- \r\n \t
- Daten k\u00f6nnen anhand von Kennwerten<\/strong> zusammengefasst werden<\/li>\r\n \t
- Daten k\u00f6nnen graphisch<\/strong> (oder tabellarisch) dargestellt werden (siehe Kapitel 3).<\/li>\r\n<\/ul>\r\n
Beiden Ans\u00e4tzen gemein ist das Ziel, gro\u00dfe Mengen an Daten und komplexe Zusammenh\u00e4nge schnell und einfach verst\u00e4ndlich zu machen. Leider erkennt man bei umfangreichen Daten auf den ersten Blick oft nicht, was in den Daten steckt und es ist schwierig, die Daten, also viele Werte auf einer Variablen, mit Worten zu beschreiben. Stellen Sie sich vor, Sie werden von einem Freund gefragt wie alt die Studierenden in Ihrem Studiengang sind. Selbst wenn Sie eine Liste (Daten) mit dem jeweiligen Alter (Merkmalsauspr\u00e4gung) aller Kommilitonen (Merkmalstr\u00e4ger) vor sich liegen haben, ist es nicht einfach eine kurze und pr\u00e4zise Antwort auf diese Frage zu geben. Sie k\u00f6nnten z.B. eine Tabelle erstellen, die die H\u00e4ufigkeiten der Altersgruppen wiedergibt (z.B. 12 Studenten sind 18 Jahre, 15 Studenten sind 19 Jahre etc.). Kennwerte<\/strong> erlauben Ihnen hier eine einfachere und schnellere Antwort<\/strong>. So k\u00f6nnten Sie zum Beispiel sagen der j\u00fcngste Student ist 17 und der \u00c4lteste 36 (Spannweite), oder das Durchschnittsalter (Mittelwert) ist 22,5 Jahre. Kennwerte haben dabei den Anspruch die Verteilung einer Variablen in meist nur einem einzigen Wert (z.B. Durchschnittsalter) wiederzugeben. Dabei geht nat\u00fcrlich auch Informationsgehalt verloren.\u00a0 Daher werden wir uns im Folgenden damit Besch\u00e4ftigen, welche Kennwerte f\u00fcr welche Fragestellungen geeignet sind und wie man diese berechnet.<\/p>\r\nVideo 2.0 Kennwerte - Einf\u00fchrung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/ncLIfOTNGos\r\n
Statistische Kennwerte<\/strong> (auch Ma\u00dfzahlen oder kurz Statistiken genannt) haben die Funktion, in zusammengefasster (aggregierter) Form<\/strong> Auskunft \u00fcber Eigenschaften von Verteilungen zu geben. Aus vielen einzelnen Werten werden also einige wenige resultierende Werte gebildet, die Aussage \u00fcber die Beschaffenheit einer Verteilung geben. Statistische Kennwerte sind oft die Grundlage f\u00fcr weitere statistische Auswertungen.<\/p>\r\n
Mithilfe von statistischen Kennwerten k\u00f6nnen wir die Verteilung einer Variablen\u00a0hinsichtlich der zentralen Tendenz<\/strong> bzw. der Streuung<\/strong> ihrer Messwerte beschreiben.<\/p>\r\n\r\n
- \r\n \t
- Ma\u00dfe der zentralen Tendenz<\/strong> (auch Lokationsma\u00dfe oder Lagema\u00dfe) repr\u00e4sentieren alle Messwerte einer Verteilung zusammenfassend und zeigen sozusagen den Schwerpunkt der Verteilung auf.<\/li>\r\n \t
- Streuungsma\u00dfe<\/strong> (auch Variabilit\u00e4ts- oder Dispersionsma\u00dfe) geben Auskunft \u00fcber die Variation der Messwerte, also dar\u00fcber, wie unterschiedlich ein Merkmal verteilt ist und wie weit diese um den Schwerpunkt streuen.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n
![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-7-1024x691.png\")
