{"id":65,"date":"2020-10-16T17:06:09","date_gmt":"2020-10-16T15:06:09","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/korrelation\/"},"modified":"2025-08-07T14:46:44","modified_gmt":"2025-08-07T12:46:44","slug":"korrelation","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/korrelation\/","title":{"rendered":"Korrelation"},"content":{"raw":"<h1 style=\"text-align: left;\">4.0 Einf\u00fchrung Korrelation<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Bisher kennen Sie zwei Gruppen an Kennwerten: Ma\u00dfe der zentralen Tendenz und Streuungsma\u00dfe. In diesem Kapitel lernen Sie nun eine weitere Gruppe an Kennwerten kennen, die sogenannten Korrelationsma\u00dfe. Korrelation beschreibt <strong>wie Variablen zusammenh\u00e4ngen<\/strong>. Im Folgenden wollen wir uns mit der bivariaten Korrelation, also der Korrelation von genau zwei Variablen besch\u00e4ftigen.<\/p>\r\n\r\n<h1 style=\"text-align: left;\">4.1 Zusammenhang zwischen zwei Variablen<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Grunds\u00e4tzlich kann der Zusammenhang in zwei Dimensionen beschrieben werden: im Hinblick auf die <strong>Richtung<\/strong> und auf die <strong>St\u00e4rke<\/strong>. Zun\u00e4chst widmen wir uns der Richtung des Zusammenhangs. M\u00f6gliche Auspr\u00e4gungen sind hierbei:<\/p>\r\n\r\n<ul>\r\n \t<li><strong>Positiver Zusammenhang<\/strong>:\u00a0je h\u00f6her der Wert einer Variable, desto h\u00f6her der Wert der anderen Variable. Je niedriger der Werte einer Variable, desto niedriger der Wert der anderen Variable.<\/li>\r\n \t<li><strong>Negativer Zusammenhang<\/strong>: je h\u00f6her der Wert einer Variable, desto niedriger der Wert der anderen Variable. Je niedriger der Wert der einen Variable, desto h\u00f6her der Wert der anderen Variable<\/li>\r\n \t<li><strong>Kein Zusammenhang<\/strong>: die H\u00f6he der Werte auf beiden Variablen variieren nicht miteinander. Eine Ver\u00e4nderung der einen Variable hat keinen Einfluss auf die Ver\u00e4nderung der anderen Variable.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>St\u00e4rke<\/strong> des Zusammenhangs dr\u00fcckt aus wie sehr Ver\u00e4nderungen der einen Variable mit Ver\u00e4nderungen der anderen Variable einher gehen. Bei einer sehr starken Korrelation sind die Ver\u00e4nderungen der beiden Variablen stets parallel: z.B. f\u00fchrt eine Verdopplung des Werts einer Variable stets zu einer Verdopplung des Werts der anderen Variable. Bei einer schw\u00e4cheren Korrelation ist der Einfluss nur unregelm\u00e4\u00dfig oder geringer. Im Folgenden wollen wir f\u00fcr die Beschreibung der St\u00e4rke des Zusammenhangs verschiedene Ma\u00dfe entwickeln, deren Einsatzm\u00f6glichkeiten, wie auch bei den bisherigen Kennwerten, vom Skalenniveau der Variablen abh\u00e4ngt.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Richtung des Zusammenhangs im Streudiagramm<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nAlternativ zu Kennwerten l\u00e4sst sich die bivariate Korrelation auch sehr gut grafisch in einem Streudiagramm darstellen. Bei einem positiven Zusammenhang sollte ein Trend von links unten nach rechts oben erkennbar sein. Bei einer negativen Korrelation ein Trend von links oben nach rechts unten. Falls die Punkte ungeordnet auf dem Streudiagramm verteilt sind und kein Trend ersichtlich ist, so gibt es auch keine Korrelation.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1190 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-1024x322.png\" alt=\"\" width=\"896\" height=\"282\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n&nbsp;\r\n\r\n<\/div>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/B6qRO661_ek\">Video 4.0 Korrelation Einf\u00fchrung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/B6qRO661_ek\r\n<h1>4.2 Kreuzprodukt und Kovarianz<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um herauszufinden, ob zwischen zwei Variablen eine Korrelation vorliegt, muss zun\u00e4chst (als Zwischenschritt) das<strong> Kreuzprodukt<\/strong> und die <strong>Kovarianz<\/strong> der beiden Variablen berechnet werden. Die Idee dahinter ist relativ einfach: <span style=\"text-align: initial; font-size: 1.125rem;\">Um zu bestimmen in welcher Weise zwei Variablen zusammenh\u00e4ngen, untersucht man zun\u00e4chst in wieweit die <strong>beiden Variablen kovariieren<\/strong>. In anderen Worten: <\/span>Wenn es einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen gibt, dann sollten die Abweichungen vom Mittelwert auf der einen Variablen mit den Abweichungen vom Mittelwert auf der anderen Variablen einhergehen \u2013 in dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung. Um hieraus einen Kennwert zu berechnen, werden die <strong>Abweichungen<\/strong> jeweils <strong>miteinander multipliziert<\/strong> und aufsummiert - dies ist das <strong>Kreuzprodukt<\/strong>. Das Kreuzprodukt wird zwangsl\u00e4ufig gr\u00f6\u00dfer je mehr Werte man betrachtet. Um daher einen Kennwert zu erhalten, der unabh\u00e4ngig von der Anzahl der Werte ist, wird das Kreuzprodukt an der <strong>Zahl der Messwerte relativiert<\/strong> (also durch <strong><em>n<\/em><\/strong> geteilt). Das Ergebnis ist die <strong>Kovarianz<\/strong>.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Abk\u00fcrzung f\u00fcr die Kovarianz ist <em><strong>cov<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> wobei <em>x<\/em> und <em><strong>y<\/strong><\/em> die zwei Variablen repr\u00e4sentieren. Der weitere Aufbau der Formel entspricht der Varianz, die wir in Kapitel 2 besprochen haben, mit dem Unterschied, dass es nun zwei unterschiedliche Mittelwerte gibt.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1192 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-1024x246.png\" alt=\"\" width=\"845\" height=\"203\" \/>\r\n\r\nMit der Kovarianz l\u00e4sst sich also bestimmen, wie sich die relativen Positionen (Abweichungen vom Mittelwert) von gepaarten Messwerten aus zwei Variablen zueinander verhalten.\r\n\r\nDiese Berechnungsweise hilft uns nun die Richtung des Zusammenhangs zu bestimmen:\r\n<ul>\r\n \t<li>Haben Abweichungen vom Mittelwert \u00fcberwiegend dasselbe Vorzeichen, wird <strong>die Kovarianz positiv <\/strong>(Wenn z.B. positive Abweichungen auf der einen Variable meist mit positiven Abweichungen auf der anderen Variable einhergehen)<\/li>\r\n \t<li>Haben Abweichungen vom Mittelwert \u00fcberwiegend entgegengesetzte Vorzeichen, wird <strong>die Kovarianz <\/strong><strong>negativ<\/strong>. (Wenn positive Abweichungen auf der einen Variable meist mit negativen Abweichungen auf der anderen Variable einhergehen)<\/li>\r\n \t<li>Wenn die Abweichungen unsystematisch variieren liegt <strong>die Kovarianz <\/strong><strong>nahe Null<\/strong>. (Wenn positive Abweichungen auf der einen Variable mal mit negativen und mal mit positiven Abweichungen auf der anderen Variable einhergehen)<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>Kovarianz hilft uns<\/strong> nun schon einmal die <strong>Richtung des Zusammenhangs<\/strong> zwischen zwei Variablen zu interpretieren. Hat die Kovarianz ein positives Vorzeichen, so liegt ein positiver Zusammenhang vor, hat sie ein negatives Vorzeichen, so liegt ein negativer Zusammenhang vor. Aufgrund der Multiplikation der Werte ist jedoch die Gr\u00f6\u00dfe des Kennwerts nicht so leicht zu interpretieren. \u00dcber die <strong>St\u00e4rke des Zusammengangs kann die Kovarianz also zun\u00e4chst keine Aussage machen<\/strong>. Hierf\u00fcr ben\u00f6tigen wir die Korrelationsma\u00dfe, denen wir uns nun widmen.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Kovarianz<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nSelbst bei einer \u00fcberschaubaren Datenmenge ist es oft schwer direkt zu bestimmen, ob es einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen gibt. Das folgende Beispiel zeigt die Daten von 5 Person: Die Anzahl der Anzeigen die die Person f\u00fcr unsere neue Burgerkette gesehen hat und die Anzahl Burger, die die Person gekauft hat. W\u00fcrden Sie sagen, dass hier ein Zusammenhang besteht?\r\n<table>\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td>Person<\/td>\r\n<td>\u00a0Anzeigen gesehen<\/td>\r\n<td>Produkte gekauft<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td>1<\/td>\r\n<td>5<\/td>\r\n<td>8<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td>2<\/td>\r\n<td>4<\/td>\r\n<td>9<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td>3<\/td>\r\n<td>8<\/td>\r\n<td>15<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td>4<\/td>\r\n<td>4<\/td>\r\n<td>10<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td>5<\/td>\r\n<td>6<\/td>\r\n<td>13<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nUm diese Frage zu kl\u00e4ren wollen wir zun\u00e4chst die das Kreuzprodukt und die Kovarianz bestimmen. Hierzu berechnen wir im ersten Schritt den Mittelwert f\u00fcr beide Variablen (siehe Kapitel 2).\r\n\r\nMittelwerte Anzeigen gesehen: 5,4 und\u00a0Mittelwert Produkte gekauft:11\r\n\r\nNun k\u00f6nnen wir das Kreuzprodukt wie folgt berechnen:\r\n\r\n(5-5,4) \u2022 (8-11) +\u00a0(4-5,4) \u2022 (9-11) + (8-5,4) \u2022 (15-11) + (4-5,4) \u2022 (10-11) + (6-5,4) \u2022 (13-11) = 17\r\n\r\nAbschlie\u00dfend relativieren wir das Ergebnis an der Stichprobe und erhalten die Kovarianz:\r\n\r\n17\/5 = 3,4\r\n\r\nDa das Ergebnis mit +3,4 positiv ist wissen wir nun das ein positiver Zusammenhang zwischen den beiden Variablen besteht. Aber was genau bedeutet jetzt die 3,4? Das l\u00e4sst sich so nicht sagen. Hierf\u00fcr ben\u00f6tigen wir nun die Korrelationsma\u00dfe.