{"id":97,"date":"2020-10-16T17:06:25","date_gmt":"2020-10-16T15:06:25","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/parameterschaetzung\/"},"modified":"2022-12-02T21:31:01","modified_gmt":"2022-12-02T20:31:01","slug":"parameterschaetzung","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/parameterschaetzung\/","title":{"rendered":"Parametersch\u00e4tzung"},"content":{"raw":"<h1>8.0 Einf\u00fchrung<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im vorausgegangenen Kapitel haben wir gelernt wie man eine Stichprobe zieht. Stichproben werden immer dann gezogen wenn es unm\u00f6glich oder zumindest nicht wirtschaftlich w\u00e4re Daten von allen Personen der Population zu erheben. Dabei sollte man nicht vergessen, dass die Population sich nicht auf alle Menschen bezieht sondern immer durch das Studienziel bestimmt wird. Die Population k\u00f6nnten also z.B. alle BWL-Studenten \u00fcber 20 sein oder alle Kunden unserer Burger-Filiale. In der deskriptiven Statistik sind Kennwerte exakt bestimmbar. Wir k\u00f6nnen z.B. das exakte Durchschnittsalter unserer Mitarbeiter aus der Mitarbeiterdatenbank berechnen. Die \"Kennwerte\" einer deutlich gr\u00f6\u00dferen Population k\u00f6nnen wir jedoch nur indirekt, durch das ziehen einer Stichprobe, bestimmen. Diese \"Kennwerte einer Population\" werden Parameter genannt und werden auf Basis einer gezogenen Stichprobe gesch\u00e4tzt. Deswegen besch\u00e4ftigen wir uns in diesem Kapitel auch mit der Sch\u00e4tzung von Populationsparametern. Beispielsweise k\u00f6nnte das Ziel dabei sein, eine m\u00f6glichst genaue Sch\u00e4tzung f\u00fcr das Durchschnittsalter unserer Kunden zu bekommen. Das exakte Durchschnittsalter unserer Kunden werden wir jedoch niemals ermitteln k\u00f6nnen, da sicherlich nicht alle unsere Burger-Kunden uns ihr Alter verraten werden und es auch \u00e4u\u00dferst unh\u00f6flich w\u00e4re jeden Kunden danach zu fragen.<\/p>\r\nIn diesem und dem n\u00e4chsten Kapitel widmen wir uns also nun der Sch\u00e4tzung von Populationsparametern. Um Populationsparameter aus den entsprechenden Stichprobenkennwerten zu sch\u00e4tzen, gibt es in der Inferenzstatistik zwei Sch\u00e4tzverfahren:\r\n<ul>\r\n \t<li>die Punktsch\u00e4tzung<\/li>\r\n \t<li>die Intervallsch\u00e4tzung.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Verfahren ist, dass die Punktsch\u00e4tzung einen m\u00f6glichst genauen N\u00e4herungswert f\u00fcr den gesuchten Populationsparameter angibt, w\u00e4hrend die Intervallsch\u00e4tzung stattdessen einen Bereich angibt, in dem der gesuchte Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. Bei der Punktsch\u00e4tzung werden Eigenschaften \u00fcber die Population als exakter Wert ermittelt (z.B. die Zahlungsbereitschaft betr\u00e4gt 1.500\u20ac) und meist mit einem Ma\u00df f\u00fcr den Sch\u00e4tzfehler versehen. Bei der Intervallsch\u00e4tzung wird ein Intervall f\u00fcr die Eigenschaft der Population angegeben (z.B. die Zahlungsbereitschaft liegt zwischen 1.400 und 1.600\u20ac) und diese dann mit einer Wahrscheinlichkeit versehen (z.B. 95%). \u00a0Im Folgenden wollen wir uns nun also zun\u00e4chst mit der Punktsch\u00e4tzung besch\u00e4ftigen. Hierf\u00fcr <span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">fangen wir zun\u00e4chst mit den Basics an: Kennwerte und Parameter.<\/span><\/p>\r\nEinen guten \u00dcberblick \u00fcber das Thema \"Sch\u00e4tzung von Populationsparametern\" bietet Ihnen zudem das folgende Video von Five Profs.\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/gxUlOS96AOI\">8.1 Parametersch\u00e4tzung | Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/gxUlOS96AOI\r\n<h1>8.1 Kennwerte und Parameter<\/h1>\r\n<h2>Kennwerte<\/h2>\r\nKennwerte haben Sie bereits im ersten Kapitel kennengelernt. Sie beziehen sich in der Inferenzstatistik immer auf die Stichprobe und werden mit lateinischen Buchstaben notiert.\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr Kennwerte in der Inferenzstatistik:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 64.7117%; height: 42px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 60.2719%;\">Mittelwert der Stichprobe<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.1475%;\"><span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 60.2719%;\">Standardabweichung der Stichprobe<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.1475%;\"><em>s<\/em><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese <strong>Stichprobenkennwerte<\/strong> werden in der Inferenzstatistik als <strong>Zufallsvariablen<\/strong> aufgefasst. Dies ist so, weil die Kennwerte vom Zufall \u2013 n\u00e4mlich von der zuf\u00e4llig gezogenen Stichprobe \u2013 abh\u00e4ngen. Je nach Ziehung erhalten wir so beispielweise mal einen h\u00f6heren oder\u00a0 niedrigeren Mittelwert f\u00fcr die Zahlungsbereitschaft.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Das Gute daran: Die Stichprobenkennwerte schwanken zwar zuf\u00e4llig, aber immerhin um den \"wahren Wert\" der Population herum (bis auf die Streuungsma\u00dfe, aber dazu sp\u00e4ter mehr). Diese Tatsache hilft uns sp\u00e4ter, um die gesuchten Gr\u00f6\u00dfen der Population sch\u00e4tzen zu k\u00f6nnen.<\/p>\r\n\r\n<h2>Parameter<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Werte der Population besser von den Kennwerten der Stichprobe abgrenzen zu k\u00f6nnen, hat man ihnen einen anderen Namen gegeben. Man bezeichnet die (in der Regel) unbekannten \u201eKennwerte\u201c der Population als <strong>Populationsparameter<\/strong> und notiert sie zur besseren Unterscheidung mit griechischen Buchstaben. Parameter sind im Gegensatz zu Stichprobenkennwerten <strong>feste Werte<\/strong> von Populationsverteilungen. Dies ist so, weil sich Parameter immer auf dieselbe zugrundeliegende Menge \u2013 auf die Population - beziehen. Solange sie sich nicht ver\u00e4ndert, ver\u00e4ndern sich auch ihre Parameter nicht und bilden somit feste Werte. Eben diese Parameter m\u00f6chten wir in der Parametersch\u00e4tzung mittels unserer Stichprobenkennwerte sch\u00e4tzen. Beispielsweise hat unsere Stichprobe von 100 Kunden f\u00fcr die Zahlungsbereitschaft den Kennwert 5\u20ac ergeben. Diesen nutzen wir als Sch\u00e4tzer f\u00fcr den (unbekannten) Populationsparameter, der die Zahlungsbereitschaft aller unserer Kunden darstellt. Da wir ja nicht alle unsere Kunden nach der Zahlungsbereitschaft befragen k\u00f6nnen, wird dieser Populationsparameter auch immer unbekannt bleiben und wir m\u00fcssen uns mit einer Sch\u00e4tzung zufriedengeben. Genau das macht die Inferenzstatistik so knifflig.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr Populationsparameter:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 73.216%;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 51.5728%;\">Mittelwert der Population<\/td>\r\n<td style=\"width: 23.6628%;\">\u00b5\u00a0(mi)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 51.5728%;\">Standardabweichung der Population<\/td>\r\n<td style=\"width: 23.6628%;\">\u03c3\u00a0(sigma)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n&nbsp;\r\n<h2>\u00dcbersicht<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Stichprobenkennwerte und Populationsparameter geh\u00f6ren immer paarweise zusammen. Der Unterschied zwischen ihnen ist die Menge der Merkmalstr\u00e4ger, auf die sie sich beziehen. Stichprobenkennwerte beziehen sich (wie der Name schon sagt) auf eine Stichprobe. Populationsparameter beschreiben hingegen die zugrundeliegende Grundgesamtheit (also alle Menschen oder Untersuchungseinheiten, die wir betrachten). Die nachfolgende Tabelle gibt Ihnen einen \u00dcberblick \u00fcber die g\u00e4ngigsten Stichprobenkennwerte und die dazugeh\u00f6rigen Populationsparameter:<\/p>\r\n\r\n<table class=\"lines landscape aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 64.5709%; height: 96px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\"><\/td>\r\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\">Kennwert<\/td>\r\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">Parameter<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Anteilswert<\/td>\r\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>h<\/em> bzw. <em>p<\/em><\/td>\r\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c0\u00a0(pi)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Mittelwert<\/td>\r\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/td>\r\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u00b5\u00a0\u00a0(mi)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Varianz<\/td>\r\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>s<sup>2<\/sup><\/em><\/td>\r\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c3<sup>2<\/sup> (sigma quadrat)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Standardabweichung<\/td>\r\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>s<\/em><\/td>\r\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c3\u00a0(sigma)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Korrelation<\/td>\r\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>r<\/em><\/td>\r\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c1\u00a0(rho)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n&nbsp;\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/4BiZA5yRcpY\">8.2 Parametersch\u00e4tzung | Kennwerte und Parameter<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/4BiZA5yRcpY\r\n<h1>8.2 Punktsch\u00e4tzung<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Punktsch\u00e4tzung sch\u00e4tzt auf Basis eines Stichprobenkennwerts <strong>einen<\/strong> m\u00f6glichst genauen <strong>N\u00e4herungswert<\/strong> f\u00fcr den unbekannten bzw. gesuchten Parameter einer Population. Das Ziel des Verfahrens ist es somit einen Punkt zu bestimmen, an dem der gesuchte Parameter mit der h\u00f6chsten Wahrscheinlichkeit liegt.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um eine Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr einen unbekannten Parameter durchzuf\u00fchren, ziehen wir zun\u00e4chst eine Zufallsstichprobe aus unserer Population und bestimmen daraufhin die relevanten Stichprobenkennwerte. Wenn wir beispielsweise den Mittelwert der Zahlungsbereitschaft f\u00fcr alle Kunden (Population) sch\u00e4tzen m\u00f6chten,\u00a0 bestimmen wir zun\u00e4chst den entsprechenden Mittelwert der gezogenen Stichprobe. Dieser Stichprobenkennwert ist im Normalfall unser <strong>Punktsch\u00e4tzer<\/strong> f\u00fcr den unbekannten Populationsparameter. Ziehen wir z.B. einen Stichprobenmittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 1.500\u20ac, so ist dies unsere Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr den unbekannten Populationsmittelwert \u00b5. In diesem Fall sch\u00e4tzen wir, dass der unbekannte Populationsmittelwert \u00b5 bei 1.500\u20ac liegt.<\/span><\/p>\r\n<img class=\"wp-image-517 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4.png\" alt=\"\" width=\"708\" height=\"317\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Ein weiteres Beispiel:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nWir m\u00f6chten den Anteil von Katzenliebhabern in der Population bestimmen. Hierzu ziehen wir eine repr\u00e4sentative Zufallsstichprobe von 100 Personen und befragen sie anschlie\u00dfend. Wir erfahren, dass 26% unserer Befragten Katzenliebhaber sind. Dieser erhobene Anteilswert von 26% ist unser Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr den unbekannten Anteilswert an Katzenliebhabern in der Population.\r\n\r\nAuf Basis unserer Stichprobe k\u00f6nnen wir nun sagen, dass der Anteil an Katzenliebhabern in der Population sch\u00e4tzungsweise bei 26% liegt. Zus\u00e4tzlich sollten wir noch ein Ma\u00df f\u00fcr die G\u00fcte dieser Sch\u00e4tzung mit angeben. Hiermit werden wir uns im Folgenden besch\u00e4ftigen.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir k\u00f6nnen jedoch nicht alle Stichprobenkennwerte einfach als Punktsch\u00e4tzer auf die Population \u00fcbertragen. Daf\u00fcr m\u00fcssen die Stichprobenkennwerte <strong>erwartungstreu<\/strong> sein. Was sich genau hinter diesem Begriff verbirgt, erfahren Sie in den n\u00e4chsten Abschnitten.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Ein weiteres Problem bei dieser Vorgehensweise besteht darin, dass wir nicht davon ausgehen k\u00f6nnen, dass der Punktsch\u00e4tzer den gesuchten Populationsparameter auch tats\u00e4chlich trifft. Dieser Fall w\u00e4re sogar sehr unwahrscheinlich, da die Punktsch\u00e4tzung auf Kennzahlen beruht, die je nach Zufallsstichprobe mal h\u00f6her oder niedriger ausfallen k\u00f6nnen. Um dem entgegenzuwirken, lohnt es sich, die Genauigkeit der Punktsch\u00e4tzung zu ermitteln und mit anzugeben. Ein geeignetes Ma\u00df daf\u00fcr ist der <strong>Standardfehler des Sch\u00e4tzers<\/strong>.