch die Symmetrie der Normalverteilung m\u00fcssen wir lediglich das Vorzeichen \u00e4ndern, um die entsprechenden z-Wert zu bestimmen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-680\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29.png\" alt=\"\" width=\"547\" height=\"214\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29.png 876w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29-300x117.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29-768x301.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29-65x25.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29-225x88.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/29-350x137.png 350w\" sizes=\"(max-width: 547px) 100vw, 547px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn wir eine Standardnormalverteilung h\u00e4tten, w\u00e4ren wir an diesem Schritt fertig. Unser 95%-Konfidenzintervall w\u00fcrde einen Bereich von [-1,96 ; +1,96] abdecken. Um jedoch die eigentliche Aufgabenstellung zu beantworten, hilft uns dieses Wissen nur wenig. Damit wir unseren Mittelwert der YouTube-Nutzungsdauer eingrenzen k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir die Grenzen der Standardnormalverteilung auf unsere Stichprobenmittelwertverteilung \u00fcbertragen. Da sie jedoch nicht standardisiert ist und damit von \u03bc (bzw. in unserer Sch\u00e4tzung von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/>)<\/span> \u00a0und \u03c3 abh\u00e4ngt, m\u00fcssen wir unser bisheriges Intervall um diese Variablen erg\u00e4nzen. Dadurch wird aus unserem [-1,96 ; +1,96] Intervall ein Bereich, welcher folgende Grenzen enth\u00e4lt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-682\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1.png\" alt=\"\" width=\"498\" height=\"455\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1.png 836w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1-300x274.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1-768x701.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1-65x59.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1-225x205.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/30-1-350x319.png 350w\" sizes=\"(max-width: 498px) 100vw, 498px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Jetzt m\u00fcssen wir nur noch <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> und \u03c3<sub>x<\/sub><\/span> eintragen und schon haben wir die Grenzen unseres Konfidenzintervalls definiert. <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> ist mit 40 Minuten pro Tag bereits bekannt, die Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung m\u00fcssen wir hingegen noch ausrechnen. Wer sich an das letzte Kapitel erinnert, wei\u00df, dass die Formel hierf\u00fcr wie folgt lautet:<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-683\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-1024x229.png\" alt=\"\" width=\"688\" height=\"154\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-1024x229.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-300x67.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-768x172.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-65x15.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-225x50.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31-350x78.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/31.png 1197w\" sizes=\"(max-width: 688px) 100vw, 688px\" \/><\/p>\n<p>Nehmen wir an, dass die Populationsvarianz mit \u03c3<sup>2<\/sup> = 400 bekannt ist, sodass wir alle n\u00f6tigen Variablen einsetzen k\u00f6nnen. So erhalten wir folgenden Standardfehler:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-687 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34.png\" alt=\"\" width=\"145\" height=\"75\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34.png 258w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34-65x34.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34-225x117.png 225w\" sizes=\"(max-width: 145px) 100vw, 145px\" \/><\/p>\n<p>Nun k\u00f6nnen wir die Grenzen unseres Konfidenzintervalls berechnen:<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-902 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3-291x300.png\" alt=\"\" width=\"551\" height=\"568\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3-291x300.png 291w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3-768x791.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3-65x67.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3-225x232.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3-350x360.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-3.png 880w\" sizes=\"(max-width: 551px) 100vw, 551px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Abschlie\u00dfend k\u00f6nnen wir aussagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% die durchschnittliche YouTube-Nutzungsdauer in der Grundgesamtheit zwischen 36,08 Minuten und 43,92 Minuten liegt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Allgemein formuliert lautet die Formel f\u00fcr ein beidseitiges Konfidenzintervall f\u00fcr den Parameter \u03bc mit der Wahrscheinlichkeit 1- \u00a0\u03b1 (wenn die <strong>Populationsvarianz bekannt<\/strong> ist und eine <strong>Normalverteilung<\/strong> unterstellt werden kann) wie folgt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-684 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/32.png\" alt=\"\" width=\"588\" height=\"80\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/32.png 588w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/32-300x41.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/32-65x9.