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/y5DiAVHYzCs\">Video 4.3 Korrelation | Kovarianz<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/y5DiAVHYzCs\r\n<div><\/div>\r\n<h1>4.3 Produkt-Moment-Korrelation<\/h1>\r\n<div style=\"text-align: justify;\">Die Kovarianz kann nur hinsichtlich ihres Vor\u00adzeichens, nicht aber hinsichtlich ihrer Gr\u00f6\u00dfe interpretiert werden, da diese von der verwendeten Skala abh\u00e4ngt. Beispielswei\u00dfe w\u00fcrden wir eine gr\u00f6\u00dfere Kovarianz bekommen, wenn wir die Variable Gr\u00f6\u00dfe in Zentimetern anstatt in Metern angeben. Um dieses Problem zu l\u00f6sen, muss die Kovarianz standardisiert werden. Grunds\u00e4tzlich bedeutet Standardisierung, dass Variablen in eine einheitliche (standardisierte) Skala umgerechnet werden. Somit spielt es keine Rolle mehr, ob wir z.B. die K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe in Metern oder Zentimetern messen - die resultierende standardisierte Skala ist immer gleich. Dies erreichen wir, indem wir alle Werte durch die Standardabweichung der Verteilung teilen. Mit dem Konzept der Standardisierung werden wir uns noch n\u00e4her in Kapitel 6 besch\u00e4ftigen. In diesem speziellen Fall der Kovarianz m\u00fcssen wir die Standardabweichung beider Variablen ber\u00fccksichtigen: <em><strong>s<sub>x<\/sub><\/strong><\/em> und <em><strong>s<sub>y<\/sub><\/strong><\/em>. Dazu werden die beiden Standardabweichungen einfach miteinander multipliziert (dieser Term ist gleichzeitig die maximal m\u00f6gliche Kovarianz). Wenn wir nun die <strong>Kovarianz<\/strong> <strong>durch das Produkt der Standardabweichungen teilen <\/strong>erhalten wir die sogenannte<strong> Produkt-Moment-Korrelation<\/strong>.<\/div>\r\n<div style=\"text-align: center;\"><img class=\"aligncenter wp-image-1195 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-1024x339.png\" alt=\"\" width=\"761\" height=\"252\" \/><\/div>\r\n<div style=\"text-align: justify;\">Dieser wird auch Pearson-Korrelation bzw. seltener Bravais-Pearson Korrelation genannt (Nach den Statistikern Karl Pearson und Auguste Bravais[footnote]Franka Miriam Br\u00fcckler: Geschichte der Mathematik kompakt. Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55573-6, S. 116.[\/footnote]). Der resultierende Kennwert <em><strong>r<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> wird <strong>Pearson-Korrelationskoeffizient<\/strong> genannt.<\/div>\r\n<div><\/div>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/WilIXIouYWc\">Video 4.4 Korrelation | Pearson Korrelation<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/WilIXIouYWc\r\n\r\n&nbsp;\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der <strong>Pearson-Korrelationskoeffizient erm\u00f6glicht,<\/strong> wie auch die Kovarianz, eine Interpretation der Richtung des Zusammenhangs. Zus\u00e4tzlich gibt er aber auch eine Information \u00fcber die <strong>St\u00e4rke des Zusammenhangs<\/strong>. Denn durch die Standardisierung ist der Korrelationskoeffizient einheitlich interpretierbar (unabh\u00e4ngig davon, welche Variablen betrachtet werden). Durch diese Standardisierung kann der Korrelationskoeffizient <em><strong>r<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> nur <strong>Werte zwischen \u20131 und +1<\/strong> annehmen, wobei<\/p>\r\n\r\n<ul>\r\n \t<li><strong>\u20131<\/strong> einen <strong>perfekt negativen<\/strong>\u00a0Zusammenhang zwischen den Variablen aufzeigt<\/li>\r\n \t<li><strong>+1<\/strong> einen <strong>perfekt positiven<\/strong>\u00a0Zusammenhang zwischen den Variablen aufzeigt<\/li>\r\n \t<li><strong>0<\/strong> <strong>keinen<\/strong>\u00a0<strong>Zusammenhang<\/strong> zwischen den Variablen aufzeigt<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In den ersten beiden F\u00e4llen liegen alle Punkte auf einer Graden, was in der Praxis, jedoch nur sehr selten der Fall ist. Aber wie k\u00f6nnen wir nun Werte zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0 und -1 interpretieren? Hierf\u00fcr hat Jacob Cohen 1988 eine einheitliche \"Sprachregelung\" vorgeschlagen, die bis heute verwendet wird:<\/p>\r\n\r\n<ul>\r\n \t<li>Ab (+\/-) <strong><em>r<\/em>=.10<\/strong> spricht man von einem <strong>schwachen Zusammenhang<\/strong> (schwacher Effekt)<\/li>\r\n \t<li>Ab (+\/-) <strong><em>r<\/em>=.30<\/strong> spricht man von einem <strong>mittleren Zusammenhang<\/strong> (mittlerer Effekt)<\/li>\r\n \t<li>Ab (+\/-) <strong><em>r<\/em>=.50<\/strong> spricht man von einem <strong>starken Zusammenhang<\/strong> (starker Effekt).<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Hinweis: Statistiker vermeiden gern unn\u00f6tige Aufw\u00e4nde, daher wird bei der Angabe des Korrelations-koeffizienten auf die Angabe der \"0\" vor dem Komma verzichtet (da der Wert ja nie \u00fcber 1 liegen kann). \u00dcblicherweise wird auch die englische Schreibweise verwendet also ein Punkt anstatt des Kommas eingesetzt. Die Angabe beginnt also stets mit einem Punkt \".\" wie z.B. <em><strong>r<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> = .56 was einem positiven, starken Zusammenhang entspricht.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Korrelationskoeffizient<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nBei einer perfekten Korrelation (r= +\/-1) liegen alle Werte exakt auf einer Linie. Diese l\u00e4sst sich mit einer Gleichung beschreiben, welche wir n\u00e4her im n\u00e4chsten Kapitel \"Regression\" betrachten werden.\r\n\r\n<img class=\"size-medium wp-image-1198 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8-300x132.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"132\" \/>\r\n\r\nEine perfekt lineare Korrelation kommt in der Praxis nur bei technischen Zusammenh\u00e4ngen vor, in den Sozialwissenschaften jedoch sieht die Realit\u00e4t meist eher so aus:\r\n\r\n<img class=\" wp-image-1199 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6-300x137.png\" alt=\"\" width=\"307\" height=\"140\" \/>\r\n\r\nWir haben mit dem Korrelationskoeffizienten r nun ein standardisiertes Ma\u00df mit dem wir beschreiben k\u00f6nnen, wie nahe die Punkte auf einer Linie liegen und wie stark damit der Zusammenhang ist. In den vorliegenden beiden F\u00e4llen sprechen wir nach der Konvention von Cohen von jeweils einem <strong>starken Zusammenhang<\/strong>. Also auf der linken Seite von einem starken positiven Zusammenhang und auf der rechten Seite von einem starken negativen Zusammenhang.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n&nbsp;\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/NSXylf15ps4\">Video 4.5 Korrelation | Interpretation<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/NSXylf15ps4\r\n<h1>4.4 Rangkorrelation<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Berechnung des Pearson-Korrelationskoeffizienten setzt voraus, dass beide Variablen metrisch skaliert sind. Hat eine der beiden Variablen oder beide Variablen <strong>ordinales Skalenniveau<\/strong> muss anstatt der Pearson Korrelation eine sogenannte <strong>Rangkorrelation<\/strong> gerechnet werden. Dabei ist Rangkorrelation der \u00dcberbegriff f\u00fcr mehrere Verfahren, die hierbei angewendet werden k\u00f6nnen. Die in der Praxis g\u00e4ngigen Korrelationskoeffizienten f\u00fcr ordinale Variablen sind <strong>Kendall's Tau (\u03c4)<\/strong> und <strong>Spearman's Rho (r<sub>s<\/sub>)<\/strong>.Beide Korrelationsma\u00dfe ber\u00fccksichtigen ausschlie\u00dflich die R\u00e4nge, bzw. Rangunterschiede beider Variablenauspr\u00e4gungen. Die Skala reicht jeweils von -1 bis +1 und erlaubt somit eine <strong>Interpretation analog Pearson\u2018s <em>r<\/em><\/strong>. Kendalls tau ist systematisch etwas geringer als Spearman\u2018s Rho und damit das konservativere Ma\u00df.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen Rangkorrelation<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nBeide Rangkorrelationsma\u00dfe sind in g\u00e4ngigen Statistik-Programmen (SPSS, R) vorhanden und werden \u00e4u\u00dfert selten von Hand berechnet. Hier finden Sie die entsprechenden Berechnungsverfahren. Falls Sie eines der Verfahren h\u00e4ndisch berechnen wollen bietet sich Spearman's Rho an, da es das deutlich weniger komplexe Verfahren ist.\r\n\r\n<strong>Spearman's Rho (r<sub>s<\/sub>) <\/strong>wurde entwickelt von Charles Edward Spearman 1904.\r\n\r\nDie Formel lautet:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1200 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-1024x340.png\" alt=\"\" width=\"879\" height=\"292\" \/>\r\n\r\n<strong>Kendall's Tau (\u03c4) <\/strong>wurde entwickelt von Maurice Kendall in 1938.\r\n\r\nDie Formel lautet:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1201 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-1024x513.png\" alt=\"\" width=\"604\" height=\"303\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<div><\/div>\r\n<\/div>\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch4.