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Bevor wir uns jedoch mit der Erwartungstreue und anderen G\u00fctekriterien der Sch\u00e4tzer befassen, werfen wir einen Blick auf die sogenannten \"Stichprobenkennwerteverteilungen\". Sie bilden die Basis f\u00fcr die eben genannten Begriffe und sind deshalb f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis unerl\u00e4sslich.<\/p>\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch3.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>\r\n<h1>8.3 Stichprobenkennwerteverteilung<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Stichprobenkennwerteverteilung ist eine <strong>hypothetische Verteilung<\/strong>. Sie bildet zwar die Basis f\u00fcr statistische Theorien, existiert jedoch in der Realit\u00e4t nicht - h\u00f6chstens in Simulationen. Deshalb lassen Sie uns gemeinsam in ein Gedankenexperiment abtauchen, um die Stichprobenkennwerteverteilung n\u00e4her zu verstehen.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Beispielweise wollen Sie bestimmen, wieviel Euro Personen pro Monat in Frankreich f\u00fcr Fastfood ausgeben. Aus diesem Anlass ziehen Sie nacheinander aus der Population der franz\u00f6sischen Staatsb\u00fcrger Zufallsstichproben mit immer derselben Gr\u00f6\u00dfe<em> n<\/em>. Hierbei ziehen sie jedoch nicht nur eine oder zwei Stichproben, sondern sehr, sehr viele gleichgro\u00dfe Zufallsstichproben. F\u00fcr jede Stichprobe berechnen Sie daraufhin den Mittelwert der Ausgaben f\u00fcr Fastfood pro Monat. So erhalten Sie sehr viele Mittelwerte, die sich von Stichprobe zu Stichprobe leicht unterscheiden (je nachdem wie viele Fastfood-Fans Sie zuf\u00e4llig in der Stichprobe haben). Wenn Sie nun alle Mittelwerte in eine Liste schreiben und der Gr\u00f6\u00dfe nach ordnen entsteht eine neue Verteilung - die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte oder anders gesagt die Stichprobenkennwerteverteilung. Dasselbe k\u00f6nnen Sie auch mit den anderen Kennwerten machen und erhalten dadurch beispielweise eine Stichprobenkennwerteverteilung der Standardabweichungen.<\/p>\r\n<img class=\"wp-image-524 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1.png\" alt=\"\" width=\"703\" height=\"443\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um das eben gesagte in einen Satz zu bringen: Als <strong>Stichprobenkennwerteverteilung<\/strong> wird die Verteilung aller m\u00f6glichen Auspr\u00e4gungen eines Stichprobenkennwertes bezeichnet, die entsteht, wenn man nacheinander (unendlich viele) Stichproben <strong>der gleichen Gr\u00f6\u00dfe <\/strong>aus einer Population zieht.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Verteilung der Stichprobenkennwerte sieht dabei keinesfalls immer gleich aus. Ihre Form variiert und h\u00e4ngt von verschiedenen Faktoren ab. Diese sind:<\/p>\r\n\r\n<ul>\r\n \t<li><strong>Gr\u00f6\u00dfe der Stichproben<\/strong>\r\nStellen Sie sich beispielsweise vor, dass Sie eine Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte haben. Jeder Mittelwert stammt aus einer Stichprobe mit 3 Personen. Die Mittelwerte dieser kleinen Stichproben k\u00f6nnen leicht \"extreme\" Werte annehmen, da Ausrei\u00dfer einen hohen Einfluss auf die einzelnen Mittelwerte der Stichproben aus\u00fcben. Dadurch hat die Stichprobenkennwerteverteilung eine breite Streuung.\r\nWenn wir jedoch Mittelwerte aus Stichproben mit jeweils 100 Personen nehmen, ist es deutlich unwahrscheinlicher, dass deren Mittelwerte \"extrem\" ausfallen, da sich die Werte in den Stichproben gegenseitig ausmitteln. F\u00fcr unsere Stichprobenkennwerteverteilung bedeutet dies, dass sie in diesem Fall eine deutlich geringere Streuung aufweist, da die meisten Mittelwerte moderat ausfallen.\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-525 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2.png\" alt=\"\" width=\"443\" height=\"293\" \/><\/li>\r\n \t<li><strong>Verteilung des Merkmals in der Population (Streuung)<\/strong>\r\nStreut das Merkmal in der Population sehr breit, so ist auch die Stichprobenkennwerteverteilung eher flacher und breiter als bei Merkmalen, die in der Population wenig streuen. Schauen wir uns beispielsweise die Stichprobekennwerteverteilungen von Kindern (bis 14 Jahre) und \"Erwachsenen\" (ab 14 Jahre) in Bezug auf Lieblingseissorten an. Nehmen wir an, die \"Erwachsenen\" haben grunds\u00e4tzlich eine geringe Anzahl an Lieblingseissorten. Die Mittelwerte der Stichproben w\u00fcrden sich haupts\u00e4chlich im Bereich zwischen\u00a0 3 - 5 Eissorten bewegen. Bei den Kindern hingegen sieht das ganz anders aus. Eine gro\u00dfe Anzahl an Kindern hat relativ viele Lieblingseissorten, jedoch gibt es auch viele Kinder, die nur wenige Eissorten m\u00f6gen. Dementsprechend streuen auch die Mittelwerte der Stichproben bei den Kindern viel st\u00e4rker. Einige Stichproben liegen bei <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 5 Eissorten und andere bei <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 12 Eissorten. Das wirkt sich auch auf die Stichprobenkennwerteverteilung aus, die bei den Kindern aufgrund der gr\u00f6\u00dferen Streuung der Mittelwerte deutlich flacher verl\u00e4uft.\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-526 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1.png\" alt=\"\" width=\"643\" height=\"306\" \/>\r\n<\/span><\/li>\r\n \t<li><strong>Typ des Kennwerts<\/strong> (Mittelwert, Varianz, Korrelation, etc.)\r\nJe nach Typ des Kennwerts erhalten wir ebenfalls eine andere Stichprobenkennwerteverteilung. Dies bedeutet aber auch, dass wir f\u00fcr verschiedene Kennwerte auch verschiedene Berechnungsformeln brauchen, wenn wir beispielsweise die Varianz der einzelnen Stichprobenkennwerteverteilungen ausrechnen m\u00f6chten.<\/li>\r\n \t<li><strong>Art der Stichprobe<\/strong>\r\nHiermit ist die Art, wie die Stichproben gezogen wurden, gemeint. Wir gehen immer von Zufallsstichproben aus. Wenn Sie jedoch keine Zufallsstichproben darstellen, so d\u00fcrften strenggenommen keine R\u00fcckschl\u00fcsse auf die Population erfolgen (siehe Kapitel \"Stichproben\").<\/li>\r\n<\/ul>\r\nZum besseren Verst\u00e4ndnis zeigt Ihnen das folgende Video die Thematik noch einmal anhand eines Beispiels.\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/8a6dAVbZTYo\">8.4 Parametersch\u00e4tzung | Stichprobenkennwerteverteilung<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/8a6dAVbZTYo\r\n<h1>8.4 Erwartungstreue von Sch\u00e4tzern<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Kommen wir nun wieder zur\u00fcck zu der Punktsch\u00e4tzung. Bei der Punktsch\u00e4tzung benutzen wir einen Stichprobenkennwert, um den entsprechenden unbekannten Populationsparameter zu sch\u00e4tzen. Damit wir jedoch einen Stichprobenkennwert benutzten k\u00f6nnen, muss dieser <strong>erwartungstreu,<\/strong> beziehungsweise unverzerrt sein. Erwartungstreue bedeutet, dass der Sch\u00e4tzer (in diesem Fall der Stichprobenkennwert) bei seiner Sch\u00e4tzung keinem systematischen Fehler unterliegt und so beispielsweise den gesuchten Populationsparameter grunds\u00e4tzlich zu hoch oder zu niedrig sch\u00e4tzt. Gleichzeitig bedeutet dies nicht, dass der Stichprobenkennwert auch automatisch den richtigen Wert f\u00fcr den gesuchten Populationsparameter trifft. Da eine Stichprobe und damit auch die Stichprobenkennwerte dem Zufall unterliegen, w\u00e4re eine richtige Sch\u00e4tzung sogar sehr unwahrscheinlich. Jedoch k\u00f6nnen wir bei einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer davon ausgehen, dass er den unbekannten Parameter im Mittel richtig sch\u00e4tzt.\u00a0Doch was bedeutet \"im Mittel\" in diesem Fall eigentlich? Schauen wir uns hierzu die Erwartungstreue von Sch\u00e4tzern nochmal genauer anhand der Stichprobenkennwerteverteilung an. Nehmen wir beispielsweise an, dass wir zwei Parameter einer Population sch\u00e4tzen wollen - den Mittelwert und die Varianz. Deren wahren Werte sind \u00b5 = 1500 und \u03c3<sup>2<\/sup> = 100, was wir nat\u00fcrlich in der Praxis \u00fcblicherweise nicht wissen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-505 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4.png\" alt=\"\" width=\"652\" height=\"79\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun ziehen wir, um die unbekannten Populationsparameter zu sch\u00e4tzen, (theoretisch) unendlich viele Stichproben mit N=5 und erhalten damit unendlich viele Kennwerte. Um nun die Stichprobenkennwerteverteilungen zu erhalten, nehmen wir all unsere Mittelwerte und Varianzen der Stichproben und bilden diese graphisch ab. So erhalten wir zwei Stichprobenkennwerteverteilungen - eine f\u00fcr die Mittelwerte und eine f\u00fcr die Varianzen.\r\nSchauen wir uns zun\u00e4chst die Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte an:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-506 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4.png\" alt=\"\" width=\"669\" height=\"164\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir sehen, dass viele Stichprobenmittelwerte h\u00f6her und viele wiederum niedriger als der wahre Populationsmittelwert ausgefallen sind. Bilden wir jedoch einen Mittelwert \u00fcber all unsere Stichprobenmittelwerte hinweg (sozusagen den Mittelwert der Mittelwerte), so sehen wir, dass dieser bei 1500 liegt und damit dem unbekannten Populationsparameter \u00b5 exakt entspricht. Man kann also sagen, dass der Stichprobenmittelwert den unbekannten Parameter \u00b5 durchschnittlich richtig sch\u00e4tzt.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-507 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1.png\" alt=\"\" width=\"690\" height=\"181\" \/>\r\n\r\nGenau dies bedeutet Erwartungstreue. Wenn der Mittelwert der Stichprobenkennwerteverteilung, der auch als <strong>Erwartungswert E(<span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/>) <\/span><\/strong>bezeichnet wird, dem Populationsparameter entspricht, so ist er ein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer vom Parameter. Damit ist der Mittelwert <strong><span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> <\/span><\/strong><span class=\"mwe-math-element\">ein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr \u00b5. <\/span>Statistisch wird dieser Sachverhalt wie folgt abgebildet:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-508 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1.png\" alt=\"\" width=\"874\" height=\"217\" \/>\r\n\r\nDoch wie sieht es mit der Varianz aus? Ist sie auch ein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr die Populationsvarianz? Schauen wir uns hierf\u00fcr die Stichprobenkennwerteverteilung der Varianzen (rechts im Bild) an.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-509 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1.png\" alt=\"\" width=\"794\" height=\"206\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Man sieht bereits auf den ersten Blick, dass die Varianzen in den gezogenen Stichproben zum gr\u00f6\u00dften Teil geringer sind als die wahre Populationsvarianz. W\u00fcrden wir also die Stichprobenvarianz als Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr die wahre Varianz benutzen, so w\u00e4re es sehr wahrscheinlich, dass wir die wahre Populationsvarianz untersch\u00e4tzen. Aus diesem Grund ist die Stichprobenvarianz <strong>kein<\/strong> erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr die Populationsvarianz. Dies k\u00f6nnen wir auch rechnerisch \u00fcberpr\u00fcfen, indem wir den Erwartungswert ablesen und ihn mit der tats\u00e4chlichen Populationsvarianz vergleichen. Da E(s<sup>2<\/sup>) gleich 80 und damit nicht gleich \u03c3<sup>2\u00a0<\/sup>= 100 ist, liegt keine Erwartungstreue vor.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch warum ist die Varianz in den Stichproben systematisch kleiner als in der Population?\r\nDie Population beinhaltet alle Merkmalstr\u00e4ger - auch die extrem unwahrscheinlichen. In Stichproben hingegen tauchen \"extreme\" Merkmalstr\u00e4ger nur selten auf. Viel h\u00e4ufiger beinhalten Stichproben nur die wahrscheinlicheren F\u00e4lle. Dadurch schwindet die Varianz in den Stichproben und ist somit kleiner als in der Population. Solch eine systematische Abweichungen wird auch <strong>Bias<\/strong> genannt.