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/32-225x31.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/32-350x48.png 350w\" sizes=\"(max-width: 588px) 100vw, 588px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Rechenbeispiel Konfidenzintervall<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>An einer repr\u00e4sentativen Stichprobe von 100 Personen wird ein Test zur Ermittlung der Koordinationsf\u00e4higkeit durchgef\u00fchrt. Die Testleistungen haben einen Mittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span> \u00a0= 80 und die Populationsvarianz wird auf \u03c3<sup>2 <\/sup>= 400 gesch\u00e4tzt.<\/p>\n<p>Nun m\u00f6chten wir herausfinden, in welchem Bereich \u03bc mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt.<\/p>\n<p>Zun\u00e4chst bestimmen wir den z-Wert an unserer oberen Intervallgrenze: Da wir ein 95%-Konfidenzintervall berechnen m\u00f6chten, interessiert uns der z-Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% (1-\u03b1\/2). Wenn wir in die Tabelle schauen, sehen wir, dass 1,96 der gesuchte z-Wert ist.<\/p>\n<p>Als N\u00e4chstes rechnen wir den Standardfehler des Mittelwertes aus: <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-687\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34.png\" alt=\"\" width=\"121\" height=\"63\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34.png 258w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34-65x34.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/34-225x117.png 225w\" sizes=\"(max-width: 121px) 100vw, 121px\" \/><\/p>\n<p>Nun setzen wir die berechneten Variablen in die Formel f\u00fcr die Intervallgrenzen ein:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-805\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37.png\" alt=\"\" width=\"415\" height=\"370\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37.png 847w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37-300x267.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37-768x685.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37-65x58.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37-225x201.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/37-350x312.png 350w\" sizes=\"(max-width: 415px) 100vw, 415px\" \/><\/p>\n<p>Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt \u03bc zwischen 76,08 und 83,92.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Wir haben jedoch nicht immer den Luxus die Populationsvarianz zu kennen. In manchen F\u00e4llen m\u00fcssen wir aus diesem Grund den <strong>Standardfehler<\/strong> <strong>des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts<\/strong> auf Basis der Stichprobenvarianz mittels folgender Formel sch\u00e4tzen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-704\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1024x292.png\" alt=\"\" width=\"793\" height=\"226\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1024x292.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-300x86.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-768x219.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-225x64.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-350x100.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler.png 1481w\" sizes=\"(max-width: 793px) 100vw, 793px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen Konfidenzintervalle mit T-Verteilung<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Ist die Populationsvarianz nicht bekannt, entspricht die Stichprobenkennwerteverteilung des Mittelwerts zudem nicht mehr einer Normalverteilung, sondern eher einer t-Verteilung. Aus diesem Grund muss man statt der z-Werte, die wir bei der Normalverteilung ablesen, die Werte f\u00fcr die t-Verteilung benutzen. Beim Ablesen sollte jedoch beachtet werden, dass es f\u00fcr jede Stichprobengr\u00f6\u00dfe eine eigene t-Verteilung gibt. Das beidseitige Konfidenzintervall lautet nun:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-707 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-300x44.png\" alt=\"\" width=\"470\" height=\"69\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-300x44.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-1024x151.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-768x113.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-1536x227.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-2048x302.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-65x10.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-225x33.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/t-Verteilung-350x52.png 350w\" sizes=\"(max-width: 470px) 100vw, 470px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um das Thema Konfidenzintervalle im Gesamten anhand eines anschaulichen Beispiels besser nachvollziehen zu k\u00f6nnen, stehen Ihnen die folgenden Videos zur Verf\u00fcgung. Sie bauen aufeinander auf, weshalb es sich lohnt, sie in der vorgegebenen Reihenfolge anzuschauen.<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/94TtjKS85SE\">9.4 Konfidenzintervall | Konstruktion des Konfidenzintervalls<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.4 Konfidenzintervall | Konstruktion des Konfidenzintervalls\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/94TtjKS85SE?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/bhQ233iU-zM\">9.5 Konfidenzinterval | Bestimmung des Konfidenzkoeffizienten<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.5 Konfidenzintervall | Bestimmung des Konfidenzkoeffizienten\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/bhQ233iU-zM?