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>\r\n<h1>4.5 Phi Koeffizient<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Bei zwei <strong>nominalen Variablen<\/strong> kommt ein weiterer Korrelationskoeffizient zum Einsatz: <strong>Phi (<em>\u03c6<\/em>)<\/strong>. Allerdings kann dieser nur dann angewendet werden, wenn<strong> beide Variablen dichotom<\/strong> sind, d.h. genau zwei Auspr\u00e4gungen haben. Ein Anwendungsfall w\u00e4re also z.B. die Frage, ob es einen Zusammenhang gibt zwischen dem Geschlecht (m\/w) und dem Hobby Tennis spielen (ja\/nein). Auch beim Phi-Koeffizient reicht die Skala\u00a0 von -1 bis +1 und erlaubt somit eine <strong>Interpretation analog Pearson\u2018s <em>r<\/em><\/strong>. Der Phi-Koeffizient ist eng verwandt mit dem Chi-Quadrat Test, den wir sp\u00e4ter noch kennen lernen werden.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen Phi-Koeffizient<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">Auch der Phi-Koeffizient ist in g\u00e4ngigen Statistik-Programmen (SPSS, R) vorhanden und wird \u00e4u\u00dfert selten von Hand berechnet. Hier finden Sie die dennoch das entsprechende Berechnungsverfahren.Die Berechnung des Phi-Koeffizienten basiert auf einer Kreuztabelle mit 4 Feldern und Randsummen.\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 240pt;\" border=\"0\" width=\"320\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\"><colgroup> <col style=\"width: 60pt;\" span=\"4\" width=\"80\" \/> <\/colgroup>\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 14.25pt;\">\r\n<td style=\"height: 14.25pt; width: 60pt;\" width=\"80\" height=\"19\"><\/td>\r\n<td style=\"width: 60pt;\" width=\"80\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">b<span class=\"font5\">1<\/span><\/span><\/td>\r\n<td style=\"width: 60pt;\" width=\"80\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">b<span class=\"font5\">2<\/span><\/span><\/td>\r\n<td style=\"width: 60pt;\" width=\"80\">SUMME<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 14.25pt; margin-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: baseline;\">\r\n<td style=\"height: 14.25pt;\" height=\"19\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">a<sub><span class=\"font5\">1<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">11<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">12<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">1\u22c5<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 14.25pt; margin-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: baseline;\">\r\n<td style=\"height: 14.25pt;\" height=\"19\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">a<sub><span class=\"font5\">2<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">21<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">22<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">2\u22c5<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 14.25pt; margin-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: baseline;\">\r\n<td style=\"height: 14.25pt;\" height=\"19\">SUMME<\/td>\r\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">\u22c51<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">\u22c52<\/span><\/sub><\/span><\/td>\r\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">n<\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nHierbei sind a<sub>1<\/sub> und a<sub>2<\/sub> die Auspr\u00e4gungen der einen Variable (z.B. m\u00e4nnlich und weiblich) und b<sub>1<\/sub> und b<sub>2<\/sub> die Auspr\u00e4gungen der anderen (Tennis ja \/ Tennis nein). In der Kreuztabelle stehen dann die jeweiligen H\u00e4ufigkeiten. Hieraus errechnet sich der Phi-Koeffizient wie folgt:\r\n\r\n<img class=\"alignnone size-medium wp-image-61\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/phi-300x110.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"110\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n&nbsp;\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/AahwUbGgdn4\">Video 4.1 Korrelation | Korrelationsma\u00dfe<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/AahwUbGgdn4\r\n<h1>4.6 \u00dcbersicht Korrelationsma\u00dfe<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir haben nun drei Korrelationsma\u00dfe f\u00fcr die drei g\u00e4ngigen Skalenniveaus (metrisch, ordinal, nominal) kennen gelernt. Aufbauend darauf gibt es weitere Korrelationsma\u00dfe f\u00fcr spezielle Anwendungen. An dieser Stelle sei noch die <strong>Punktbiseriale Korrelation<\/strong> erw\u00e4hnt, die immer dann verwendet werden kann, wenn eine Variable metrisch ist und die andere dichotom nominal skaliert ist. Zum Beispiel k\u00f6nnte man hiermit der Frage nachgehen ob das Einkommen (metrisch) und das Geschlecht (dichotom nominal) zusammenh\u00e4ngen. Der Vorteil: Die <strong>Punktbiseriale Korrelation entspricht <\/strong>mathematisch der Berechnung von <strong>Pearson\u2018s r <\/strong>und kann auch ebenso interpretiert werden. Weitere spezielle Korrelationsma\u00dfe wie die Punktbiseriale Rangkorrelation wollen wir an dieser Stelle nicht weiter vertiefen. Die folgende Tabelle soll Ihnen einen \u00dcberblick \u00fcber die Korrelationsma\u00dfe geben:<\/p>\r\n\r\n<table style=\"height: 68px;\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 17px;\">\r\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\"><\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\">Intervallskala<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\">Ordinalskala<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Dichotome Nominalskala<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 17px;\">\r\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\">Intervallskala<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\">Produkt-Moment-Korrelation<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\">Rang-Korrelation (Tau \u03c4\/ Rho \u03c1)<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Punkt-biseriale Korrelation<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 17px;\">\r\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\">Ordinalskala<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\"><\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\">Rang-Korrelation (Tau \u03c4\/ Rho \u03c1)<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Biseriale Rang-Korrelation<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 17px;\">\r\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\">Dichotome Nominalskala<\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\"><\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\"><\/td>\r\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Phi-Koeffizient<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/arxiwPQN3ao\">Video 4.2 Korrelation | Korrelationsma\u00dfe 2<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/arxiwPQN3ao\r\n<h1>4.7 Voraussetzungen und Grenzen der Korrelation<\/h1>\r\nWir wollen uns im Folgenden noch mit wichtigen Voraussetzungen und Einschr\u00e4nkungen besch\u00e4ftigen, welche sowohl die Berechnung als auch die Interpretation von Korrelationsma\u00dfen betrifft.\r\n<h2>Grenzen der Linearen Korrelation<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Bisher sind wir bei der Produkt-Moment-Korrelation stets davon ausgegangen, dass ein <strong>Zusammenhang linear<\/strong> ist (deswegen h\u00e4tten wir bisher auch ganz korrekt von <em>linearer<\/em> bivariater Korrelation sprechen m\u00fcssen). Um besser zu verstehen, was das bedeutet, k\u00f6nnen wir folgende zwei Streudiagramme betrachten:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1203 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4.png\" alt=\"\" width=\"519\" height=\"226\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Bei beiden Streudiagrammen liegt der Pearson-Korrelationskoeffizient bei 0 und sagt uns damit, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt. Auf der linken Seite scheint dies auch plausibel, jedoch ist rechts deutlich zu erkennen, dass die beiden Variablen zun\u00e4chst gemeinsam ansteigen, dann jedoch gemeinsam fallen. Da der <strong>Pearson-Korrelationskoeffizient nur lineare Zusammenh\u00e4nge<\/strong> betrachtet (also nur Zusammenh\u00e4nge die immer in die gleiche Richtung gehen), wird dieser Zusammenhang nicht erkannt. Hierf\u00fcr gibt es alternative, nicht-lineare, Verfahren die wir hier in Statistik Grundlagen nicht vertiefen k\u00f6nnen. Ein solcher nicht-linearer Zusammenhang kann jedoch in der Praxis durchaus vorkommen. Ein Beispiel w\u00e4re die Arbeitsbelastung und die Arbeitszufriedenheit. Ist die Arbeitsbelastung zu gering sind Angestellte oft gelangweilt und dadurch unzufrieden, ist sie zu hoch kann dies zu Stress und damit auch wieder Unzufriedenheit f\u00fchren.<\/p>\r\n\r\n<h2>Korrelation ist keine Kausalit\u00e4t<\/h2>\r\nWir haben nun Methoden kennengelernt, mit denen wir zuverl\u00e4ssig feststellen k\u00f6nnen, ob zwei Variablen zusammenh\u00e4ngen. Dies sagt jedoch nicht aus, dass die eine Variable auch urs\u00e4chlich f\u00fcr die andere Variable ist. <strong>Die Korrelation<\/strong> zweier Variablen <strong>bedeutet nicht<\/strong> automatisch, dass es einen<strong> kausalen Zusammenhang<\/strong> zwischen beiden Variablen gibt. Dies hat zwei wesentliche Gr\u00fcnde:\r\n<ol>\r\n \t<li>Eine Korrelation sagt nichts \u00fcber die <strong>Wirkrichtung<\/strong> des Zusammenhangs aus. Grunds\u00e4tzlich ist ein kausaler Zusammenhang in beide Richtungen denkbar. Wenn Sie z.B. einen Zusammenhang zwischen der Zufriedenheit im Studium (x) und dem Notenschnitt (y)\u00a0 finden. Dann k\u00f6nnte es sein, dass die zufriedenere Studierende wirklich bessere Noten schreiben (Zufriedenheit bewirkt gute Noten), genauso plausibel ist aber auch, dass Studierende, die bessere Noten schreiben, zufriedener sind (gute Noten bewirken Zufriedenheit).