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-403 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-10-1.png\" alt=\"\" width=\"475\" height=\"469\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Stichprobenvarianz trotzdem als Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr die wahre Populationsvarianz benutzen zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir sie korrigieren. Unser erwartungstreuer Sch\u00e4tzer ist dementsprechend nicht der Stichprobenkennwert s<sup>2\u00a0<\/sup>selbst (wie beim Mittelwert weiter oben), sondern eine korrigierte Version von ihm. Die Korrektur sieht wie folgt aus:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-398 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-.png\" alt=\"\" width=\"437\" height=\"230\" \/>\r\n\r\n<span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">Das Dach \u00fcber dem Sigma zeigt an, dass es sich um den Sch\u00e4tzer eines Parameters handelt. Dieser ist nun erwartungstreu und kann als Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr die Populationsvarianz verwendet werden. Es gilt:<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-510 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-7-1.png\" alt=\"\" width=\"476\" height=\"221\" \/>\r\n\r\nHinweis: In vielen Texten und Statistikprogrammen wird s<sup>2 <\/sup>immer als die korrigierte, also erwartungstreue Varianzsch\u00e4tzung berechnet (z.B. SPSS). In Excel haben Sie die M\u00f6glichkeit zu w\u00e4hlen, ob Sie die \u201enormale\u201c (VAR.P) oder die \u201ekorrigierte\u201c (VAR.S) Varianz berechnen wollen. Bei der Formel f\u00fcr die erwartungstreue Varianzsch\u00e4tzung kann \u00fcbrigens auch ein \"n\" gek\u00fcrzt werden. Hierdurch erh\u00e4lt man die Formel f\u00fcr die korrigierte Varianz:\r\n\r\n<img class=\" wp-image-725 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1-300x46.png\" alt=\"\" width=\"496\" height=\"76\" \/>\r\n\r\n&nbsp;\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Schauen wir uns das einmal f\u00fcr unser Bild-Beispiel an:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\n<img class=\"size-medium wp-image-503 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5-300x183.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"183\" \/>\r\n\r\nNehmen wir an, dass wir eine Stichprobe von 5 Personen gezogen haben, die eine Varianz von s<sup>2 <\/sup>= 80 besitzt. Wir m\u00f6chten nun anhand unserer Stichprobe die Populationsvarianz sch\u00e4tzen (zur Erinnerung: diese liegt bei 100). Hierzu korrigieren wir unsere Stichprobenvarianz und machen sie so zu einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer:\r\n\r\n<img class=\"size-medium wp-image-494 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-300x44.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"44\" \/>\r\n\r\nUnsere Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr die Populationsvarianz ist = 100. (Und siehe da, wir haben den Populationsparameter in diesem Fall sogar richtig gesch\u00e4tzt)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Dieselbe Korrektur muss auch bei der Standardabweichung durchgef\u00fchrt werden. Auch sie ist, wie die Stichprobenvarianz, <strong>kein<\/strong> erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr den entsprechenden Populationsparameter. Jedoch ist diese Korrektur ein wenig aufw\u00e4ndiger, da wir die Standardabweichung zun\u00e4chst quadrieren, um die Stichprobenvarianz zu erhalten. Zum Schluss m\u00fcssen wir diesen Schritt wieder r\u00fcckg\u00e4ngig machen und ziehen aus diesem Grund nach der Korrektur die Wurzel aus dem Ergebnis.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-515 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1.png\" alt=\"\" width=\"910\" height=\"275\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Schauen wir uns dies nochmal anhand des selben Beispiels an:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\n<img class=\"size-medium wp-image-516 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1-300x184.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"184\" \/>\r\n\r\nNehmen wir an, dass wir eine Stichprobe von 5 Personen gezogen haben, die eine Standardabweichung von s<sup>\u00a0<\/sup>= 8,944 besitzt. Wir m\u00f6chten nun anhand unserer Stichprobe die Populationsstandardabweichung sch\u00e4tzen (zur Erinnerung: diese liegt bei 10). Hierzu korrigieren wir unsere Standardabweichung aus der Stichprobe und machen sie so zu einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-496 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-1024x152.png\" alt=\"\" width=\"733\" height=\"109\" \/>\r\n\r\nNun lautet unsere Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr die Standardabweichung der Population = 10. (Und siehe da, wir haben den Populationsparameter in diesem Fall wieder richtig gesch\u00e4tzt).\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n&nbsp;\r\n<h2>\u00dcbersicht<\/h2>\r\nBis auf die Varianz und die Standardabweichung sind alle g\u00e4ngigen Stichprobenkennwerte erwartungstreu. Das hei\u00dft, dass sie keiner Korrektur bed\u00fcrfen. Die folgende Tabelle zeigt zusammenfassend, welche Stichprobenkennwerte erwartungstreu sind und welche nicht:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-514 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1.png\" alt=\"\" width=\"766\" height=\"321\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nBei <strong>symmetrischen Verteilungen <\/strong>ist der <strong>Median<\/strong> ebenfalls erwartungstreu und bei <strong>symmetrischen<\/strong>, <strong>unimodalen<\/strong> <strong>Verteilungen<\/strong> auch der <strong>Modus. <\/strong>Allerdings ist hier der Standardfehler (was dies genau ist, erfahren Sie im n\u00e4chsten Abschnitt) gr\u00f6\u00dfer. Daher ist der Mittelwert der <strong>effizientere<\/strong> Sch\u00e4tzer.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nSind noch Fragen offen geblieben? Das folgende Video veranschaulicht Ihnen die Thematik anhand eines Beispiels der Burgerkette Five Profs.\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/DMWTL7EEfkE\">8.3 Parametersch\u00e4tzung | Erwartungstreue Sch\u00e4tzer<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/DMWTL7EEfkE\r\n<h1>8.5 Effizienz von (erwartungstreuen) Sch\u00e4tzern<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer wissen wir lediglich, dass unsere Punktsch\u00e4tzung nicht systematisch verzerrt ist und damit beispielsweise zu niedrig sch\u00e4tzt. Wir wissen jedoch nichts dar\u00fcber, wie gut bzw. schlecht unsere Sch\u00e4tzung ist. Um dies herauszufinden, sollten wir eine weitere Eigenschaft unserer Sch\u00e4tzer betrachten - ihre Genauigkeit. Diese Genauigkeit wird auch als <strong>Effizienz<\/strong> von Sch\u00e4tzern bezeichnet. Ein Sch\u00e4tzer gilt dabei als effizient, wenn er im Vergleich zu anderen Sch\u00e4tzern genauer sch\u00e4tzt.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Effizienz eines Sch\u00e4tzers zu verdeutlichen, lohnt sich ein Blick auf die Stichprobenkennwerteverteilung eines effizienten und eines nicht effizienten Sch\u00e4tzers:<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\"><img class=\"aligncenter wp-image-406 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1.png\" alt=\"\" width=\"558\" height=\"396\" \/>\r\nWir sehen, dass der effiziente Sch\u00e4tzer T<sub>1<\/sub> eine kleinere Varianz aufweist. Durch seine geringere Streuung weicht er weniger vom gesuchten Parameter ab und trifft somit bei seinen Sch\u00e4tzungen \u00f6fters ins Schwarze als T<sub>2<\/sub>. Um also die Genauigkeit einer Punktsch\u00e4tzung zu bestimmen, gibt man die Streuung, bzw. genauer gesagt die Standardabweichung, des Sch\u00e4tzers an.\u00a0 Man bezeichnet sie auch als <strong>Standardfehler<\/strong> oder, wenn man korrekt sein m\u00f6chte: <strong>Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Kennwerts<\/strong>.<\/p>\r\n\r\n<h1>8.6 Standardsch\u00e4tzfehler<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Standardfehler eines Kennwerts entspricht der <strong>Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung<\/strong>. \u00dcber den Standardfehler kann man bestimmen, mit welcher <strong>Genauigkeit<\/strong> man von einem Stichprobenkennwert auf den Populationsparameter schlie\u00dfen kann. Je kleiner dabei der Standardfehler ist, umso genauer kann man \u2013 ausgehend von dem Kennwert einer Stichprobe \u2013 den zugeh\u00f6rigen Populationsparameter sch\u00e4tzen. Graphisch kann man dies gut in unserer Stichprobenkennwerteverteilung sehen. Der effiziente und damit genauere Sch\u00e4tzer T<sub>1\u00a0<\/sub>hat einen deutlich kleineren Standardfehler als Sch\u00e4tzer T<sub>2<\/sub>:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-518 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-2-1.png\" alt=\"\" width=\"595\" height=\"332\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Je nach Kennwert (Mittelwert, Standardabweichung) gibt es einen anderen Standardfehler. Beispielsweise den Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts oder den Standardfehler des Sch\u00e4tzers der Varianz.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Folgenden behandeln wir beispielhaft den <strong>Standardfehler des Mittelwerts<\/strong>, der \u00fcber eine Zufallsstichprobe gesch\u00e4tzt worden ist. Er ist der wichtigste und gel\u00e4ufigste aller Standardfehler. Die anderen Standardfehler geh\u00f6ren zum Expertenwissen und kommen deshalb am Ende des Kapitels noch einmal vor.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts wird von zwei verschiedenen Variablen beeinflusst: von der Populationsvarianz und der gew\u00e4hlten Stichprobengr\u00f6\u00dfe. Beide Faktoren haben wir bereits im Kapitel \"Stichprobenkennwerteverteilung\" behandelt, jedoch werden wir sie noch einmal kurz wiederholen, um die sp\u00e4tere Berechnung verst\u00e4ndlicher zu machen. Der Standardfehler des Mittelwertes wird beeinflusst durch:<\/p>\r\n\r\n<ul>\r\n \t<li><strong>Die Stichprobengr\u00f6\u00dfe\r\n<\/strong>Die Form und die Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> ver\u00e4ndert sich <\/span>mit steigender oder sinkender <strong>Stichprobengr\u00f6\u00dfe. <\/strong>Je gr\u00f6\u00dfer dabei die Stichprobe, desto kleiner ist der Standardfehler der Stichprobenkennwerteverteilung. Warum ist dies so? Kleinere Stichproben (z.B. n = 3) neigen schnell zu \"extremen\" Mittelwerten, da diese von einzelnen Datenpunkten (und damit auch Ausrei\u00dfern) stark beeinflusst werden. Dadurch streut ihre Stichprobenkennwerteverteilung deutlich st\u00e4rker als bei gr\u00f6\u00dferen Stichproben (z.B. n = 100). Hier mitteln sich die Daten schneller aus, sodass extreme Mittelwerte eher selten sind und die Stichprobenkennwerteverteilung somit eine geringere Varianz besitzt.\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-525 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2.png\" alt=\"\" width=\"414\" height=\"273\" \/><\/li>\r\n \t<li><strong>Die Populationsvarianz<\/strong>\r\nDer Standardfehler von\u00a0 <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> <\/span>ver\u00e4ndert sich proportional zur Streuung des Merkmals in der Population. Je kleiner die Streuung in der Population, desto kleiner ist der Standardfehler und desto kleiner der Standardfehler, desto wahrscheinlicher haben wir eine genaue Sch\u00e4tzung. Warum ist das so? Wenn wir grunds\u00e4tzlich eine sehr homogene Population haben, dann sind auch die Stichproben, die wir aus ihr gewinnen, viel homogener, als wenn die Population stark streut. Erinnern Sie sich an das Beispiel mit den Lieblingseissorten bei Kindern und Erwachsenen? Erwachsene bilden in Bezug auf Anzahl der Lieblingseissorten eine relativ homogene Population. Bei den Kindern hingegen ist die Streuung in der Population viel gr\u00f6\u00dfer.\r\n<span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"aligncenter wp-image-526 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1.png\" alt=\"\" width=\"530\" height=\"252\" \/><\/span><\/li>\r\n<\/ul>\r\nWenn wir also den Standardfehler von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0 berechnen m\u00f6chten, d\u00fcrfen wir diese zwei Variablen nicht au\u00dfer Acht lassen. Aus diesem Grund sind sie fester Bestandteil der Berechnungsformel, die nur exakt diese beiden Faktoren beinhaltet.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-519 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-3-1.png\" alt=\"\" width=\"650\" height=\"168\" \/>\r\n\r\nDas Problem an dieser Berechnungsformel ist, dass wir oftmals nur eine Stichprobe ziehen und somit die Populationsvarianz nicht kennen. Aus diesem Grund m\u00fcssen wir den Standardfehler des Mittelwertes sch\u00e4tzen und zwar auf Basis der Varianz unserer gezogenen Stichprobe.