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/9AL8ZnMv-kM\">9.6 Konfidenzintervall | Berechnung des Konfidenzintervalls<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.6 Konfidenzintervall | Berechnung des Konfidenzintervalls\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/9AL8ZnMv-kM?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/f97yHPmPxl4\">9.7 Konfidenzintervall | Rechen-Beispiel<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.7 Konfidenzintervall | Rechen-Beispiel\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/f97yHPmPxl4?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In diesem Buchkapitel haben Sie gelernt, auf welcher Logik die Intervallsch\u00e4tzung basiert und wie Sie Konfidenzintervalle f\u00fcr den Mittelwert ausrechnen k\u00f6nnen. Man kann jedoch auch andere Parameter mittels Konfidenzintervalle sch\u00e4tzen, wie z.B. die Varianz, Standardabweichung, H\u00e4ufigkeiten und noch einige mehr. Die Formeln weichen hierf\u00fcr zum Teil erheblich von der ab, die Sie f\u00fcr den Mittelwert gelernt haben. In der Praxis wird bei der Berechnung von Konfidenzintervallen f\u00fcr solche Kennwerte jedoch meist gar kein mathematisches Verfahren genutzt, sondern das sogenannte Bootstrapping durchgef\u00fchrt. Das Bootstrapping-Verfahren werden wir zum Abschluss dieses Kapitels noch genauer besprechen, zun\u00e4chst wollen wir uns jedoch der Berechnung des Konfidenzintervalls in SPSS widmen.<\/p>\n<h1>9.5 Konfidenzintervalle in Jamovi berechnen und (grafisch) ausgeben<\/h1>\n<p>Konfidenzintervalle f\u00fcr den Mittelwert sowie der Standardfehler lassen sich in Jamovi einfach berechnen. Dies erfolgt \u00fcber das Men\u00fc<\/p>\n<p><em><strong>Analyse &gt; Erforschung &gt; Deskriptive Statistiken<\/strong><\/em><\/p>\n<p>Hier k\u00f6nnen die interessierenden Variablen in das Feld &#8222;Abh\u00e4ngige Variablen&#8220; gezogen werden. Standardm\u00e4\u00dfig gibt Jamovi den Mittelwert sowie den Standardabweichung aus. Mit einem Klick auf &#8222;Std.-Fehler des Mittelwerts&#8220; kann einfach noch der Standardfehler ausgegeben werden.<\/p>\n<p>Zus\u00e4tzlich k\u00f6nnen Konfidenzintervalle \u00fcber die Option &#8222;Konfidenzintervall f\u00fcr Mittelwert&#8220; berechnet werden. Das Standardintervall betr\u00e4gt 95%, kann aber bei Bedarf angepasst werden.<\/p>\n<p>Eine grafische Darstellung von Konfidenzintervallen ist in Jamovi \u00fcber das Men\u00fc<\/p>\n<p><em><strong>A<\/strong><strong>nalysen &gt; t-Tests &gt; t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/strong><\/em><\/p>\n<p>m\u00f6glich. Hier kann der Diagrammtyp &#8222;Deskriptive Diagramme&#8220; gew\u00e4hlt werden, um die Konfidenzintervalle visuell darzustellen. Dies geht jedoch nur f\u00fcr eine metrische Variable aufgeteilt in genau zwei Gruppen. Wie das genau geht wird auch im folgenden Video gezeigt.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9 .10 Konfidenzintervalle und Standardfehler mit Jamovi berechnen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/RAgHysj_V5s?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>9.6 Konfidenzintervalle in SPSS berechnen und (grafisch) ausgeben<\/h1>\n<p>Konfidenzintervalle f\u00fcr den Mittelwert sowie der Standardfehler lassen sich in SPSS recht einfach ausgeben. Hierf\u00fcr gehen Sie in folgendes Men\u00fc:<\/p>\n<p><em><strong>Analysieren &gt; Deskriptive Statistiken &gt; Explorative Datenanalyse.<\/strong><\/em><\/p>\n<p>Sie ziehen die interessierende Variable einfach in das Feld <em>Abh\u00e4ngige Variable <\/em>und k\u00f6nnen bei Bedarf noch im Feld <em>Faktorenliste<\/em> eine Gruppierungsvariable ausw\u00e4hlen um z.B. die Konfidenzintervalle getrennt f\u00fcr M\u00e4nner und Frauen berechnen zu lassen. Standardm\u00e4\u00dfig wird Ihnen hierbei der Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts sowie das 95%-Konfidenzintervall ausgegeben. Weitere Konfidenzintervalltypen k\u00f6nnen Sie mit einem Klick auf <em>Statistiken<\/em> einstellen. Das folgende Video zeigt dies an einem Beispiel.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/c33xyj27UhE\">Video 9.10 Konfidenzintervalle und Standardfehler in SPSS berechnen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.10 Konfidenzintervalle und Standardfehler in SPSS berechnen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/c33xyj27UhE?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Konfidenzintervalle lassen sich in SPSS auch sehr sch\u00f6n graphisch visualisieren. Hierzu dient der \u00fcbliche Diagramm-Assistent, der in folgendem Men\u00fc zu finden ist:<\/p>\n<p><em>Grafik &gt; Diagrammerstellung.<\/em><\/p>\n<p>Hierbei sollte der Diagrammtyp <em>Einfache Fehlerbalken<\/em> ausgew\u00e4hlt werden, welcher als Standardeinstellung bereits das 95%-Konfidenzintervall anzeigt. Das folgende Video zeigt dies wieder an einem Beispiel:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/pRtKwYXtBRs\">Video 9.11 Konfidenzintervalle grafisch in SPSS darstellen und berechnen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.11 Konfidenzintervalle grafisch in SPSS darstellen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/pRtKwYXtBRs?