<img class=\"wp-image-1207 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6.png\" alt=\"\" width=\"690\" height=\"646\" \/><\/li>\r\n \t<li>Zum anderen k\u00f6nnen beide Variablen von einer dritten Variablen als Ursache abh\u00e4ngen. So k\u00f6nnte z.B. die Intelligenz sowohl die Noten als auch die Zufriedenheit im Studium beeinflussen. In diesem Fall spricht man auch von einer <strong>Scheinkorrelation<\/strong> (wenn nur diese dritte Variable f\u00fcr den Zusammenhang verantwortlich ist).<img class=\"wp-image-1208 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-6.png\" alt=\"\" width=\"458\" height=\"250\" \/><\/li>\r\n<\/ol>\r\nNur ein entsprechendes Studiendesign (z.B. ein Experiment) erm\u00f6glicht die Ableitung von kausalen Zusammenh\u00e4ngen.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/2ivzoO9EGG0\">Video 4.6 Korrelation | Vorraussetzungen und Grenzen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/2ivzoO9EGG0\r\n<h1>4.8 Korrelation mit Jamovi berechnen<\/h1>\r\n<p data-pm-slice=\"1 1 []\">Korrelationskoeffizienten lassen sich in Jamovi schnell berechnen. Das entsprechende Men\u00fc findet sich unter<\/p>\r\n<p data-pm-slice=\"1 1 []\"><em><strong>Analysen &gt;\u00a0 Regression &gt; Korralationsmatrix.<\/strong><\/em><\/p>\r\n<p data-pm-slice=\"1 1 []\">Hier k\u00f6nnen verschiedene Korrelationsma\u00dfe berechnet werden, darunter die Pearson-Korrelation f\u00fcr metrische Variablen sowie die Rangkorrelationskoeffizienten Kendall\u2019s Tau und Spearmans Rho f\u00fcr ordinal skalierte Daten. Ziehen Sie die zu analysierenden Variablen in das Feld \"Variablen\" und w\u00e4hlen Sie die gew\u00fcnschten Kennwerte aus.<\/p>\r\nAuch f\u00fcr dichotom nominal skalierte Variablen lassen sich Korrelationen berechnen. Hierbei k\u00f6nnen der Punkt-Biseriale Korrelationskoeffizient genutzt werden (entspricht der Pearson Korrelation). F\u00fcr zwei dichotom nominal skalierte Variablen kann der Phi-Koeffizient genutzt werden. Diese M\u00f6glichkeit findet sich unter:\r\n\r\n<em><strong>Analysen &gt; H\u00e4ufigkeiten &gt; Unabh\u00e4ngige Stichproben<\/strong><\/em>\r\n\r\nDie beiden Variablen k\u00f6nnen beliebig in Zeilen und Spalten gezogen werden. Unter \"Statistiken\" kann mit einem Klick auf \"Phi- und Cramers V\" der Phi-Koeffizient berechnet werden.\r\n\r\nBeides wird im folgenden Video gezeigt.\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/dsmX-YdY48Q\r\n<h1>4.9 Korrelation mit SPSS berechnen<\/h1>\r\nKorrelationskoeffizienten k\u00f6nnen in SPSS mit wenigen Klicks errechnet werden. Das entsprechende Men\u00fc hierzu findet sich unter:\r\n\r\n<em><strong>Analysieren &gt; Korrelation &gt; Bivariat<\/strong><\/em>\r\n\r\nIm folgenden Video besprechen wir, wie die Pearson-Korrelation, sowie die Rangkorrelationskoeffizienten Kendall's Tau und Spermans Rho, mit SPSS berechnet werden.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/O-_NtISTgS8\">Video 4.7 Korrelation | Mit SPSS Korrelationskoeffizienten berechnen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/O-_NtISTgS8\r\n\r\nKorrelationen k\u00f6nnen auch f\u00fcr dichotom nominal skalierte Variablen leicht in SPSS berechnet werden. Im folgenden Video besprechen wir, wie die Punkt-Biseriale Korrelation, sowie der Phi-Koeffizient mit SPSS berechnet werden kann.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/EfxbqMMfo2I\">Video 4.8 Korrelation | Mit SPSS Korrelation f\u00fcr Nominaldaten berechnen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/EfxbqMMfo2I\r\n\r\n&nbsp;\r\n<h1>4.10 \u00dcbungsfragen<\/h1>\r\nBei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!\r\n\r\n[h5p id=\"55\"]\r\n\r\n[h5p id=\"56\"]\r\n\r\n[h5p id=\"89\"]\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\nIn diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\n[h5p id=\"17\"]\r\n\r\n[h5p id=\"90\"]\r\n\r\n[h5p id=\"18\"]\r\n\r\n[h5p id=\"83\"]\r\n\r\n[h5p id=\"84\"]\r\n<h1>4.11 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\r\n<div><header>F\u00fcr unsere Burgerkette wurden Rabatt-Gutscheine in verschiedener H\u00f6he versandt. Wir wollen pr\u00fcfen, ob die H\u00f6he des Gutscheins einen Einfluss darauf hat wie viele Burger der Kunde jeweils im darauffolgenden Monat gekauft hat. Gibt es einen Zusammenhang zwischen der H\u00f6he des Nachlasses und der Anzahl an gekauften Burgern ? Berechnen Sie zun\u00e4chst die Kovarianz und dann die Produkt-Moment Korrelation.<\/header><\/div>\r\n[h5p id=\"75\"]\r\n\r\n<strong>Hinweis:<\/strong> Die einzelnen L\u00f6sungsschritte werden durch das Bewegen des Schiebereglers sichtbar.\r\n<a href=\"https:\/\/open.spotify.com\/show\/5ro31tpkiOMYJQwprTARqG?si=qsUsnFtWSXSYJELIv0sPHA\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img class=\"alignnone size-full wp-image-1877\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt.png\" alt=\"\" width=\"985\" height=\"286\" \/><\/a>","rendered":"<h1 style=\"text-align: left;\">4.0 Einf\u00fchrung Korrelation<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bisher kennen Sie zwei Gruppen an Kennwerten: Ma\u00dfe der zentralen Tendenz und Streuungsma\u00dfe. In diesem Kapitel lernen Sie nun eine weitere Gruppe an Kennwerten kennen, die sogenannten Korrelationsma\u00dfe. Korrelation beschreibt <strong>wie Variablen zusammenh\u00e4ngen<\/strong>. Im Folgenden wollen wir uns mit der bivariaten Korrelation, also der Korrelation von genau zwei Variablen besch\u00e4ftigen.<\/p>\n<h1 style=\"text-align: left;\">4.1 Zusammenhang zwischen zwei Variablen<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Grunds\u00e4tzlich kann der Zusammenhang in zwei Dimensionen beschrieben werden: im Hinblick auf die <strong>Richtung<\/strong> und auf die <strong>St\u00e4rke<\/strong>. Zun\u00e4chst widmen wir uns der Richtung des Zusammenhangs. M\u00f6gliche Auspr\u00e4gungen sind hierbei:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Positiver Zusammenhang<\/strong>:\u00a0je h\u00f6her der Wert einer Variable, desto h\u00f6her der Wert der anderen Variable. Je niedriger der Werte einer Variable, desto niedriger der Wert der anderen Variable.<\/li>\n<li><strong>Negativer Zusammenhang<\/strong>: je h\u00f6her der Wert einer Variable, desto niedriger der Wert der anderen Variable. Je niedriger der Wert der einen Variable, desto h\u00f6her der Wert der anderen Variable<\/li>\n<li><strong>Kein Zusammenhang<\/strong>: die H\u00f6he der Werte auf beiden Variablen variieren nicht miteinander. Eine Ver\u00e4nderung der einen Variable hat keinen Einfluss auf die Ver\u00e4nderung der anderen Variable.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>St\u00e4rke<\/strong> des Zusammenhangs dr\u00fcckt aus wie sehr Ver\u00e4nderungen der einen Variable mit Ver\u00e4nderungen der anderen Variable einher gehen. Bei einer sehr starken Korrelation sind die Ver\u00e4nderungen der beiden Variablen stets parallel: z.B. f\u00fchrt eine Verdopplung des Werts einer Variable stets zu einer Verdopplung des Werts der anderen Variable. Bei einer schw\u00e4cheren Korrelation ist der Einfluss nur unregelm\u00e4\u00dfig oder geringer. Im Folgenden wollen wir f\u00fcr die Beschreibung der St\u00e4rke des Zusammenhangs verschiedene Ma\u00dfe entwickeln, deren Einsatzm\u00f6glichkeiten, wie auch bei den bisherigen Kennwerten, vom Skalenniveau der Variablen abh\u00e4ngt.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Richtung des Zusammenhangs im Streudiagramm<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Alternativ zu Kennwerten l\u00e4sst sich die bivariate Korrelation auch sehr gut grafisch in einem Streudiagramm darstellen. Bei einem positiven Zusammenhang sollte ein Trend von links unten nach rechts oben erkennbar sein. Bei einer negativen Korrelation ein Trend von links oben nach rechts unten. Falls die Punkte ungeordnet auf dem Streudiagramm verteilt sind und kein Trend ersichtlich ist, so gibt es auch keine Korrelation.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1190\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-1024x322.png\" alt=\"\" width=\"896\" height=\"282\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-1024x322.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-300x94.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-768x241.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-1536x483.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-65x20.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-225x71.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10-350x110.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-10.png 1543w\" sizes=\"(max-width: 896px) 100vw, 896px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/B6qRO661_ek\">Video 4.0 Korrelation Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.0 Korrelation Einf\u00fchrung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/B6qRO661_ek?