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-520 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-4-1.png\" alt=\"\" width=\"699\" height=\"176\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Unser Standardfehler wird somit zum Standard<strong>sch\u00e4tz<\/strong>fehler bzw. zum <strong>Standardfehler des Sch\u00e4tzers<\/strong>. In der Formel bekommt der Standardfehler aus diesem Grund ein \"Dach\". So sehen wir, dass es sich nur um eine Sch\u00e4tzung handelt. Dadurch k\u00f6nnen wir statt der Populationsvarianz eine Sch\u00e4tzung der Populationsvarianz in die Formel eintragen. Wer sich an das letzte Kapitel erinnert, wei\u00df, dass wir f\u00fcr diese Sch\u00e4tzung jedoch nicht einfach die Stichprobenvarianz nehmen k\u00f6nnen. Sie ist kein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer und muss deshalb zun\u00e4chst korrigiert werden, bevor wir sie als Sch\u00e4tzer der Populationsvarianz in die Formel einsetzen k\u00f6nnen.<\/p>\r\n<img class=\"wp-image-499 size-full aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-6-1.png\" alt=\"\" width=\"722\" height=\"232\" \/>\r\n\r\nLassen Sie uns das noch einmal anhand eines Beispiels durchgehen:\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nAn einer repr\u00e4sentativen Stichprobe von 100 Personen wird ein Test zur Ermittlung der Koordinationsf\u00e4higkeit durchgef\u00fchrt. Die Testleistungen haben einen Mittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span> = 80 und eine Varianz\u00a0 von\u00a0s<sup>2 <\/sup>= 396.\r\n\r\nWie hoch ist der Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts?\r\n<ol>\r\n \t<li>Berechnung des Sch\u00e4tzers der Populationsvarianz<img class=\"alignnone wp-image-483 size-medium\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7-300x36.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"36\" \/><\/li>\r\n \t<li>Berechnung des Standardsch\u00e4tzfehlers<img class=\"alignnone wp-image-485\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1-300x87.png\" alt=\"\" width=\"276\" height=\"80\" \/><\/li>\r\n<\/ol>\r\nDer Standardsch\u00e4tzfehler des Mittelwerts ist = 2. Wenn wir also eine Punktsch\u00e4tzung des Populationsmittelwerts machen, so liegt die durchschnittliche Koordinationsf\u00e4higkeit der Population bei 80 (Punktsch\u00e4tzung) und der Standardfehler des Sch\u00e4tzers bei plus minus 2. Dieses G\u00fctema\u00df gibt an, dass wir uns im \"Mittel\" um 2 Einheiten irren.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nDer Standardfehler existiert nicht nur f\u00fcr den Mittelwert, sondern kann f\u00fcr jeden Kennwert berechnet werden, wenn man von einer Zufallsstichprobe ausgeht. Hier einige Beispiele f\u00fcr Standardsch\u00e4tzfehler:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-523 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-12-1.png\" alt=\"\" width=\"719\" height=\"169\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nNoch Fragen offen geblieben? Das folgende Video erkl\u00e4rt Ihnen den Standardsch\u00e4tzfehler anhand eines Beispiels aus der Burgerkette Five Profs.\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/fH9wrnif7sg\">8.5 Parametersch\u00e4tzung | Standardfehler<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/fH9wrnif7sg\r\n\r\nF\u00fcr weitere Rechenbeispiele und zum besseren Verst\u00e4ndnis der Berechnungsformel zeigt Ihnen das folgende Video noch mehr Beispiele aus der Five Profs Kette.\r\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/_Mj73lCXVkI\">8.6 Parametersch\u00e4tzung | Standardfehler Rechenbeispiele<\/a><\/p>\r\nhttps:\/\/youtu.be\/_Mj73lCXVkI\r\n<h1>8.7 Fazit Punktsch\u00e4tzung<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Punktsch\u00e4tzung erlaubt uns auf Basis von Stichprobenkennwerten einen unbekannten Populationsparameter zu sch\u00e4tzen. In diesem Kapitel haben wir gelernt, dass wir zur Punktsch\u00e4tzung erwartungstreue Sch\u00e4tzer heranziehen m\u00fcssen und die Genauigkeit der Sch\u00e4tzung durch den Standardsch\u00e4tzfehler bestimmen k\u00f6nnen.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Letztendlich gaukelt uns dieses Verfahren jedoch eine \"Pseudogenauigkeit\" vor: Wir geben den gesch\u00e4tzten Parameterwert punktgenau an und das, obwohl wir den wahren Parameterwert sehr selten exakt treffen werden. Man kann also eine Punktsch\u00e4tzung mit dem Versuch vergleichen, eine winzige Fliege (den wahren Parameterwert) mit einer Stecknadel (dem Punktsch\u00e4tzer) zu treffen. Der erfahrene Fliegenj\u00e4ger w\u00fcrde der Stecknadel eine Fliegenklatsche vorziehen. In der Statistik w\u00e4re ein <strong>Intervall<\/strong> die Entsprechung, was uns zum n\u00e4chsten Kapitel dieses Buches f\u00fchrt - der Intervallsch\u00e4tzung.<\/p>\r\n\r\n<h1>8.8 \u00dcbungsfragen<\/h1>\r\nBei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!\r\n\r\n[h5p id=\"61\"]\r\n\r\n[h5p id=\"62\"]\r\n\r\n<span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">In diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!<\/span>\r\n\r\n[h5p id=\"24\"]\r\n\r\n[h5p id=\"25\"]\r\n\r\n[h5p id=\"26\"]\r\n<h1>8.9 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\r\n<div>Wir haben eine Stichprobe von n=40 Burgerkunden nach Ihrem Alter gefragt und wollen hieraus eine Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr das Alter in der Population, also bei allen unseren Burgerkunden, ableiten. Wir haben in der Stichprobe einen Mittelwert von 23,5 Jahren und eine Standardabweichung s= 3,4.<\/div>\r\n&nbsp;\r\n<div>Wie gro\u00df ist der Standardfehler in diesem Fall (Standardsch\u00e4tzfehler des Mittelwerts)?<\/div>\r\n&nbsp;\r\n<div>Die L\u00f6sung finden Sie Schritt f\u00fcr Schritt im folgenden Video:<\/div>\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/w9UhQGKToQo\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch4.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>","rendered":"<h1>8.0 Einf\u00fchrung<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im vorausgegangenen Kapitel haben wir gelernt wie man eine Stichprobe zieht. Stichproben werden immer dann gezogen wenn es unm\u00f6glich oder zumindest nicht wirtschaftlich w\u00e4re Daten von allen Personen der Population zu erheben. Dabei sollte man nicht vergessen, dass die Population sich nicht auf alle Menschen bezieht sondern immer durch das Studienziel bestimmt wird. Die Population k\u00f6nnten also z.B. alle BWL-Studenten \u00fcber 20 sein oder alle Kunden unserer Burger-Filiale. In der deskriptiven Statistik sind Kennwerte exakt bestimmbar. Wir k\u00f6nnen z.B. das exakte Durchschnittsalter unserer Mitarbeiter aus der Mitarbeiterdatenbank berechnen. Die &#8222;Kennwerte&#8220; einer deutlich gr\u00f6\u00dferen Population k\u00f6nnen wir jedoch nur indirekt, durch das ziehen einer Stichprobe, bestimmen. Diese &#8222;Kennwerte einer Population&#8220; werden Parameter genannt und werden auf Basis einer gezogenen Stichprobe gesch\u00e4tzt. Deswegen besch\u00e4ftigen wir uns in diesem Kapitel auch mit der Sch\u00e4tzung von Populationsparametern. Beispielsweise k\u00f6nnte das Ziel dabei sein, eine m\u00f6glichst genaue Sch\u00e4tzung f\u00fcr das Durchschnittsalter unserer Kunden zu bekommen. Das exakte Durchschnittsalter unserer Kunden werden wir jedoch niemals ermitteln k\u00f6nnen, da sicherlich nicht alle unsere Burger-Kunden uns ihr Alter verraten werden und es auch \u00e4u\u00dferst unh\u00f6flich w\u00e4re jeden Kunden danach zu fragen.<\/p>\n<p>In diesem und dem n\u00e4chsten Kapitel widmen wir uns also nun der Sch\u00e4tzung von Populationsparametern. Um Populationsparameter aus den entsprechenden Stichprobenkennwerten zu sch\u00e4tzen, gibt es in der Inferenzstatistik zwei Sch\u00e4tzverfahren:<\/p>\n<ul>\n<li>die Punktsch\u00e4tzung<\/li>\n<li>die Intervallsch\u00e4tzung.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der wesentliche Unterschied zwischen den beiden Verfahren ist, dass die Punktsch\u00e4tzung einen m\u00f6glichst genauen N\u00e4herungswert f\u00fcr den gesuchten Populationsparameter angibt, w\u00e4hrend die Intervallsch\u00e4tzung stattdessen einen Bereich angibt, in dem der gesuchte Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. Bei der Punktsch\u00e4tzung werden Eigenschaften \u00fcber die Population als exakter Wert ermittelt (z.B. die Zahlungsbereitschaft betr\u00e4gt 1.500\u20ac) und meist mit einem Ma\u00df f\u00fcr den Sch\u00e4tzfehler versehen. Bei der Intervallsch\u00e4tzung wird ein Intervall f\u00fcr die Eigenschaft der Population angegeben (z.B. die Zahlungsbereitschaft liegt zwischen 1.400 und 1.600\u20ac) und diese dann mit einer Wahrscheinlichkeit versehen (z.B. 95%). \u00a0Im Folgenden wollen wir uns nun also zun\u00e4chst mit der Punktsch\u00e4tzung besch\u00e4ftigen. Hierf\u00fcr <span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">fangen wir zun\u00e4chst mit den Basics an: Kennwerte und Parameter.<\/span><\/p>\n<p>Einen guten \u00dcberblick \u00fcber das Thema &#8222;Sch\u00e4tzung von Populationsparametern&#8220; bietet Ihnen zudem das folgende Video von Five Profs.<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/gxUlOS96AOI\">8.1 Parametersch\u00e4tzung | Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"8.1 Parametersch\u00e4tzung | Einf\u00fchrung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/gxUlOS96AOI?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>8.1 Kennwerte und Parameter<\/h1>\n<h2>Kennwerte<\/h2>\n<p>Kennwerte haben Sie bereits im ersten Kapitel kennengelernt. Sie beziehen sich in der Inferenzstatistik immer auf die Stichprobe und werden mit lateinischen Buchstaben notiert.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr Kennwerte in der Inferenzstatistik:<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 64.7117%; height: 42px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 60.2719%;\">Mittelwert der Stichprobe<\/td>\n<td style=\"width: 25.1475%;\"><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 60.2719%;\">Standardabweichung der Stichprobe<\/td>\n<td style=\"width: 25.1475%;\"><em>s<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Diese <strong>Stichprobenkennwerte<\/strong> werden in der Inferenzstatistik als <strong>Zufallsvariablen<\/strong> aufgefasst. Dies ist so, weil die Kennwerte vom Zufall \u2013 n\u00e4mlich von der zuf\u00e4llig gezogenen Stichprobe \u2013 abh\u00e4ngen. Je nach Ziehung erhalten wir so beispielweise mal einen h\u00f6heren oder\u00a0 niedrigeren Mittelwert f\u00fcr die Zahlungsbereitschaft.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das Gute daran: Die Stichprobenkennwerte schwanken zwar zuf\u00e4llig, aber immerhin um den &#8222;wahren Wert&#8220; der Population herum (bis auf die Streuungsma\u00dfe, aber dazu sp\u00e4ter mehr). Diese Tatsache hilft uns sp\u00e4ter, um die gesuchten Gr\u00f6\u00dfen der Population sch\u00e4tzen zu k\u00f6nnen.<\/p>\n<h2>Parameter<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Werte der Population besser von den Kennwerten der Stichprobe abgrenzen zu k\u00f6nnen, hat man ihnen einen anderen Namen gegeben. Man bezeichnet die (in der Regel) unbekannten \u201eKennwerte\u201c der Population als <strong>Populationsparameter<\/strong> und notiert sie zur besseren Unterscheidung mit griechischen Buchstaben. Parameter sind im Gegensatz zu Stichprobenkennwerten <strong>feste Werte<\/strong> von Populationsverteilungen. Dies ist so, weil sich Parameter immer auf dieselbe zugrundeliegende Menge \u2013 auf die Population &#8211; beziehen. Solange sie sich nicht ver\u00e4ndert, ver\u00e4ndern sich auch ihre Parameter nicht und bilden somit feste Werte. Eben diese Parameter m\u00f6chten wir in der Parametersch\u00e4tzung mittels unserer Stichprobenkennwerte sch\u00e4tzen. Beispielsweise hat unsere Stichprobe von 100 Kunden f\u00fcr die Zahlungsbereitschaft den Kennwert 5\u20ac ergeben. Diesen nutzen wir als Sch\u00e4tzer f\u00fcr den (unbekannten) Populationsparameter, der die Zahlungsbereitschaft aller unserer Kunden darstellt. Da wir ja nicht alle unsere Kunden nach der Zahlungsbereitschaft befragen k\u00f6nnen, wird dieser Populationsparameter auch immer unbekannt bleiben und wir m\u00fcssen uns mit einer Sch\u00e4tzung zufriedengeben. Genau das macht die Inferenzstatistik so knifflig.