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>9.7 Konfidenzintervalle mit dem Bootstrapping Verfahren<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bootstrapping ist eine M\u00f6glichkeit, mithilfe schierer Rechenleistung, daf\u00fcr fast ganz ohne Mathematik, Konfidenzintervalle zu generieren. Hierbei werden aus einer bestehenden Stichprobe sehr viele (meist \u00fcber 1000) neue Stichproben generiert und daraus eine &#8222;echte&#8220; Kennwerteverteilung generiert, aus der man das Intervall direkt ablesen kann. Dies hat den Vorteil, dass das Verfahren nicht auf der Annahme der Normalverteilung der Stichproben-Kennwerteverteilung basiert und daher auch f\u00fcr kleine Stichproben nutzbar ist. Doch wie erzeugt ein PC Programm (wie SPSS) aus nur einer Stichprobe mehrere tausend neue Stichproben? Das Geheimnis dabei ist, dass diese neuen Stichproben mit zur\u00fccklegen gezogen werden. Nehmen wir an, die Ursprungsstichprobe beinhaltet 10 Personen. SPSS generiert nun daraus neue Stichproben bei der jedes Mal eine Person gezogen wird und jede der 10 Personen immer die gleiche Chance hat gezogen zu werden (n\u00e4mlich1\/10). Dadurch kann eine Person mehrmals in einer Stichprobe landen oder im Extremfall eine Stichprobe aus nur einer einzigen Person bestehen, die zuf\u00e4llig zehn Mal hintereinander gezogen wurde. Das folgende Video veranschaulicht dieses Verfahren:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/JU5m-aPrNJw\">Video 9.8 Konfidenzintervalle mit dem Bootstrapping Verfahren<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.8 Konfidenzintervalle mit dem Bootstrapping Verfahren\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/JU5m-aPrNJw?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>9.8 Konfidenzintervalle mit dem Bootstrapping Verfahren in SPSS berechnen<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Berechnung von Bootstrapping Konfidenzintervallen l\u00e4sst sich in SPSS sehr komfortabel f\u00fcr fast alle Kennwerte aktivieren. Hierf\u00fcr muss nur im jeweiligen Men\u00fc der Button <em><strong>Bootstrap<\/strong><\/em> gedr\u00fcckt werden und auf <em><strong>Bootstrapping durchf\u00fchren<\/strong><\/em> geklickt werden. In der Praxis bietet sich das sog. BCa (Bias-Corrected and Accelerated) Verfahren an, da dieses schneller l\u00e4uft und auch eine robustere Absch\u00e4tzung f\u00fcr das Konfidenzintervall liefert. Das folgende Video zeigt die Durchf\u00fchrung in SPSS.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/IZ143upky6U\">Video 9.9 Konfidenzintervalle mit Bootstrapping in SPSS<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.9 Konfidenzintervalle mit Bootstrapping in SPSS\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/IZ143upky6U?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>9.9 \u00dcbungsfragen<\/h1>\n<p>Bei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-103\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"103\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-104\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"104\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-105\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"105\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-63\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"63\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p>In diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-27\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"27\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-28\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"28\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-108\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"108\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<h1>9.10 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\n<div>\n<header>\n<h2>\u00dcbungsaufgabe 1<\/h2>\n<\/header>\n<\/div>\n<p>Wir haben eine Stichprobe von n=40 Burgerkunden nach Ihrem Alter gefragt und wollen hieraus eine Intervallsch\u00e4tzung f\u00fcr das Alter in der Population berechnen. Wir haben in der Stichprobe einen Mittelwert von 23,5 Jahren und einen Standardfehler von 0,55.<\/p>\n<p>Wie ist das 90- und 95-Prozent Konfidenzintervall f\u00fcr das Alter unserer Burgerkunden?<\/p>\n<p>Die L\u00f6sung finden Sie Schritt-f\u00fcr-Schritt im folgendem Video:<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"9.12 \u00dcbungsaufgabe zum berechnen des Konfidenzintervalls\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/cTEZ_HscUL0?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<header><\/header>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2>\u00dcbungsaufgabe 2<\/h2>\n<p>Bitte interpretieren Sie folgenden Output:<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-65\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"65\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1.jpg 1200w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-300x200.jpg 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-768x512.jpg 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-65x43.jpg 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-225x150.jpg 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-350x233.jpg 350w\" sizes=\"(max-width: 1200px) 100vw, 1200px\" \/><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"menu_order":3,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"part":90,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/98"}],"collection":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"version-history":[{"count":58,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/98\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1867,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/98\/revisions\/1867"}],"part":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/90"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/98\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=98"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=98"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=98"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=98"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}