\r\n\r\nWir werden uns nun zun\u00e4chst den Ma\u00dfen der zentralen Tendenz n\u00e4her widmen.\r\n2.1 Ma\u00dfe der zentralen Tendenz (auch Lokationsma\u00dfe oder Lagema\u00dfe)<\/h1>\r\n
\r\n\r\nNehmen wir an, wir wollen jemandem mitteilen, was das Ergebnis einer Umfrage ist,\u00a0 beispielsweise:\r\n- \r\n \t
- wie sympathisch ist Angela Merkel?<\/li>\r\n \t
- wie viele Burger essen Kinder in Deutschland?<\/li>\r\n \t
- sind Kinder in Deutschland \u00fcbergewichtig?<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n
Hierf\u00fcr brauchen wir einen Kennwert, der\u00a0alle\u00a0Messwerte einer Verteilung<\/strong> zusammenfassend repr\u00e4sentiert. Hierzu geben Lagema\u00dfe Auskunft, indem sie die zentrale Tendenz einer Verteilung<\/strong> in Einheiten der zugrunde liegenden Skala angeben, also beschreiben, wo das Zentrum<\/strong> oder der Schwerpunkt einer Verteilung liegt. Das bedeutet, dass ein Wert m\u00f6glichst gut die ganze Verteilung repr\u00e4sentieren soll, was einen ziemlich hohen Anspruch darstellt. Daher ist es unerl\u00e4sslich, neben diesen Kennwerten auch immer zus\u00e4tzlich die ganze Verteilung zu betrachten und die Lagema\u00dfe gegebenenfalls um Streuungsma\u00dfe zu erg\u00e4nzen.<\/p>\r\nGebr\u00e4uchlich sind drei verschiedene Ma\u00dfe der zentralen Tendenz bzw. Lagema\u00dfe:\r\n
- \r\n \t
- Modus<\/li>\r\n \t
- Median<\/li>\r\n \t
- Arithmetisches Mittel (Mittelwert)<\/li>\r\n<\/ul>\r\n
Dar\u00fcber hinaus gibt es weitere Ma\u00dfe der zentralen Tendenz f\u00fcr spezielle Anwendungen wie das geometrische Mittel oder das getrimmte Mittel. Wir wollen uns im Folgenden aber nur mit den Erstgenannten besch\u00e4ftigen und werden diese nun vertiefen.<\/p>\r\n\r\n
2.2 Modus<\/h1>\r\n
Der Modus<\/strong> (Modalwert) ist der Wert, der in der Verteilung einer diskreten Variable am h\u00e4ufigsten<\/strong> vorkommt (Wenn Sie nicht mehr ganz sicher sind, was eine diskrete Variable ist, schauen Sie doch nochmal in Kapitel 1.3)<\/a>. Folglich ist es auch der Wert, der am wahrscheinlichsten ist, wenn wir zuf\u00e4llig eine Stichprobe aus der Gesamtheit der Messwerte herausgreifen. Es kann auch mehr als einen Modus geben (Plural: Modi). Man spricht dann von einer bimodalen bzw. multimodalen Verteilung.<\/p>\r\nKennwerte werden mit lateinischen Buchstaben - \u00fcblicherweise kursiv - angegeben. Die Abk\u00fcrzung f\u00fcr den Modus ist dabei Mo<\/em><\/strong>.\r\n\r\n
![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-2.png\")
\r\n\r\n Rechenbeispiel<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n
\r\n\r\nNehmen Sie an, wir erheben bei 10 Studierenden die K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe und erhalten folgende Werte:\r\n\r\n159 cm, 178 cm, 152 cm, 193 cm, 155 cm, 166 cm, 170 cm, 182 cm, 178 cm, 179 cm\r\n\r\nWas ist\u00a0 hier der Modus?<\/strong>\r\n\r\nDer Modus ist Mo<\/em> = 178 cm. Denn der Messwert 178 cm kommt zweimal, alle anderen Werte kommen jeweils nur einmal vor.\r\n\r\nAchtung: Der Modus ist der Wert mit der h\u00f6chsten Auftrittsh\u00e4ufigkeit, nicht der h\u00f6chste Wert!\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n2.3 Median<\/h1>\r\n