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele f\u00fcr Populationsparameter:<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 73.216%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 51.5728%;\">Mittelwert der Population<\/td>\n<td style=\"width: 23.6628%;\">\u00b5\u00a0(mi)<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 51.5728%;\">Standardabweichung der Population<\/td>\n<td style=\"width: 23.6628%;\">\u03c3\u00a0(sigma)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2>\u00dcbersicht<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Stichprobenkennwerte und Populationsparameter geh\u00f6ren immer paarweise zusammen. Der Unterschied zwischen ihnen ist die Menge der Merkmalstr\u00e4ger, auf die sie sich beziehen. Stichprobenkennwerte beziehen sich (wie der Name schon sagt) auf eine Stichprobe. Populationsparameter beschreiben hingegen die zugrundeliegende Grundgesamtheit (also alle Menschen oder Untersuchungseinheiten, die wir betrachten). Die nachfolgende Tabelle gibt Ihnen einen \u00dcberblick \u00fcber die g\u00e4ngigsten Stichprobenkennwerte und die dazugeh\u00f6rigen Populationsparameter:<\/p>\n<table class=\"lines landscape aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 64.5709%; height: 96px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\"><\/td>\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\">Kennwert<\/td>\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">Parameter<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Anteilswert<\/td>\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>h<\/em> bzw. <em>p<\/em><\/td>\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c0\u00a0(pi)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Mittelwert<\/td>\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/td>\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u00b5\u00a0\u00a0(mi)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Varianz<\/td>\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>s<sup>2<\/sup><\/em><\/td>\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c3<sup>2<\/sup> (sigma quadrat)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Standardabweichung<\/td>\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>s<\/em><\/td>\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c3\u00a0(sigma)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 23.7701%; height: 16px;\">Korrelation<\/td>\n<td style=\"width: 21.9059%; height: 16px;\"><em>r<\/em><\/td>\n<td style=\"width: 15.0369%; height: 16px;\">\u03c1\u00a0(rho)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/4BiZA5yRcpY\">8.2 Parametersch\u00e4tzung | Kennwerte und Parameter<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"8.2 Parametersch\u00e4tzung | Kennwerte und Parameter\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/4BiZA5yRcpY?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>8.2 Punktsch\u00e4tzung<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Punktsch\u00e4tzung sch\u00e4tzt auf Basis eines Stichprobenkennwerts <strong>einen<\/strong> m\u00f6glichst genauen <strong>N\u00e4herungswert<\/strong> f\u00fcr den unbekannten bzw. gesuchten Parameter einer Population. Das Ziel des Verfahrens ist es somit einen Punkt zu bestimmen, an dem der gesuchte Parameter mit der h\u00f6chsten Wahrscheinlichkeit liegt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um eine Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr einen unbekannten Parameter durchzuf\u00fchren, ziehen wir zun\u00e4chst eine Zufallsstichprobe aus unserer Population und bestimmen daraufhin die relevanten Stichprobenkennwerte. Wenn wir beispielsweise den Mittelwert der Zahlungsbereitschaft f\u00fcr alle Kunden (Population) sch\u00e4tzen m\u00f6chten,\u00a0 bestimmen wir zun\u00e4chst den entsprechenden Mittelwert der gezogenen Stichprobe. Dieser Stichprobenkennwert ist im Normalfall unser <strong>Punktsch\u00e4tzer<\/strong> f\u00fcr den unbekannten Populationsparameter. Ziehen wir z.B. einen Stichprobenmittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 1.500\u20ac, so ist dies unsere Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr den unbekannten Populationsmittelwert \u00b5. In diesem Fall sch\u00e4tzen wir, dass der unbekannte Populationsmittelwert \u00b5 bei 1.500\u20ac liegt.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-517 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4.png\" alt=\"\" width=\"708\" height=\"317\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4.png 1009w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4-300x134.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4-768x344.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4-65x29.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4-225x101.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Parameter_Punktschaetzung-4-350x157.png 350w\" sizes=\"(max-width: 708px) 100vw, 708px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Ein weiteres Beispiel:<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Wir m\u00f6chten den Anteil von Katzenliebhabern in der Population bestimmen. Hierzu ziehen wir eine repr\u00e4sentative Zufallsstichprobe von 100 Personen und befragen sie anschlie\u00dfend. Wir erfahren, dass 26% unserer Befragten Katzenliebhaber sind. Dieser erhobene Anteilswert von 26% ist unser Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr den unbekannten Anteilswert an Katzenliebhabern in der Population.<\/p>\n<p>Auf Basis unserer Stichprobe k\u00f6nnen wir nun sagen, dass der Anteil an Katzenliebhabern in der Population sch\u00e4tzungsweise bei 26% liegt. Zus\u00e4tzlich sollten wir noch ein Ma\u00df f\u00fcr die G\u00fcte dieser Sch\u00e4tzung mit angeben. Hiermit werden wir uns im Folgenden besch\u00e4ftigen.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir k\u00f6nnen jedoch nicht alle Stichprobenkennwerte einfach als Punktsch\u00e4tzer auf die Population \u00fcbertragen. Daf\u00fcr m\u00fcssen die Stichprobenkennwerte <strong>erwartungstreu<\/strong> sein. Was sich genau hinter diesem Begriff verbirgt, erfahren Sie in den n\u00e4chsten Abschnitten.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Ein weiteres Problem bei dieser Vorgehensweise besteht darin, dass wir nicht davon ausgehen k\u00f6nnen, dass der Punktsch\u00e4tzer den gesuchten Populationsparameter auch tats\u00e4chlich trifft. Dieser Fall w\u00e4re sogar sehr unwahrscheinlich, da die Punktsch\u00e4tzung auf Kennzahlen beruht, die je nach Zufallsstichprobe mal h\u00f6her oder niedriger ausfallen k\u00f6nnen. Um dem entgegenzuwirken, lohnt es sich, die Genauigkeit der Punktsch\u00e4tzung zu ermitteln und mit anzugeben. Ein geeignetes Ma\u00df daf\u00fcr ist der <strong>Standardfehler des Sch\u00e4tzers<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bevor wir uns jedoch mit der Erwartungstreue und anderen G\u00fctekriterien der Sch\u00e4tzer befassen, werfen wir einen Blick auf die sogenannten &#8222;Stichprobenkennwerteverteilungen&#8220;. Sie bilden die Basis f\u00fcr die eben genannten Begriffe und sind deshalb f\u00fcr das Verst\u00e4ndnis unerl\u00e4sslich.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch3.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\n<h1>8.3 Stichprobenkennwerteverteilung<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Stichprobenkennwerteverteilung ist eine <strong>hypothetische Verteilung<\/strong>. Sie bildet zwar die Basis f\u00fcr statistische Theorien, existiert jedoch in der Realit\u00e4t nicht &#8211; h\u00f6chstens in Simulationen. Deshalb lassen Sie uns gemeinsam in ein Gedankenexperiment abtauchen, um die Stichprobenkennwerteverteilung n\u00e4her zu verstehen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Beispielweise wollen Sie bestimmen, wieviel Euro Personen pro Monat in Frankreich f\u00fcr Fastfood ausgeben. Aus diesem Anlass ziehen Sie nacheinander aus der Population der franz\u00f6sischen Staatsb\u00fcrger Zufallsstichproben mit immer derselben Gr\u00f6\u00dfe<em> n<\/em>. Hierbei ziehen sie jedoch nicht nur eine oder zwei Stichproben, sondern sehr, sehr viele gleichgro\u00dfe Zufallsstichproben. F\u00fcr jede Stichprobe berechnen Sie daraufhin den Mittelwert der Ausgaben f\u00fcr Fastfood pro Monat. So erhalten Sie sehr viele Mittelwerte, die sich von Stichprobe zu Stichprobe leicht unterscheiden (je nachdem wie viele Fastfood-Fans Sie zuf\u00e4llig in der Stichprobe haben). Wenn Sie nun alle Mittelwerte in eine Liste schreiben und der Gr\u00f6\u00dfe nach ordnen entsteht eine neue Verteilung &#8211; die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte oder anders gesagt die Stichprobenkennwerteverteilung. Dasselbe k\u00f6nnen Sie auch mit den anderen Kennwerten machen und erhalten dadurch beispielweise eine Stichprobenkennwerteverteilung der Standardabweichungen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-524 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1.png\" alt=\"\" width=\"703\" height=\"443\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1.png 868w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1-300x189.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1-768x484.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1-65x41.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1-225x142.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-1-1-350x221.png 350w\" sizes=\"(max-width: 703px) 100vw, 703px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um das eben gesagte in einen Satz zu bringen: Als <strong>Stichprobenkennwerteverteilung<\/strong> wird die Verteilung aller m\u00f6glichen Auspr\u00e4gungen eines Stichprobenkennwertes bezeichnet, die entsteht, wenn man nacheinander (unendlich viele) Stichproben <strong>der gleichen Gr\u00f6\u00dfe <\/strong>aus einer Population zieht.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Verteilung der Stichprobenkennwerte sieht dabei keinesfalls immer gleich aus. Ihre Form variiert und h\u00e4ngt von verschiedenen Faktoren ab. Diese sind:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Gr\u00f6\u00dfe der Stichproben<\/strong><br \/>\nStellen Sie sich beispielsweise vor, dass Sie eine Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte haben. Jeder Mittelwert stammt aus einer Stichprobe mit 3 Personen. Die Mittelwerte dieser kleinen Stichproben k\u00f6nnen leicht &#8222;extreme&#8220; Werte annehmen, da Ausrei\u00dfer einen hohen Einfluss auf die einzelnen Mittelwerte der Stichproben aus\u00fcben. Dadurch hat die Stichprobenkennwerteverteilung eine breite Streuung.<br \/>\nWenn wir jedoch Mittelwerte aus Stichproben mit jeweils 100 Personen nehmen, ist es deutlich unwahrscheinlicher, dass deren Mittelwerte &#8222;extrem&#8220; ausfallen, da sich die Werte in den Stichproben gegenseitig ausmitteln. F\u00fcr unsere Stichprobenkennwerteverteilung bedeutet dies, dass sie in diesem Fall eine deutlich geringere Streuung aufweist, da die meisten Mittelwerte moderat ausfallen.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-525\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2.png\" alt=\"\" width=\"443\" height=\"293\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2.png 557w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-300x198.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-65x43.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-225x149.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-350x231.png 350w\" sizes=\"(max-width: 443px) 100vw, 443px\" \/><\/li>\n<li><strong>Verteilung des Merkmals in der Population (Streuung)<\/strong><br \/>\nStreut das Merkmal in der Population sehr breit, so ist auch die Stichprobenkennwerteverteilung eher flacher und breiter als bei Merkmalen, die in der Population wenig streuen. Schauen wir uns beispielsweise die Stichprobekennwerteverteilungen von Kindern (bis 14 Jahre) und &#8222;Erwachsenen&#8220; (ab 14 Jahre) in Bezug auf Lieblingseissorten an. Nehmen wir an, die &#8222;Erwachsenen&#8220; haben grunds\u00e4tzlich eine geringe Anzahl an Lieblingseissorten. Die Mittelwerte der Stichproben w\u00fcrden sich haupts\u00e4chlich im Bereich zwischen\u00a0 3 &#8211; 5 Eissorten bewegen. Bei den Kindern hingegen sieht das ganz anders aus. Eine gro\u00dfe Anzahl an Kindern hat relativ viele Lieblingseissorten, jedoch gibt es auch viele Kinder, die nur wenige Eissorten m\u00f6gen. Dementsprechend streuen auch die Mittelwerte der Stichproben bei den Kindern viel st\u00e4rker. Einige Stichproben liegen bei <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 5 Eissorten und andere bei <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 12 Eissorten. Das wirkt sich auch auf die Stichprobenkennwerteverteilung aus, die bei den Kindern aufgrund der gr\u00f6\u00dferen Streuung der Mittelwerte deutlich flacher verl\u00e4uft.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-526\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1.png\" alt=\"\" width=\"643\" height=\"306\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1.png 798w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-300x143.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-768x366.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-65x31.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-225x107.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-350x167.png 350w\" sizes=\"(max-width: 643px) 100vw, 643px\" \/><br \/>\n<\/span><\/li>\n<li><strong>Typ des Kennwerts<\/strong> (Mittelwert, Varianz, Korrelation, etc.)