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>4.2 Kreuzprodukt und Kovarianz<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um herauszufinden, ob zwischen zwei Variablen eine Korrelation vorliegt, muss zun\u00e4chst (als Zwischenschritt) das<strong> Kreuzprodukt<\/strong> und die <strong>Kovarianz<\/strong> der beiden Variablen berechnet werden. Die Idee dahinter ist relativ einfach: <span style=\"text-align: initial; font-size: 1.125rem;\">Um zu bestimmen in welcher Weise zwei Variablen zusammenh\u00e4ngen, untersucht man zun\u00e4chst in wieweit die <strong>beiden Variablen kovariieren<\/strong>. In anderen Worten: <\/span>Wenn es einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen gibt, dann sollten die Abweichungen vom Mittelwert auf der einen Variablen mit den Abweichungen vom Mittelwert auf der anderen Variablen einhergehen \u2013 in dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung. Um hieraus einen Kennwert zu berechnen, werden die <strong>Abweichungen<\/strong> jeweils <strong>miteinander multipliziert<\/strong> und aufsummiert &#8211; dies ist das <strong>Kreuzprodukt<\/strong>. Das Kreuzprodukt wird zwangsl\u00e4ufig gr\u00f6\u00dfer je mehr Werte man betrachtet. Um daher einen Kennwert zu erhalten, der unabh\u00e4ngig von der Anzahl der Werte ist, wird das Kreuzprodukt an der <strong>Zahl der Messwerte relativiert<\/strong> (also durch <strong><em>n<\/em><\/strong> geteilt). Das Ergebnis ist die <strong>Kovarianz<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Abk\u00fcrzung f\u00fcr die Kovarianz ist <em><strong>cov<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> wobei <em>x<\/em> und <em><strong>y<\/strong><\/em> die zwei Variablen repr\u00e4sentieren. Der weitere Aufbau der Formel entspricht der Varianz, die wir in Kapitel 2 besprochen haben, mit dem Unterschied, dass es nun zwei unterschiedliche Mittelwerte gibt.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1192\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-1024x246.png\" alt=\"\" width=\"845\" height=\"203\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-1024x246.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-300x72.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-768x184.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-65x16.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-225x54.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4-350x84.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-4.png 1537w\" sizes=\"(max-width: 845px) 100vw, 845px\" \/><\/p>\n<p>Mit der Kovarianz l\u00e4sst sich also bestimmen, wie sich die relativen Positionen (Abweichungen vom Mittelwert) von gepaarten Messwerten aus zwei Variablen zueinander verhalten.<\/p>\n<p>Diese Berechnungsweise hilft uns nun die Richtung des Zusammenhangs zu bestimmen:<\/p>\n<ul>\n<li>Haben Abweichungen vom Mittelwert \u00fcberwiegend dasselbe Vorzeichen, wird <strong>die Kovarianz positiv <\/strong>(Wenn z.B. positive Abweichungen auf der einen Variable meist mit positiven Abweichungen auf der anderen Variable einhergehen)<\/li>\n<li>Haben Abweichungen vom Mittelwert \u00fcberwiegend entgegengesetzte Vorzeichen, wird <strong>die Kovarianz <\/strong><strong>negativ<\/strong>. (Wenn positive Abweichungen auf der einen Variable meist mit negativen Abweichungen auf der anderen Variable einhergehen)<\/li>\n<li>Wenn die Abweichungen unsystematisch variieren liegt <strong>die Kovarianz <\/strong><strong>nahe Null<\/strong>. (Wenn positive Abweichungen auf der einen Variable mal mit negativen und mal mit positiven Abweichungen auf der anderen Variable einhergehen)<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>Kovarianz hilft uns<\/strong> nun schon einmal die <strong>Richtung des Zusammenhangs<\/strong> zwischen zwei Variablen zu interpretieren. Hat die Kovarianz ein positives Vorzeichen, so liegt ein positiver Zusammenhang vor, hat sie ein negatives Vorzeichen, so liegt ein negativer Zusammenhang vor. Aufgrund der Multiplikation der Werte ist jedoch die Gr\u00f6\u00dfe des Kennwerts nicht so leicht zu interpretieren. \u00dcber die <strong>St\u00e4rke des Zusammengangs kann die Kovarianz also zun\u00e4chst keine Aussage machen<\/strong>. Hierf\u00fcr ben\u00f6tigen wir die Korrelationsma\u00dfe, denen wir uns nun widmen.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Kovarianz<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Selbst bei einer \u00fcberschaubaren Datenmenge ist es oft schwer direkt zu bestimmen, ob es einen Zusammenhang zwischen zwei Variablen gibt. Das folgende Beispiel zeigt die Daten von 5 Person: Die Anzahl der Anzeigen die die Person f\u00fcr unsere neue Burgerkette gesehen hat und die Anzahl Burger, die die Person gekauft hat. W\u00fcrden Sie sagen, dass hier ein Zusammenhang besteht?<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td>Person<\/td>\n<td>\u00a0Anzeigen gesehen<\/td>\n<td>Produkte gekauft<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td>5<\/td>\n<td>8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>2<\/td>\n<td>4<\/td>\n<td>9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>3<\/td>\n<td>8<\/td>\n<td>15<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>4<\/td>\n<td>4<\/td>\n<td>10<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>5<\/td>\n<td>6<\/td>\n<td>13<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Um diese Frage zu kl\u00e4ren wollen wir zun\u00e4chst die das Kreuzprodukt und die Kovarianz bestimmen. Hierzu berechnen wir im ersten Schritt den Mittelwert f\u00fcr beide Variablen (siehe Kapitel 2).<\/p>\n<p>Mittelwerte Anzeigen gesehen: 5,4 und\u00a0Mittelwert Produkte gekauft:11<\/p>\n<p>Nun k\u00f6nnen wir das Kreuzprodukt wie folgt berechnen:<\/p>\n<p>(5-5,4) \u2022 (8-11) +\u00a0(4-5,4) \u2022 (9-11) + (8-5,4) \u2022 (15-11) + (4-5,4) \u2022 (10-11) + (6-5,4) \u2022 (13-11) = 17<\/p>\n<p>Abschlie\u00dfend relativieren wir das Ergebnis an der Stichprobe und erhalten die Kovarianz:<\/p>\n<p>17\/5 = 3,4<\/p>\n<p>Da das Ergebnis mit +3,4 positiv ist wissen wir nun das ein positiver Zusammenhang zwischen den beiden Variablen besteht. Aber was genau bedeutet jetzt die 3,4? Das l\u00e4sst sich so nicht sagen. Hierf\u00fcr ben\u00f6tigen wir nun die Korrelationsma\u00dfe.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/y5DiAVHYzCs\">Video 4.3 Korrelation | Kovarianz<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.3 Korrelation | Kovarianz\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/y5DiAVHYzCs?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<div><\/div>\n<h1>4.3 Produkt-Moment-Korrelation<\/h1>\n<div style=\"text-align: justify;\">Die Kovarianz kann nur hinsichtlich ihres Vor\u00adzeichens, nicht aber hinsichtlich ihrer Gr\u00f6\u00dfe interpretiert werden, da diese von der verwendeten Skala abh\u00e4ngt. Beispielswei\u00dfe w\u00fcrden wir eine gr\u00f6\u00dfere Kovarianz bekommen, wenn wir die Variable Gr\u00f6\u00dfe in Zentimetern anstatt in Metern angeben. Um dieses Problem zu l\u00f6sen, muss die Kovarianz standardisiert werden. Grunds\u00e4tzlich bedeutet Standardisierung, dass Variablen in eine einheitliche (standardisierte) Skala umgerechnet werden. Somit spielt es keine Rolle mehr, ob wir z.B. die K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe in Metern oder Zentimetern messen &#8211; die resultierende standardisierte Skala ist immer gleich. Dies erreichen wir, indem wir alle Werte durch die Standardabweichung der Verteilung teilen. Mit dem Konzept der Standardisierung werden wir uns noch n\u00e4her in Kapitel 6 besch\u00e4ftigen. In diesem speziellen Fall der Kovarianz m\u00fcssen wir die Standardabweichung beider Variablen ber\u00fccksichtigen: <em><strong>s<sub>x<\/sub><\/strong><\/em> und <em><strong>s<sub>y<\/sub><\/strong><\/em>. Dazu werden die beiden Standardabweichungen einfach miteinander multipliziert (dieser Term ist gleichzeitig die maximal m\u00f6gliche Kovarianz). Wenn wir nun die <strong>Kovarianz<\/strong> <strong>durch das Produkt der Standardabweichungen teilen <\/strong>erhalten wir die sogenannte<strong> Produkt-Moment-Korrelation<\/strong>.<\/div>\n<div style=\"text-align: center;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1195\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-1024x339.png\" alt=\"\" width=\"761\" height=\"252\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-1024x339.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-300x99.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-768x254.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-65x22.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-225x75.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5-350x116.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-5.png 1410w\" sizes=\"(max-width: 761px) 100vw, 761px\" \/><\/div>\n<div style=\"text-align: justify;\">Dieser wird auch Pearson-Korrelation bzw. seltener Bravais-Pearson Korrelation genannt (Nach den Statistikern Karl Pearson und Auguste Bravais<a class=\"footnote\" title=\"Franka Miriam Br\u00fcckler: Geschichte der Mathematik kompakt. Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55573-6, S. 116.\" id=\"return-footnote-65-1\" href=\"#footnote-65-1\" aria-label=\"Footnote 1\"><sup class=\"footnote\">[1]<\/sup><\/a>). Der resultierende Kennwert <em><strong>r<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> wird <strong>Pearson-Korrelationskoeffizient<\/strong> genannt.<\/div>\n<div><\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/WilIXIouYWc\">Video 4.4 Korrelation | Pearson Korrelation<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.4 Korrelation | Pearson Korrelation\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/WilIXIouYWc?