{"id":89,"date":"2020-10-16T17:06:20","date_gmt":"2020-10-16T15:06:20","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/z-standardisierung\/"},"modified":"2025-08-07T14:47:04","modified_gmt":"2025-08-07T12:47:04","slug":"z-standardisierung","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/z-standardisierung\/","title":{"rendered":"Z-Standardisierung"},"content":{"raw":"

6.0 Einf\u00fchrung<\/h1>\r\n
Wir haben nun schon an einigen Stellen von Standardisierung gesprochen. Bei der Berechnung der Standardabweichung, sowie bei der Berechnung der Produkt-Moment Korrelation und der Regression. Standardisierung kommt allgemein immer dann zum Einsatz, wenn es darum geht Werte auf unterschiedlichen Skalen vergleichbar zu machen<\/strong>.\u00a0 Dies kennen wir auch aus dem Alltag: Wir k\u00f6nnen die Gr\u00f6\u00dfe von Menschen in Metern (m), Zentimetern (cm), aber auch in Fu\u00df (ft) oder Inch (in) messen. Hier besteht der Vorteil, dass es einheitliche Umrechnungsregeln gibt, mit Hilfe derer wir Werte auf der einen Skala, in Werte auf der anderen Skala umrechnen k\u00f6nnen. Dies ist aber nicht immer der Fall. So gibt es zum Beispiel verschiedene Sprachtests, die Sprachf\u00e4higkeiten in Englisch testen, z.B. der TOEFL, der TOEIC oder der IELTS. Jeder dieser Tests hat eine eigene Bewertungslogik f\u00fcr die es keine Umrechnung gibt. Doch wie k\u00f6nnen Sie nun die Sprachfertigkeiten von zwei Studierenden vergleichen, wenn sie unterschiedliche Tests absolviert haben? Noch schwieriger wird es, wenn es sich um g\u00e4nzlich andere Tests handelt. So sind Personalentscheider oft mit Bewerbern konfrontiert, die in anderen Bildungssystemen g\u00e4nzlich andere Abschl\u00fcsse erzielt haben. Wie kann hier eine objektive Entscheidung getroffen werden? Genau hierf\u00fcr bietet die z-Standardisierung eine L\u00f6sung an. Hierbei ist die Grundidee relativ einfach: Die Werte werden an der Gesamtheit aller Werte relativiert<\/strong>. Es wird also z.B. die Note einer Person in einem Test, mit den Noten aller Teilnehmer dieses Tests verglichen und hieraus eine relative Position errechnet, die dann unabh\u00e4ngig von der zugrunde liegenden Skala <\/strong>mit Ergebnissen anderer Test vergleichbar ist<\/strong>.<\/div>\r\n
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Video 6.0 Z-Standardisierung | Einf\u00fchrung<\/a><\/div>\r\n[embed]https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hKWgm21J9bo[\/embed]\r\n
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6.1 Berechnung des Z-Werts<\/h1>\r\n
Wir wollen nun im Folgenden eine Methode entwickeln, mit der wir die Werte von zwei Merkmalstr\u00e4gern aus unterschiedlichen Stichproben miteinander vergleichen k\u00f6nnen (z.B. Examensnoten zweier unterschiedlicher Hochschulen). Um eine Vergleichbarkeit zu erreichen, werden wir die individuellen Leistungen zuvor an der Gesamtleistung des Kollektivs (d.h. aller Werte der jeweiligen Skala) relativieren. Eine sehr einfache M\u00f6glichkeit dies zu tun, w\u00e4re den Abstand vom jeweiligen Mittelwert<\/strong> zu betrachten (dies nennt man auch Zentrierung). Wenn die Werte sehr weit auseinander liegen funktioniert dies auch recht gut. So k\u00f6nnten wir mit dieser Methode z.B. feststellen, dass ein Bewerber \u00fcber den Mittelwert seiner Hochschule liegt und der andere darunter. Der Nachteil dieser Methode ist jedoch, dass dies nur dann m\u00f6glich ist, wenn beide Stichproben dieselbe Skala nutzen (z.B. Schulnoten). Au\u00dferdem wird hierbei die Streuung der Verteilungen nicht ber\u00fccksichtigt (diese kann bei den beiden Hochschulen sehr unterschiedlich sein). Um eine besser vergleichbare und interpretierbare L\u00f6sung zu erreichen wird daher noch eine weitere Berechnung durchgef\u00fchrt. Das Ziel dabei ist es, den Abstand des Wertes zum Mittelwert nicht in der Ma\u00dfeinheit der jeweiligen Skala zu betrachten, sondern basierend auf der durchschnittlichen Streuung dieser Verteilung um den Mittelwert (also der Standardabweichung ebendieser Verteilung)<\/strong>.\u00a0<\/span><\/div>\r\n
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Man berechnet hierzu die relative Abweichung, indem man die Abweichung vom Mittelwert in Einheiten der jeweiligen Standardabweichung darstellt. Hierdurch erhalten Werte unterschiedlicher Skalen ein einheitliches Format (den sogenannten Z-Wert) und k\u00f6nnen direkt miteinander verglichen werden. Das Ergebnis ist die Z-Standardisierung<\/strong> oder auch Z-Transformation<\/strong>.\u00a0<\/span><\/p>\r\n\"\"\r\n\r\n<\/div>\r\nDer resultierende Z-Wert erm\u00f6glicht somit eine universell interpretierbare Aussage dar\u00fcber, wie weit ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Ein Wert von +3 bedeutet hierbei zum Beispiel, dass die Person drei Standardabweichung vom Mittelwert entfernt ist.\r\n\r\n\"\"\r\n