<br \/>\nJe nach Typ des Kennwerts erhalten wir ebenfalls eine andere Stichprobenkennwerteverteilung. Dies bedeutet aber auch, dass wir f\u00fcr verschiedene Kennwerte auch verschiedene Berechnungsformeln brauchen, wenn wir beispielsweise die Varianz der einzelnen Stichprobenkennwerteverteilungen ausrechnen m\u00f6chten.<\/li>\n<li><strong>Art der Stichprobe<\/strong><br \/>\nHiermit ist die Art, wie die Stichproben gezogen wurden, gemeint. Wir gehen immer von Zufallsstichproben aus. Wenn Sie jedoch keine Zufallsstichproben darstellen, so d\u00fcrften strenggenommen keine R\u00fcckschl\u00fcsse auf die Population erfolgen (siehe Kapitel &#8222;Stichproben&#8220;).<\/li>\n<\/ul>\n<p>Zum besseren Verst\u00e4ndnis zeigt Ihnen das folgende Video die Thematik noch einmal anhand eines Beispiels.<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/8a6dAVbZTYo\">8.4 Parametersch\u00e4tzung | Stichprobenkennwerteverteilung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"8.4 Parametersch\u00e4tzung | Stichprobenkennwerteverteilung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/8a6dAVbZTYo?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>8.4 Erwartungstreue von Sch\u00e4tzern<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Kommen wir nun wieder zur\u00fcck zu der Punktsch\u00e4tzung. Bei der Punktsch\u00e4tzung benutzen wir einen Stichprobenkennwert, um den entsprechenden unbekannten Populationsparameter zu sch\u00e4tzen. Damit wir jedoch einen Stichprobenkennwert benutzten k\u00f6nnen, muss dieser <strong>erwartungstreu,<\/strong> beziehungsweise unverzerrt sein. Erwartungstreue bedeutet, dass der Sch\u00e4tzer (in diesem Fall der Stichprobenkennwert) bei seiner Sch\u00e4tzung keinem systematischen Fehler unterliegt und so beispielsweise den gesuchten Populationsparameter grunds\u00e4tzlich zu hoch oder zu niedrig sch\u00e4tzt. Gleichzeitig bedeutet dies nicht, dass der Stichprobenkennwert auch automatisch den richtigen Wert f\u00fcr den gesuchten Populationsparameter trifft. Da eine Stichprobe und damit auch die Stichprobenkennwerte dem Zufall unterliegen, w\u00e4re eine richtige Sch\u00e4tzung sogar sehr unwahrscheinlich. Jedoch k\u00f6nnen wir bei einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer davon ausgehen, dass er den unbekannten Parameter im Mittel richtig sch\u00e4tzt.\u00a0Doch was bedeutet &#8222;im Mittel&#8220; in diesem Fall eigentlich? Schauen wir uns hierzu die Erwartungstreue von Sch\u00e4tzern nochmal genauer anhand der Stichprobenkennwerteverteilung an. Nehmen wir beispielsweise an, dass wir zwei Parameter einer Population sch\u00e4tzen wollen &#8211; den Mittelwert und die Varianz. Deren wahren Werte sind \u00b5 = 1500 und \u03c3<sup>2<\/sup> = 100, was wir nat\u00fcrlich in der Praxis \u00fcblicherweise nicht wissen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-505\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4.png\" alt=\"\" width=\"652\" height=\"79\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4.png 843w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4-300x36.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4-768x93.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4-65x8.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4-225x27.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-1-4-350x42.png 350w\" sizes=\"(max-width: 652px) 100vw, 652px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun ziehen wir, um die unbekannten Populationsparameter zu sch\u00e4tzen, (theoretisch) unendlich viele Stichproben mit N=5 und erhalten damit unendlich viele Kennwerte. Um nun die Stichprobenkennwerteverteilungen zu erhalten, nehmen wir all unsere Mittelwerte und Varianzen der Stichproben und bilden diese graphisch ab. So erhalten wir zwei Stichprobenkennwerteverteilungen &#8211; eine f\u00fcr die Mittelwerte und eine f\u00fcr die Varianzen.<br \/>\nSchauen wir uns zun\u00e4chst die Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte an:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-506\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4.png\" alt=\"\" width=\"669\" height=\"164\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4.png 865w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4-300x74.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4-768x188.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4-65x16.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4-225x55.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-2-4-350x86.png 350w\" sizes=\"(max-width: 669px) 100vw, 669px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir sehen, dass viele Stichprobenmittelwerte h\u00f6her und viele wiederum niedriger als der wahre Populationsmittelwert ausgefallen sind. Bilden wir jedoch einen Mittelwert \u00fcber all unsere Stichprobenmittelwerte hinweg (sozusagen den Mittelwert der Mittelwerte), so sehen wir, dass dieser bei 1500 liegt und damit dem unbekannten Populationsparameter \u00b5 exakt entspricht. Man kann also sagen, dass der Stichprobenmittelwert den unbekannten Parameter \u00b5 durchschnittlich richtig sch\u00e4tzt.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-507\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1.png\" alt=\"\" width=\"690\" height=\"181\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1.png 869w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1-300x79.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1-768x202.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1-65x17.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1-225x59.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-3-1-350x92.png 350w\" sizes=\"(max-width: 690px) 100vw, 690px\" \/><\/p>\n<p>Genau dies bedeutet Erwartungstreue. Wenn der Mittelwert der Stichprobenkennwerteverteilung, der auch als <strong>Erwartungswert E(<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/>) <\/span><\/strong>bezeichnet wird, dem Populationsparameter entspricht, so ist er ein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer vom Parameter. Damit ist der Mittelwert <strong><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> <\/span><\/strong><span class=\"mwe-math-element\">ein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr \u00b5. <\/span>Statistisch wird dieser Sachverhalt wie folgt abgebildet:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-508\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1.png\" alt=\"\" width=\"874\" height=\"217\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1.png 1436w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1-300x74.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1-1024x254.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1-768x190.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1-65x16.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1-225x56.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-4-1-350x87.png 350w\" sizes=\"(max-width: 874px) 100vw, 874px\" \/><\/p>\n<p>Doch wie sieht es mit der Varianz aus? Ist sie auch ein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr die Populationsvarianz? Schauen wir uns hierf\u00fcr die Stichprobenkennwerteverteilung der Varianzen (rechts im Bild) an.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-509\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1.png\" alt=\"\" width=\"794\" height=\"206\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1.png 910w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1-300x78.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1-768x199.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1-65x17.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1-225x58.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-5-1-350x91.png 350w\" sizes=\"(max-width: 794px) 100vw, 794px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Man sieht bereits auf den ersten Blick, dass die Varianzen in den gezogenen Stichproben zum gr\u00f6\u00dften Teil geringer sind als die wahre Populationsvarianz. W\u00fcrden wir also die Stichprobenvarianz als Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr die wahre Varianz benutzen, so w\u00e4re es sehr wahrscheinlich, dass wir die wahre Populationsvarianz untersch\u00e4tzen. Aus diesem Grund ist die Stichprobenvarianz <strong>kein<\/strong> erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr die Populationsvarianz. Dies k\u00f6nnen wir auch rechnerisch \u00fcberpr\u00fcfen, indem wir den Erwartungswert ablesen und ihn mit der tats\u00e4chlichen Populationsvarianz vergleichen. Da E(s<sup>2<\/sup>) gleich 80 und damit nicht gleich \u03c3<sup>2\u00a0<\/sup>= 100 ist, liegt keine Erwartungstreue vor.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch warum ist die Varianz in den Stichproben systematisch kleiner als in der Population?<br \/>\nDie Population beinhaltet alle Merkmalstr\u00e4ger &#8211; auch die extrem unwahrscheinlichen. In Stichproben hingegen tauchen &#8222;extreme&#8220; Merkmalstr\u00e4ger nur selten auf. Viel h\u00e4ufiger beinhalten Stichproben nur die wahrscheinlicheren F\u00e4lle. Dadurch schwindet die Varianz in den Stichproben und ist somit kleiner als in der Population. Solch eine systematische Abweichungen wird auch <strong>Bias<\/strong> genannt.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-403 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-10-1.png\" alt=\"\" width=\"475\" height=\"469\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-10-1.png 475w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-10-1-300x296.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-10-1-65x64.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-10-1-225x222.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-10-1-350x346.png 350w\" sizes=\"(max-width: 475px) 100vw, 475px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Stichprobenvarianz trotzdem als Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr die wahre Populationsvarianz benutzen zu k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir sie korrigieren. Unser erwartungstreuer Sch\u00e4tzer ist dementsprechend nicht der Stichprobenkennwert s<sup>2\u00a0<\/sup>selbst (wie beim Mittelwert weiter oben), sondern eine korrigierte Version von ihm. Die Korrektur sieht wie folgt aus:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-398 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-.png\" alt=\"\" width=\"437\" height=\"230\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-.png 437w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue--300x158.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue--65x34.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue--225x118.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue--350x184.png 350w\" sizes=\"(max-width: 437px) 100vw, 437px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">Das Dach \u00fcber dem Sigma zeigt an, dass es sich um den Sch\u00e4tzer eines Parameters handelt. Dieser ist nun erwartungstreu und kann als Punktsch\u00e4tzer f\u00fcr die Populationsvarianz verwendet werden. Es gilt:<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-510 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-7-1.png\" alt=\"\" width=\"476\" height=\"221\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-7-1.png 476w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-7-1-300x139.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-7-1-65x30.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-7-1-225x104.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-7-1-350x163.png 350w\" sizes=\"(max-width: 476px) 100vw, 476px\" \/><\/p>\n<p>Hinweis: In vielen Texten und Statistikprogrammen wird s<sup>2 <\/sup>immer als die korrigierte, also erwartungstreue Varianzsch\u00e4tzung berechnet (z.B. SPSS). In Excel haben Sie die M\u00f6glichkeit zu w\u00e4hlen, ob Sie die \u201enormale\u201c (VAR.P) oder die \u201ekorrigierte\u201c (VAR.S) Varianz berechnen wollen. Bei der Formel f\u00fcr die erwartungstreue Varianzsch\u00e4tzung kann \u00fcbrigens auch ein &#8222;n&#8220; gek\u00fcrzt werden. Hierdurch erh\u00e4lt man die Formel f\u00fcr die korrigierte Varianz:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-725 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1-300x46.png\" alt=\"\" width=\"496\" height=\"76\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1-300x46.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1-768x117.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1-65x10.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1-225x34.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1-350x53.