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der <strong>Pearson-Korrelationskoeffizient erm\u00f6glicht,<\/strong> wie auch die Kovarianz, eine Interpretation der Richtung des Zusammenhangs. Zus\u00e4tzlich gibt er aber auch eine Information \u00fcber die <strong>St\u00e4rke des Zusammenhangs<\/strong>. Denn durch die Standardisierung ist der Korrelationskoeffizient einheitlich interpretierbar (unabh\u00e4ngig davon, welche Variablen betrachtet werden). Durch diese Standardisierung kann der Korrelationskoeffizient <em><strong>r<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> nur <strong>Werte zwischen \u20131 und +1<\/strong> annehmen, wobei<\/p>\n<ul>\n<li><strong>\u20131<\/strong> einen <strong>perfekt negativen<\/strong>\u00a0Zusammenhang zwischen den Variablen aufzeigt<\/li>\n<li><strong>+1<\/strong> einen <strong>perfekt positiven<\/strong>\u00a0Zusammenhang zwischen den Variablen aufzeigt<\/li>\n<li><strong>0<\/strong> <strong>keinen<\/strong>\u00a0<strong>Zusammenhang<\/strong> zwischen den Variablen aufzeigt<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">In den ersten beiden F\u00e4llen liegen alle Punkte auf einer Graden, was in der Praxis, jedoch nur sehr selten der Fall ist. Aber wie k\u00f6nnen wir nun Werte zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0 und -1 interpretieren? Hierf\u00fcr hat Jacob Cohen 1988 eine einheitliche &#8222;Sprachregelung&#8220; vorgeschlagen, die bis heute verwendet wird:<\/p>\n<ul>\n<li>Ab (+\/-) <strong><em>r<\/em>=.10<\/strong> spricht man von einem <strong>schwachen Zusammenhang<\/strong> (schwacher Effekt)<\/li>\n<li>Ab (+\/-) <strong><em>r<\/em>=.30<\/strong> spricht man von einem <strong>mittleren Zusammenhang<\/strong> (mittlerer Effekt)<\/li>\n<li>Ab (+\/-) <strong><em>r<\/em>=.50<\/strong> spricht man von einem <strong>starken Zusammenhang<\/strong> (starker Effekt).<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">Hinweis: Statistiker vermeiden gern unn\u00f6tige Aufw\u00e4nde, daher wird bei der Angabe des Korrelations-koeffizienten auf die Angabe der &#8222;0&#8220; vor dem Komma verzichtet (da der Wert ja nie \u00fcber 1 liegen kann). \u00dcblicherweise wird auch die englische Schreibweise verwendet also ein Punkt anstatt des Kommas eingesetzt. Die Angabe beginnt also stets mit einem Punkt &#8222;.&#8220; wie z.B. <em><strong>r<sub>(x,y)<\/sub><\/strong><\/em> = .56 was einem positiven, starken Zusammenhang entspricht.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Korrelationskoeffizient<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Bei einer perfekten Korrelation (r= +\/-1) liegen alle Werte exakt auf einer Linie. Diese l\u00e4sst sich mit einer Gleichung beschreiben, welche wir n\u00e4her im n\u00e4chsten Kapitel &#8222;Regression&#8220; betrachten werden.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-1198 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8-300x132.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"132\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8-300x132.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8-768x338.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8-65x29.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8-225x99.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8-350x154.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-8.png 911w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Eine perfekt lineare Korrelation kommt in der Praxis nur bei technischen Zusammenh\u00e4ngen vor, in den Sozialwissenschaften jedoch sieht die Realit\u00e4t meist eher so aus:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1199 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6-300x137.png\" alt=\"\" width=\"307\" height=\"140\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6-300x137.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6-768x350.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6-65x30.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6-225x103.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6-350x160.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-6.png 939w\" sizes=\"(max-width: 307px) 100vw, 307px\" \/><\/p>\n<p>Wir haben mit dem Korrelationskoeffizienten r nun ein standardisiertes Ma\u00df mit dem wir beschreiben k\u00f6nnen, wie nahe die Punkte auf einer Linie liegen und wie stark damit der Zusammenhang ist. In den vorliegenden beiden F\u00e4llen sprechen wir nach der Konvention von Cohen von jeweils einem <strong>starken Zusammenhang<\/strong>. Also auf der linken Seite von einem starken positiven Zusammenhang und auf der rechten Seite von einem starken negativen Zusammenhang.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/NSXylf15ps4\">Video 4.5 Korrelation | Interpretation<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.5 Korrelation | Interpretation\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/NSXylf15ps4?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>4.4 Rangkorrelation<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Berechnung des Pearson-Korrelationskoeffizienten setzt voraus, dass beide Variablen metrisch skaliert sind. Hat eine der beiden Variablen oder beide Variablen <strong>ordinales Skalenniveau<\/strong> muss anstatt der Pearson Korrelation eine sogenannte <strong>Rangkorrelation<\/strong> gerechnet werden. Dabei ist Rangkorrelation der \u00dcberbegriff f\u00fcr mehrere Verfahren, die hierbei angewendet werden k\u00f6nnen. Die in der Praxis g\u00e4ngigen Korrelationskoeffizienten f\u00fcr ordinale Variablen sind <strong>Kendall&#8217;s Tau (\u03c4)<\/strong> und <strong>Spearman&#8217;s Rho (r<sub>s<\/sub>)<\/strong>.Beide Korrelationsma\u00dfe ber\u00fccksichtigen ausschlie\u00dflich die R\u00e4nge, bzw. Rangunterschiede beider Variablenauspr\u00e4gungen. Die Skala reicht jeweils von -1 bis +1 und erlaubt somit eine <strong>Interpretation analog Pearson\u2018s <em>r<\/em><\/strong>. Kendalls tau ist systematisch etwas geringer als Spearman\u2018s Rho und damit das konservativere Ma\u00df.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen Rangkorrelation<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Beide Rangkorrelationsma\u00dfe sind in g\u00e4ngigen Statistik-Programmen (SPSS, R) vorhanden und werden \u00e4u\u00dfert selten von Hand berechnet. Hier finden Sie die entsprechenden Berechnungsverfahren. Falls Sie eines der Verfahren h\u00e4ndisch berechnen wollen bietet sich Spearman&#8217;s Rho an, da es das deutlich weniger komplexe Verfahren ist.<\/p>\n<p><strong>Spearman&#8217;s Rho (r<sub>s<\/sub>) <\/strong>wurde entwickelt von Charles Edward Spearman 1904.<\/p>\n<p>Die Formel lautet:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1200\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-1024x340.png\" alt=\"\" width=\"879\" height=\"292\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-1024x340.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-300x100.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-768x255.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-1536x511.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-65x22.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-225x75.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8-350x116.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-8.png 1591w\" sizes=\"(max-width: 879px) 100vw, 879px\" \/><\/p>\n<p><strong>Kendall&#8217;s Tau (\u03c4) <\/strong>wurde entwickelt von Maurice Kendall in 1938.<\/p>\n<p>Die Formel lautet:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1201\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-1024x513.png\" alt=\"\" width=\"604\" height=\"303\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-1024x513.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-300x150.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-768x385.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-65x33.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-225x113.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9-350x175.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-9.png 1469w\" sizes=\"(max-width: 604px) 100vw, 604px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<div><\/div>\n<\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch4.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\n<h1>4.5 Phi Koeffizient<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bei zwei <strong>nominalen Variablen<\/strong> kommt ein weiterer Korrelationskoeffizient zum Einsatz: <strong>Phi (<em>\u03c6<\/em>)<\/strong>. Allerdings kann dieser nur dann angewendet werden, wenn<strong> beide Variablen dichotom<\/strong> sind, d.h. genau zwei Auspr\u00e4gungen haben. Ein Anwendungsfall w\u00e4re also z.B. die Frage, ob es einen Zusammenhang gibt zwischen dem Geschlecht (m\/w) und dem Hobby Tennis spielen (ja\/nein). Auch beim Phi-Koeffizient reicht die Skala\u00a0 von -1 bis +1 und erlaubt somit eine <strong>Interpretation analog Pearson\u2018s <em>r<\/em><\/strong>. Der Phi-Koeffizient ist eng verwandt mit dem Chi-Quadrat Test, den wir sp\u00e4ter noch kennen lernen werden.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen Phi-Koeffizient<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">Auch der Phi-Koeffizient ist in g\u00e4ngigen Statistik-Programmen (SPSS, R) vorhanden und wird \u00e4u\u00dfert selten von Hand berechnet. Hier finden Sie die dennoch das entsprechende Berechnungsverfahren.Die Berechnung des Phi-Koeffizienten basiert auf einer Kreuztabelle mit 4 Feldern und Randsummen.