Da die Standardabweichung die durchschnittliche Streuung repr\u00e4sentiert, bedeutet dies auch, dass die meisten Werte im Bereich +\/- eine Standardabweichung um den Mittelwert liegen (mehr dazu in Kapitel 6.3). Ein Z-Wert von+ 3 ist daher schon ein sehr ungew\u00f6hnlicher Wert - also ein Ausrei\u00dfer. Der Z-Wert kann hierbei positive und negative Werte annehmen. Die Interpretation des Vorzeichens h\u00e4ngt dabei von der zugrundeliegenden Skala ab. Nehmen wir als Beispiel die Punkte in der Statistik-Klausur. Hier w\u00fcrde ein Z-Wert von 3 bedeuteten, dass die Person ein extrem gutes Ergebnis erzielt hat (deutlich mehr Punkte wie die meisten anderen, die dieselbe Klausur geschrieben haben). W\u00e4re die zugrunde liegende Skala das Notensystem (1 sehr gut - 6 ungen\u00fcgend), dann w\u00fcrde ein Wert von +3 bedeuten, dass die Person ein sehr schlechtes Ergebnis (eine schlechtere Note als die meisten anderen) erzielt hat.<\/p>\r\n\"\"\r\n\r\n\"Das<\/a>\r\n

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Beispiel Z-Standardisierung<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n

\r\n\r\nZwei Schulkameraden haben an der PISA-Studie teilgenommen, Peter im Fach Deutsch, Jakob im Fach Mathematik. Beide haben einen Wert von 620 Punkten erreicht<\/strong>. Nun m\u00f6chten sie herausfinden, wer von beiden relativ besser abgeschnitten hat. Hierf\u00fcr bringen die beiden zun\u00e4chst die Kennwerte der PISA-Ergebnisse f\u00fcr Deutschland in Erfahrung. Diese sind:\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nIm Folgenden k\u00f6nnen wir nun die jeweiligen z-Werte f\u00fcr beide errechnen. Die Berechnung hierf\u00fcr lautet:\r\n\r\n\"\"\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nWie k\u00f6nnen wir nun die beiden Z-Werte Interpretieren?\r\n\r\nBeide Sch\u00fcler haben in ihren F\u00e4chern \u00fcberdurchschnittlich gut abgeschnitten. Aber obwohl Peters Ergebnis auf der (urspr\u00fcnglichen) Punkteskala deutlicher vom Mittelwert abweicht, ist Jakobs Ergebnis (im Vergleich mit allen deutschen Sch\u00fclern) als besser zu beurteilen. Es liegt um 1,31 Standardabweichungen oberhalb vom Mittelwert; Peters Ergebnis liegt mit 1,23 Standardabweichungen weniger weit vom Mittelwert entfernt. Jakob hat damit das relativ bessere Ergebnis im PISA-Test erreicht.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nVideo 6.1 Z-Standardisierung | Berechnung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/_2_Vy9Pdl04\r\n\r\n<\/div>\r\n

6.2 Transformation von Verteilungen<\/h1>\r\n

Mit der Z-Standardisierung lassen sich nicht nur einzelne Werte, sondern auch ganze Verteilungen standardisieren<\/strong>. Hierdurch wird jede beliebige Verteilung, in eine Verteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1 transformiert. Man spricht auch von einer Zentrierung der Daten<\/strong>, da dadurch die Verteilung immer in gleich viele positive, wie negative Werte aufgeteilt wird. Dabei gehen nat\u00fcrlich die Werte auf der Ursprungsskala verloren, d.h. Sie k\u00f6nnen danach zum Beispiel nicht mehr direkt ablesen, wer welche Punktzahl oder Note erreicht hat. Die relative Position der Werte und damit auch die Verteilungsform der Verteilung bleibt jedoch erhalten. Dies hat unter anderem den Vorteil, dass Verteilungsformen mit unterschiedlichen Ausgangsskalen (also z.B. Noten, Punkte etc.) verglichen werden k\u00f6nnen.<\/p>\r\n\"\"\r\n\r\nVideo 6.2 Z-Standardisierung | Transformation<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/s8xfhFhLBzs\r\n

6.3 Die Standardnormalverteilung<\/h1>\r\n

Die Normalverteilung kommt in der Natur sehr h\u00e4ufig vor: das Gewicht von K\u00fchen, die Gr\u00f6\u00dfe von B\u00e4umen, aber auch die Intelligenz von Menschen, all dies ist normalverteilt. Dabei beschreibt die Normalverteilung nur die Form der Verteilung. Der genaue Verlauf\u00a0 der jeweiligen Normalverteilung wird durch den Mittelwert und die Standardabweichung bestimmt. Hierdurch ergibt sich eine Besonderheit, denn wenn wir eine beliebige Normalverteilung standardisieren kommen wir immer bei exakt der gleichen Verteilung heraus: Der sogenannten Standardnormalverteilung. Einer Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1<\/strong>.<\/p>\r\n\"\"\r\n

Da diese Verteilung immer exakt gleich ist, l\u00e4sst sich ihr Verlauf sehr genau beschreiben. Grunds\u00e4tzlich k\u00f6nnen wir, \u00fcber die Berechnung von Integralen, die Fl\u00e4chen unter dieser Funktion exakt bestimmen und k\u00f6nnen damit die H\u00e4ufigkeiten, mit denen Werte in bestimmten Intervallen auftreten, festlegen. Da diese Werte jedoch immer gleich sind, m\u00fcssen wir nicht jedes mal ein Integral rechnen, sondern wir k\u00f6nnen die Werte bequem aus Tabellen ablesen, die Sie z.B. im Anhang zu fast allen Statistikb\u00fcchern finden.<\/p>\r\nWichtige Intervalle, die Sie kennen sollten:\r\n