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Varianz_korrektur-1.png 909w\" sizes=\"(max-width: 496px) 100vw, 496px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Schauen wir uns das einmal f\u00fcr unser Bild-Beispiel an:<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-503 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5-300x183.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"183\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5-300x183.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5-768x469.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5-65x40.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5-225x137.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5-350x214.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-5.png 881w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Nehmen wir an, dass wir eine Stichprobe von 5 Personen gezogen haben, die eine Varianz von s<sup>2 <\/sup>= 80 besitzt. Wir m\u00f6chten nun anhand unserer Stichprobe die Populationsvarianz sch\u00e4tzen (zur Erinnerung: diese liegt bei 100). Hierzu korrigieren wir unsere Stichprobenvarianz und machen sie so zu einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-494 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-300x44.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"44\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-300x44.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-1024x150.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-768x113.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-65x10.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-225x33.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-350x51.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1.png 1044w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Unsere Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr die Populationsvarianz ist = 100. (Und siehe da, wir haben den Populationsparameter in diesem Fall sogar richtig gesch\u00e4tzt)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Dieselbe Korrektur muss auch bei der Standardabweichung durchgef\u00fchrt werden. Auch sie ist, wie die Stichprobenvarianz, <strong>kein<\/strong> erwartungstreuer Sch\u00e4tzer f\u00fcr den entsprechenden Populationsparameter. Jedoch ist diese Korrektur ein wenig aufw\u00e4ndiger, da wir die Standardabweichung zun\u00e4chst quadrieren, um die Stichprobenvarianz zu erhalten. Zum Schluss m\u00fcssen wir diesen Schritt wieder r\u00fcckg\u00e4ngig machen und ziehen aus diesem Grund nach der Korrektur die Wurzel aus dem Ergebnis.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-515\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1.png\" alt=\"\" width=\"910\" height=\"275\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1.png 1049w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1-300x91.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1-1024x309.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1-768x232.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1-65x20.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1-225x68.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-12-1-350x106.png 350w\" sizes=\"(max-width: 910px) 100vw, 910px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Schauen wir uns dies nochmal anhand des selben Beispiels an:<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-516 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1-300x184.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"184\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1-300x184.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1-768x471.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1-65x40.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1-225x138.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1-350x214.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-13-1.png 878w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Nehmen wir an, dass wir eine Stichprobe von 5 Personen gezogen haben, die eine Standardabweichung von s<sup>\u00a0<\/sup>= 8,944 besitzt. Wir m\u00f6chten nun anhand unserer Stichprobe die Populationsstandardabweichung sch\u00e4tzen (zur Erinnerung: diese liegt bei 10). Hierzu korrigieren wir unsere Standardabweichung aus der Stichprobe und machen sie so zu einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-496\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-1024x152.png\" alt=\"\" width=\"733\" height=\"109\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-1024x152.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-300x44.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-768x114.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-1536x227.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-65x10.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-225x33.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2-350x52.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/1-2.png 1818w\" sizes=\"(max-width: 733px) 100vw, 733px\" \/><\/p>\n<p>Nun lautet unsere Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr die Standardabweichung der Population = 10. (Und siehe da, wir haben den Populationsparameter in diesem Fall wieder richtig gesch\u00e4tzt).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2>\u00dcbersicht<\/h2>\n<p>Bis auf die Varianz und die Standardabweichung sind alle g\u00e4ngigen Stichprobenkennwerte erwartungstreu. Das hei\u00dft, dass sie keiner Korrektur bed\u00fcrfen. Die folgende Tabelle zeigt zusammenfassend, welche Stichprobenkennwerte erwartungstreu sind und welche nicht:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-514\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1.png\" alt=\"\" width=\"766\" height=\"321\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1.png 947w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1-300x126.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1-768x322.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1-65x27.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1-225x94.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Erwartungstreue-11-1-350x147.png 350w\" sizes=\"(max-width: 766px) 100vw, 766px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Bei <strong>symmetrischen Verteilungen <\/strong>ist der <strong>Median<\/strong> ebenfalls erwartungstreu und bei <strong>symmetrischen<\/strong>, <strong>unimodalen<\/strong> <strong>Verteilungen<\/strong> auch der <strong>Modus. <\/strong>Allerdings ist hier der Standardfehler (was dies genau ist, erfahren Sie im n\u00e4chsten Abschnitt) gr\u00f6\u00dfer. Daher ist der Mittelwert der <strong>effizientere<\/strong> Sch\u00e4tzer.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Sind noch Fragen offen geblieben? Das folgende Video veranschaulicht Ihnen die Thematik anhand eines Beispiels der Burgerkette Five Profs.<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/DMWTL7EEfkE\">8.3 Parametersch\u00e4tzung | Erwartungstreue Sch\u00e4tzer<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"8.3 Parametersch\u00e4tzung | Erwartungstreue Sch\u00e4tzer\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/DMWTL7EEfkE?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>8.5 Effizienz von (erwartungstreuen) Sch\u00e4tzern<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Mit einem erwartungstreuen Sch\u00e4tzer wissen wir lediglich, dass unsere Punktsch\u00e4tzung nicht systematisch verzerrt ist und damit beispielsweise zu niedrig sch\u00e4tzt. Wir wissen jedoch nichts dar\u00fcber, wie gut bzw. schlecht unsere Sch\u00e4tzung ist. Um dies herauszufinden, sollten wir eine weitere Eigenschaft unserer Sch\u00e4tzer betrachten &#8211; ihre Genauigkeit. Diese Genauigkeit wird auch als <strong>Effizienz<\/strong> von Sch\u00e4tzern bezeichnet. Ein Sch\u00e4tzer gilt dabei als effizient, wenn er im Vergleich zu anderen Sch\u00e4tzern genauer sch\u00e4tzt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Effizienz eines Sch\u00e4tzers zu verdeutlichen, lohnt sich ein Blick auf die Stichprobenkennwerteverteilung eines effizienten und eines nicht effizienten Sch\u00e4tzers:<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-406 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1.png\" alt=\"\" width=\"558\" height=\"396\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1.png 558w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1-300x213.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1-65x46.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1-225x160.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-1-350x248.png 350w\" sizes=\"(max-width: 558px) 100vw, 558px\" \/><br \/>\nWir sehen, dass der effiziente Sch\u00e4tzer T<sub>1<\/sub> eine kleinere Varianz aufweist. Durch seine geringere Streuung weicht er weniger vom gesuchten Parameter ab und trifft somit bei seinen Sch\u00e4tzungen \u00f6fters ins Schwarze als T<sub>2<\/sub>. Um also die Genauigkeit einer Punktsch\u00e4tzung zu bestimmen, gibt man die Streuung, bzw. genauer gesagt die Standardabweichung, des Sch\u00e4tzers an.\u00a0 Man bezeichnet sie auch als <strong>Standardfehler<\/strong> oder, wenn man korrekt sein m\u00f6chte: <strong>Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Kennwerts<\/strong>.<\/p>\n<h1>8.6 Standardsch\u00e4tzfehler<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Standardfehler eines Kennwerts entspricht der <strong>Standardabweichung der Stichprobenkennwerteverteilung<\/strong>. \u00dcber den Standardfehler kann man bestimmen, mit welcher <strong>Genauigkeit<\/strong> man von einem Stichprobenkennwert auf den Populationsparameter schlie\u00dfen kann. Je kleiner dabei der Standardfehler ist, umso genauer kann man \u2013 ausgehend von dem Kennwert einer Stichprobe \u2013 den zugeh\u00f6rigen Populationsparameter sch\u00e4tzen. Graphisch kann man dies gut in unserer Stichprobenkennwerteverteilung sehen. Der effiziente und damit genauere Sch\u00e4tzer T<sub>1\u00a0<\/sub>hat einen deutlich kleineren Standardfehler als Sch\u00e4tzer T<sub>2<\/sub>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-518 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-2-1.png\" alt=\"\" width=\"595\" height=\"332\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-2-1.png 595w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-2-1-300x167.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-2-1-65x36.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-2-1-225x126.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-2-1-350x195.png 350w\" sizes=\"(max-width: 595px) 100vw, 595px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Je nach Kennwert (Mittelwert, Standardabweichung) gibt es einen anderen Standardfehler. Beispielsweise den Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts oder den Standardfehler des Sch\u00e4tzers der Varianz.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im Folgenden behandeln wir beispielhaft den <strong>Standardfehler des Mittelwerts<\/strong>, der \u00fcber eine Zufallsstichprobe gesch\u00e4tzt worden ist. Er ist der wichtigste und gel\u00e4ufigste aller Standardfehler. Die anderen Standardfehler geh\u00f6ren zum Expertenwissen und kommen deshalb am Ende des Kapitels noch einmal vor.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts wird von zwei verschiedenen Variablen beeinflusst: von der Populationsvarianz und der gew\u00e4hlten Stichprobengr\u00f6\u00dfe. Beide Faktoren haben wir bereits im Kapitel &#8222;Stichprobenkennwerteverteilung&#8220; behandelt, jedoch werden wir sie noch einmal kurz wiederholen, um die sp\u00e4tere Berechnung verst\u00e4ndlicher zu machen. Der Standardfehler des Mittelwertes wird beeinflusst durch:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Die Stichprobengr\u00f6\u00dfe<br \/>\n<\/strong>Die Form und die Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> ver\u00e4ndert sich <\/span>mit steigender oder sinkender <strong>Stichprobengr\u00f6\u00dfe. <\/strong>Je gr\u00f6\u00dfer dabei die Stichprobe, desto kleiner ist der Standardfehler der Stichprobenkennwerteverteilung. Warum ist dies so? Kleinere Stichproben (z.B. n = 3) neigen schnell zu &#8222;extremen&#8220; Mittelwerten, da diese von einzelnen Datenpunkten (und damit auch Ausrei\u00dfern) stark beeinflusst werden. Dadurch streut ihre Stichprobenkennwerteverteilung deutlich st\u00e4rker als bei gr\u00f6\u00dferen Stichproben (z.B. n = 100). Hier mitteln sich die Daten schneller aus, sodass extreme Mittelwerte eher selten sind und die Stichprobenkennwerteverteilung somit eine geringere Varianz besitzt.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-525\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2.png\" alt=\"\" width=\"414\" height=\"273\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2.png 557w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-300x198.