<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 240pt; width: 320px; border-spacing: 0px;\" cellpadding=\"0\">\n<colgroup>\n<col style=\"width: 60pt;\" span=\"4\" width=\"80\" \/> <\/colgroup>\n<tbody>\n<tr style=\"height: 14.25pt;\">\n<td style=\"height: 14.25pt; width: 60pt; width: 80px; height: 19px;\"><\/td>\n<td style=\"width: 60pt; width: 80px;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">b<span class=\"font5\">1<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"width: 60pt; width: 80px;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">b<span class=\"font5\">2<\/span><\/span><\/td>\n<td style=\"width: 60pt; width: 80px;\">SUMME<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.25pt; margin-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: baseline;\">\n<td style=\"height: 14.25pt; height: 19px;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">a<sub><span class=\"font5\">1<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">11<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">12<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">1\u22c5<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.25pt; margin-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: baseline;\">\n<td style=\"height: 14.25pt; height: 19px;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">a<sub><span class=\"font5\">2<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">21<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td style=\"border-right-style: initial; border-bottom-style: initial; border-left-style: initial; border-right-color: initial; border-bottom-color: initial; border-left-color: initial;\"><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font6\">22<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">2\u22c5<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.25pt; margin-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-top: 0px; vertical-align: baseline;\">\n<td style=\"height: 14.25pt; height: 19px;\">SUMME<\/td>\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">\u22c51<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">h<sub><span class=\"font5\">\u22c52<\/span><\/sub><\/span><\/td>\n<td><span style=\"max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px;\">n<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Hierbei sind a<sub>1<\/sub> und a<sub>2<\/sub> die Auspr\u00e4gungen der einen Variable (z.B. m\u00e4nnlich und weiblich) und b<sub>1<\/sub> und b<sub>2<\/sub> die Auspr\u00e4gungen der anderen (Tennis ja \/ Tennis nein). In der Kreuztabelle stehen dann die jeweiligen H\u00e4ufigkeiten. Hieraus errechnet sich der Phi-Koeffizient wie folgt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-61\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/phi-300x110.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"110\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/phi-300x110.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/phi-65x24.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/phi-225x83.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/phi-350x129.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/phi.png 580w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/AahwUbGgdn4\">Video 4.1 Korrelation | Korrelationsma\u00dfe<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.1 Korrelation | Korrelationsma\u00dfe\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/AahwUbGgdn4?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>4.6 \u00dcbersicht Korrelationsma\u00dfe<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir haben nun drei Korrelationsma\u00dfe f\u00fcr die drei g\u00e4ngigen Skalenniveaus (metrisch, ordinal, nominal) kennen gelernt. Aufbauend darauf gibt es weitere Korrelationsma\u00dfe f\u00fcr spezielle Anwendungen. An dieser Stelle sei noch die <strong>Punktbiseriale Korrelation<\/strong> erw\u00e4hnt, die immer dann verwendet werden kann, wenn eine Variable metrisch ist und die andere dichotom nominal skaliert ist. Zum Beispiel k\u00f6nnte man hiermit der Frage nachgehen ob das Einkommen (metrisch) und das Geschlecht (dichotom nominal) zusammenh\u00e4ngen. Der Vorteil: Die <strong>Punktbiseriale Korrelation entspricht <\/strong>mathematisch der Berechnung von <strong>Pearson\u2018s r <\/strong>und kann auch ebenso interpretiert werden. Weitere spezielle Korrelationsma\u00dfe wie die Punktbiseriale Rangkorrelation wollen wir an dieser Stelle nicht weiter vertiefen. Die folgende Tabelle soll Ihnen einen \u00dcberblick \u00fcber die Korrelationsma\u00dfe geben:<\/p>\n<table style=\"height: 68px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 17px;\">\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\"><\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\">Intervallskala<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\">Ordinalskala<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Dichotome Nominalskala<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 17px;\">\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\">Intervallskala<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\">Produkt-Moment-Korrelation<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\">Rang-Korrelation (Tau \u03c4\/ Rho \u03c1)<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Punkt-biseriale Korrelation<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 17px;\">\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\">Ordinalskala<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\"><\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\">Rang-Korrelation (Tau \u03c4\/ Rho \u03c1)<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Biseriale Rang-Korrelation<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 17px;\">\n<td style=\"height: 17px; width: 180px;\">Dichotome Nominalskala<\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 207.5px;\"><\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 212px;\"><\/td>\n<td style=\"height: 17px; width: 185.5px;\">Phi-Koeffizient<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/arxiwPQN3ao\">Video 4.2 Korrelation | Korrelationsma\u00dfe 2<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.2 Korrelation | Korrelationsma\u00dfe 2\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/arxiwPQN3ao?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>4.7 Voraussetzungen und Grenzen der Korrelation<\/h1>\n<p>Wir wollen uns im Folgenden noch mit wichtigen Voraussetzungen und Einschr\u00e4nkungen besch\u00e4ftigen, welche sowohl die Berechnung als auch die Interpretation von Korrelationsma\u00dfen betrifft.<\/p>\n<h2>Grenzen der Linearen Korrelation<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bisher sind wir bei der Produkt-Moment-Korrelation stets davon ausgegangen, dass ein <strong>Zusammenhang linear<\/strong> ist (deswegen h\u00e4tten wir bisher auch ganz korrekt von <em>linearer<\/em> bivariater Korrelation sprechen m\u00fcssen). Um besser zu verstehen, was das bedeutet, k\u00f6nnen wir folgende zwei Streudiagramme betrachten:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1203\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4.png\" alt=\"\" width=\"519\" height=\"226\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4.png 1008w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4-300x131.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4-768x334.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4-65x28.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4-225x98.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-4-350x152.png 350w\" sizes=\"(max-width: 519px) 100vw, 519px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Bei beiden Streudiagrammen liegt der Pearson-Korrelationskoeffizient bei 0 und sagt uns damit, dass es keinen Zusammenhang zwischen den Variablen gibt. Auf der linken Seite scheint dies auch plausibel, jedoch ist rechts deutlich zu erkennen, dass die beiden Variablen zun\u00e4chst gemeinsam ansteigen, dann jedoch gemeinsam fallen. Da der <strong>Pearson-Korrelationskoeffizient nur lineare Zusammenh\u00e4nge<\/strong> betrachtet (also nur Zusammenh\u00e4nge die immer in die gleiche Richtung gehen), wird dieser Zusammenhang nicht erkannt. Hierf\u00fcr gibt es alternative, nicht-lineare, Verfahren die wir hier in Statistik Grundlagen nicht vertiefen k\u00f6nnen. Ein solcher nicht-linearer Zusammenhang kann jedoch in der Praxis durchaus vorkommen. Ein Beispiel w\u00e4re die Arbeitsbelastung und die Arbeitszufriedenheit. Ist die Arbeitsbelastung zu gering sind Angestellte oft gelangweilt und dadurch unzufrieden, ist sie zu hoch kann dies zu Stress und damit auch wieder Unzufriedenheit f\u00fchren.<\/p>\n<h2>Korrelation ist keine Kausalit\u00e4t<\/h2>\n<p>Wir haben nun Methoden kennengelernt, mit denen wir zuverl\u00e4ssig feststellen k\u00f6nnen, ob zwei Variablen zusammenh\u00e4ngen. Dies sagt jedoch nicht aus, dass die eine Variable auch urs\u00e4chlich f\u00fcr die andere Variable ist. <strong>Die Korrelation<\/strong> zweier Variablen <strong>bedeutet nicht<\/strong> automatisch, dass es einen<strong> kausalen Zusammenhang<\/strong> zwischen beiden Variablen gibt. Dies hat zwei wesentliche Gr\u00fcnde:<\/p>\n<ol>\n<li>Eine Korrelation sagt nichts \u00fcber die <strong>Wirkrichtung<\/strong> des Zusammenhangs aus. Grunds\u00e4tzlich ist ein kausaler Zusammenhang in beide Richtungen denkbar. Wenn Sie z.B. einen Zusammenhang zwischen der Zufriedenheit im Studium (x) und dem Notenschnitt (y)\u00a0 finden. Dann k\u00f6nnte es sein, dass die zufriedenere Studierende wirklich bessere Noten schreiben (Zufriedenheit bewirkt gute Noten), genauso plausibel ist aber auch, dass Studierende, die bessere Noten schreiben, zufriedener sind (gute Noten bewirken Zufriedenheit).<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1207 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6.png\" alt=\"\" width=\"690\" height=\"646\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6.png 862w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6-300x281.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6-768x719.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6-65x61.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6-225x211.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-6-350x328.png 350w\" sizes=\"(max-width: 690px) 100vw, 690px\" \/><\/li>\n<li>Zum anderen k\u00f6nnen beide Variablen von einer dritten Variablen als Ursache abh\u00e4ngen. So k\u00f6nnte z.B. die Intelligenz sowohl die Noten als auch die Zufriedenheit im Studium beeinflussen. In diesem Fall spricht man auch von einer <strong>Scheinkorrelation<\/strong> (wenn nur diese dritte Variable f\u00fcr den Zusammenhang verantwortlich ist).<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1208 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-6.png\" alt=\"\" width=\"458\" height=\"250\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-6.png 663w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-6-300x164.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-6-65x35.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-6-225x123.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-6-350x191.png 350w\" sizes=\"(max-width: 458px) 100vw, 458px\" \/><\/li>\n<\/ol>\n<p>Nur ein entsprechendes Studiendesign (z.B. ein Experiment) erm\u00f6glicht die Ableitung von kausalen Zusammenh\u00e4ngen.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/2ivzoO9EGG0\">Video 4.6 Korrelation | Vorraussetzungen und Grenzen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.6 Korrelation | Vorraussetzungen und Grenzen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/2ivzoO9EGG0?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>4.8 Korrelation mit Jamovi berechnen<\/h1>\n<p data-pm-slice=\"1 1 []\">Korrelationskoeffizienten lassen sich in Jamovi schnell berechnen. Das entsprechende Men\u00fc findet sich unter<\/p>\n<p data-pm-slice=\"1 1 []\"><em><strong>Analysen &gt;\u00a0 Regression &gt; Korralationsmatrix.<\/strong><\/em><\/p>\n<p data-pm-slice=\"1 1 []\">Hier k\u00f6nnen verschiedene Korrelationsma\u00dfe berechnet werden, darunter die Pearson-Korrelation f\u00fcr metrische Variablen sowie die Rangkorrelationskoeffizienten Kendall\u2019s Tau und Spearmans Rho f\u00fcr ordinal skalierte Daten. Ziehen Sie die zu analysierenden Variablen in das Feld &#8222;Variablen&#8220; und w\u00e4hlen Sie die gew\u00fcnschten Kennwerte aus.<\/p>\n<p>Auch f\u00fcr dichotom nominal skalierte Variablen lassen sich Korrelationen berechnen. Hierbei k\u00f6nnen der Punkt-Biseriale Korrelationskoeffizient genutzt werden (entspricht der Pearson Korrelation). F\u00fcr zwei dichotom nominal skalierte Variablen kann der Phi-Koeffizient genutzt werden. Diese M\u00f6glichkeit findet sich unter:<\/p>\n<p><em><strong>Analysen &gt; H\u00e4ufigkeiten &gt; Unabh\u00e4ngige Stichproben<\/strong><\/em><\/p>\n<p>Die beiden Variablen k\u00f6nnen beliebig in Zeilen und Spalten gezogen werden. Unter &#8222;Statistiken&#8220; kann mit einem Klick auf &#8222;Phi- und Cramers V&#8220; der Phi-Koeffizient berechnet werden.<\/p>\n<p>Beides wird im folgenden Video gezeigt.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4 8 Korrelation mit Jamovi\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/dsmX-YdY48Q?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>4.9 Korrelation mit SPSS berechnen<\/h1>\n<p>Korrelationskoeffizienten k\u00f6nnen in SPSS mit wenigen Klicks errechnet werden. Das entsprechende Men\u00fc hierzu findet sich unter:<\/p>\n<p><em><strong>Analysieren &gt; Korrelation &gt; Bivariat<\/strong><\/em><\/p>\n<p>Im folgenden Video besprechen wir, wie die Pearson-Korrelation, sowie die Rangkorrelationskoeffizienten Kendall&#8217;s Tau und Spermans Rho, mit SPSS berechnet werden.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/O-_NtISTgS8\">Video 4.7 Korrelation | Mit SPSS Korrelationskoeffizienten berechnen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.7 Korrelation | Mit SPSS Korrelationskoeffizienten berechnen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/O-_NtISTgS8?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Korrelationen k\u00f6nnen auch f\u00fcr dichotom nominal skalierte Variablen leicht in SPSS berechnet werden. Im folgenden Video besprechen wir, wie die Punkt-Biseriale Korrelation, sowie der Phi-Koeffizient mit SPSS berechnet werden kann.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/EfxbqMMfo2I\">Video 4.8 Korrelation | Mit SPSS Korrelation f\u00fcr Nominaldaten berechnen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"4.8 Korrelation | Mit SPSS Korrelation f\u00fcr Nominaldaten berechnen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/EfxbqMMfo2I?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1>4.10 \u00dcbungsfragen<\/h1>\n<p>Bei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-55\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"55\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-56\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"56\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-89\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"89\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>In diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-17\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"17\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-90\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"90\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-18\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"18\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-83\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"83\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-84\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"84\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<h1>4.11 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\n<div>\n<header>F\u00fcr unsere Burgerkette wurden Rabatt-Gutscheine in verschiedener H\u00f6he versandt. Wir wollen pr\u00fcfen, ob die H\u00f6he des Gutscheins einen Einfluss darauf hat wie viele Burger der Kunde jeweils im darauffolgenden Monat gekauft hat. Gibt es einen Zusammenhang zwischen der H\u00f6he des Nachlasses und der Anzahl an gekauften Burgern ? Berechnen Sie zun\u00e4chst die Kovarianz und dann die Produkt-Moment Korrelation.<\/header>\n<\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-75\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"75\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p><strong>Hinweis:<\/strong> Die einzelnen L\u00f6sungsschritte werden durch das Bewegen des Schiebereglers sichtbar.<br \/>\n<a href=\"https:\/\/open.spotify.com\/show\/5ro31tpkiOMYJQwprTARqG?si=qsUsnFtWSXSYJELIv0sPHA\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-1877\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt.png\" alt=\"\" width=\"985\" height=\"286\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt.png 985w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-300x87.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-768x223.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-225x65.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-350x102.png 350w\" sizes=\"(max-width: 985px) 100vw, 985px\" \/><\/a><\/p>\n<hr class=\"before-footnotes clear\" \/><div class=\"footnotes\"><ol><li id=\"footnote-65-1\">Franka Miriam Br\u00fcckler: Geschichte der Mathematik kompakt. Das Wichtigste aus Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, angewandter Mathematik, Topologie und Mengenlehre. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-55573-6, S. 116. <a href=\"#return-footnote-65-1\" class=\"return-footnote\" aria-label=\"Return to footnote 1\">&crarr;<\/a><\/li><\/ol><\/div>","protected":false},"author":1,"menu_order":1,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"part":53,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/65"}],"collection":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/65\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1883,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/65\/revisions\/1883"}],"part":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/53"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/65\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=65"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=65"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=65"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=65"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}