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-65x43.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-225x149.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-2-2-350x231.png 350w\" sizes=\"(max-width: 414px) 100vw, 414px\" \/><\/li>\n<li><strong>Die Populationsvarianz<\/strong><br \/>\nDer Standardfehler von\u00a0 <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> <\/span>ver\u00e4ndert sich proportional zur Streuung des Merkmals in der Population. Je kleiner die Streuung in der Population, desto kleiner ist der Standardfehler und desto kleiner der Standardfehler, desto wahrscheinlicher haben wir eine genaue Sch\u00e4tzung. Warum ist das so? Wenn wir grunds\u00e4tzlich eine sehr homogene Population haben, dann sind auch die Stichproben, die wir aus ihr gewinnen, viel homogener, als wenn die Population stark streut. Erinnern Sie sich an das Beispiel mit den Lieblingseissorten bei Kindern und Erwachsenen? Erwachsene bilden in Bezug auf Anzahl der Lieblingseissorten eine relativ homogene Population. Bei den Kindern hingegen ist die Streuung in der Population viel gr\u00f6\u00dfer.<br \/>\n<span class=\"mwe-math-element\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-526\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1.png\" alt=\"\" width=\"530\" height=\"252\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1.png 798w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-300x143.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-768x366.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-65x31.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-225x107.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Stichprobenkennwerteverteilung-3-1-350x167.png 350w\" sizes=\"(max-width: 530px) 100vw, 530px\" \/><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p>Wenn wir also den Standardfehler von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0 berechnen m\u00f6chten, d\u00fcrfen wir diese zwei Variablen nicht au\u00dfer Acht lassen. Aus diesem Grund sind sie fester Bestandteil der Berechnungsformel, die nur exakt diese beiden Faktoren beinhaltet.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-519 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-3-1.png\" alt=\"\" width=\"650\" height=\"168\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-3-1.png 650w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-3-1-300x78.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-3-1-65x17.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-3-1-225x58.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-3-1-350x90.png 350w\" sizes=\"(max-width: 650px) 100vw, 650px\" \/><\/p>\n<p>Das Problem an dieser Berechnungsformel ist, dass wir oftmals nur eine Stichprobe ziehen und somit die Populationsvarianz nicht kennen. Aus diesem Grund m\u00fcssen wir den Standardfehler des Mittelwertes sch\u00e4tzen und zwar auf Basis der Varianz unserer gezogenen Stichprobe.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-520 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-4-1.png\" alt=\"\" width=\"699\" height=\"176\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-4-1.png 699w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-4-1-300x76.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-4-1-65x16.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-4-1-225x57.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-4-1-350x88.png 350w\" sizes=\"(max-width: 699px) 100vw, 699px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Unser Standardfehler wird somit zum Standard<strong>sch\u00e4tz<\/strong>fehler bzw. zum <strong>Standardfehler des Sch\u00e4tzers<\/strong>. In der Formel bekommt der Standardfehler aus diesem Grund ein &#8222;Dach&#8220;. So sehen wir, dass es sich nur um eine Sch\u00e4tzung handelt. Dadurch k\u00f6nnen wir statt der Populationsvarianz eine Sch\u00e4tzung der Populationsvarianz in die Formel eintragen. Wer sich an das letzte Kapitel erinnert, wei\u00df, dass wir f\u00fcr diese Sch\u00e4tzung jedoch nicht einfach die Stichprobenvarianz nehmen k\u00f6nnen. Sie ist kein erwartungstreuer Sch\u00e4tzer und muss deshalb zun\u00e4chst korrigiert werden, bevor wir sie als Sch\u00e4tzer der Populationsvarianz in die Formel einsetzen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-499 size-full aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-6-1.png\" alt=\"\" width=\"722\" height=\"232\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-6-1.png 722w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-6-1-300x96.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-6-1-65x21.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-6-1-225x72.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-6-1-350x112.png 350w\" sizes=\"(max-width: 722px) 100vw, 722px\" \/><\/p>\n<p>Lassen Sie uns das noch einmal anhand eines Beispiels durchgehen:<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>An einer repr\u00e4sentativen Stichprobe von 100 Personen wird ein Test zur Ermittlung der Koordinationsf\u00e4higkeit durchgef\u00fchrt. Die Testleistungen haben einen Mittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span> = 80 und eine Varianz\u00a0 von\u00a0s<sup>2 <\/sup>= 396.<\/p>\n<p>Wie hoch ist der Standardfehler des Sch\u00e4tzers des Mittelwerts?<\/p>\n<ol>\n<li>Berechnung des Sch\u00e4tzers der Populationsvarianz<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-483 size-medium\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7-300x36.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"36\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7-300x36.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7-768x92.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7-65x8.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7-225x27.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7-350x42.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-7.png 930w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/li>\n<li>Berechnung des Standardsch\u00e4tzfehlers<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-485\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1-300x87.png\" alt=\"\" width=\"276\" height=\"80\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1-300x87.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1-768x222.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1-225x65.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1-350x101.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-8-1.png 836w\" sizes=\"(max-width: 276px) 100vw, 276px\" \/><\/li>\n<\/ol>\n<p>Der Standardsch\u00e4tzfehler des Mittelwerts ist = 2. Wenn wir also eine Punktsch\u00e4tzung des Populationsmittelwerts machen, so liegt die durchschnittliche Koordinationsf\u00e4higkeit der Population bei 80 (Punktsch\u00e4tzung) und der Standardfehler des Sch\u00e4tzers bei plus minus 2. Dieses G\u00fctema\u00df gibt an, dass wir uns im &#8222;Mittel&#8220; um 2 Einheiten irren.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Der Standardfehler existiert nicht nur f\u00fcr den Mittelwert, sondern kann f\u00fcr jeden Kennwert berechnet werden, wenn man von einer Zufallsstichprobe ausgeht. Hier einige Beispiele f\u00fcr Standardsch\u00e4tzfehler:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-523 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-12-1.png\" alt=\"\" width=\"719\" height=\"169\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-12-1.png 719w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-12-1-300x71.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-12-1-65x15.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-12-1-225x53.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Standardfehler-12-1-350x82.png 350w\" sizes=\"(max-width: 719px) 100vw, 719px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Noch Fragen offen geblieben? Das folgende Video erkl\u00e4rt Ihnen den Standardsch\u00e4tzfehler anhand eines Beispiels aus der Burgerkette Five Profs.<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/fH9wrnif7sg\">8.5 Parametersch\u00e4tzung | Standardfehler<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"8.5 Parametersch\u00e4tzung | Standardfehler\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/fH9wrnif7sg?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>F\u00fcr weitere Rechenbeispiele und zum besseren Verst\u00e4ndnis der Berechnungsformel zeigt Ihnen das folgende Video noch mehr Beispiele aus der Five Profs Kette.<\/p>\n<p class=\"title style-scope ytd-video-primary-info-renderer\"><a href=\"https:\/\/youtu.be\/_Mj73lCXVkI\">8.6 Parametersch\u00e4tzung | Standardfehler Rechenbeispiele<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"8.6 Parametersch\u00e4tzung | Standardfehler Rechenbeispiele\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/_Mj73lCXVkI?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>8.7 Fazit Punktsch\u00e4tzung<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Punktsch\u00e4tzung erlaubt uns auf Basis von Stichprobenkennwerten einen unbekannten Populationsparameter zu sch\u00e4tzen. In diesem Kapitel haben wir gelernt, dass wir zur Punktsch\u00e4tzung erwartungstreue Sch\u00e4tzer heranziehen m\u00fcssen und die Genauigkeit der Sch\u00e4tzung durch den Standardsch\u00e4tzfehler bestimmen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Letztendlich gaukelt uns dieses Verfahren jedoch eine &#8222;Pseudogenauigkeit&#8220; vor: Wir geben den gesch\u00e4tzten Parameterwert punktgenau an und das, obwohl wir den wahren Parameterwert sehr selten exakt treffen werden. Man kann also eine Punktsch\u00e4tzung mit dem Versuch vergleichen, eine winzige Fliege (den wahren Parameterwert) mit einer Stecknadel (dem Punktsch\u00e4tzer) zu treffen. Der erfahrene Fliegenj\u00e4ger w\u00fcrde der Stecknadel eine Fliegenklatsche vorziehen. In der Statistik w\u00e4re ein <strong>Intervall<\/strong> die Entsprechung, was uns zum n\u00e4chsten Kapitel dieses Buches f\u00fchrt &#8211; der Intervallsch\u00e4tzung.<\/p>\n<h1>8.8 \u00dcbungsfragen<\/h1>\n<p>Bei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-61\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"61\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-62\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"62\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p><span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">In diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!<\/span><\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-24\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"24\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-25\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"25\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-26\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"26\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<h1>8.9 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\n<div>Wir haben eine Stichprobe von n=40 Burgerkunden nach Ihrem Alter gefragt und wollen hieraus eine Punktsch\u00e4tzung f\u00fcr das Alter in der Population, also bei allen unseren Burgerkunden, ableiten. Wir haben in der Stichprobe einen Mittelwert von 23,5 Jahren und eine Standardabweichung s= 3,4.<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div>Wie gro\u00df ist der Standardfehler in diesem Fall (Standardsch\u00e4tzfehler des Mittelwerts)?<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div>Die L\u00f6sung finden Sie Schritt f\u00fcr Schritt im folgenden Video:<\/div>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"8.7 \u00dcbungsaufgabe zum Standardfehler\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/w9UhQGKToQo?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch4.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"menu_order":2,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"part":90,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/97"}],"collection":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"version-history":[{"count":48,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/97\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1719,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/97\/revisions\/1719"}],"part":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/90"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/97\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=97"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=97"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=97"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=97"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}