Der Median (Medianwert) ist der Wert, der eine der Gr\u00f6\u00dfe nach geordnete H\u00e4ufigkeitsverteilung, in zwei gleichgro\u00dfe H\u00e4lften teilt. Hierf\u00fcr muss man bei der Berechnung also zwei Schritte ber\u00fccksichtigen. Zun\u00e4chst ordnet man alle Werte der Gr\u00f6\u00dfe nach an (z.B. von dem geringsten bis zum h\u00f6chsten Burgerkonsum) und dann sucht man den Wert, der genau in der Mitte liegt. Anders ausgedr\u00fcckt ist das am Beispiel des Burgerkonsums genau die Person, bei der es gleich viele Personen gibt, die weniger und die jeweils mehr Burger als sie selbst essen. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass es nicht immer die eine Person gibt, die genau in der Mitte steht.<\/p>\r\n\r\n
- \r\n \t
- Bei ungerader Anzahl von Werten ist es der Wert in der Mitte, wenn man die Messwerte der Gr\u00f6\u00dfe nach anordnet.<\/li>\r\n \t
- Bei gerader Anzahl von Werten wird das arithmetische Mittel aus dem gr\u00f6\u00dften Wert der unteren H\u00e4lfte und dem kleinsten Wert der oberen H\u00e4lfte berechnet.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n
![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-2.png\")
\r\n\r\nF\u00fcr eine sehr gro\u00dfe Anzahl an Werten (oder Personen) kann es oft sehr aufwendig sein, die Mitte zu bestimmen. Hierf\u00fcr kann man sich mit der folgenden Formel behelfen:\r\n\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Median-300x97.png\")
\r\nIn dieser Formel steht das \"n\" f\u00fcr die Anzahl der Werte oder Personen. Gibt es beispielsweise 213 Personen, so ist die Mitte bei 213+1 also 214 : 2 = 107. Das hei\u00dft Sie suchen in der (nach Gr\u00f6\u00dfe geordneten) Liste der Personen die 107. Person heraus.<\/p>\r\nStatistische Eigenschaften des Median:<\/strong>\r\n
- \r\n \t
- Setzt mindestens Ordinalskalenniveau voraus.<\/li>\r\n \t
- Die Summe der absoluten Abweichungen vom Median ist minimal.\r\nDas hei\u00dft, der Median ist der Wert, von dem alle \u00fcbrigen Werte im Durchschnitt am wenigsten abweichen.<\/li>\r\n \t
- Vorteil: Der Median ist relativ wenig anf\u00e4llig gegen\u00fcber Ausrei\u00dfern.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nDie Abk\u00fcrzung f\u00fcr den Median ist Md<\/strong><\/em>.\r\n
\r\n Rechenbeispiel Median 1<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n
\r\n\r\nNehmen Sie an, wir erheben bei 11 Studierenden die Anzahl der Follower auf Instagram und erhalten folgende Werte:\r\n\r\n108, 103, 1252, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98\r\n\r\nWas ist hier der Median?\r\n\r\nBerechnung:\r\n- \r\n \t
- Wir bringen die Zahlen in eine Reihenfolge: 22,40,53,57,93,98,103,108,116,121,1252<\/li>\r\n \t
- Wir bestimmen, welcher Wert in der Mitte liegt. Optisch oder \u00fcber die Formel (11 + 1 \/ 2) = 6<\/li>\r\n \t
- Der 6. Wert ist 98 also lautet unser Median: Md=98<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
\r\n Rechenbeispiel Median 2<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n
\r\n\r\nWas w\u00e4re nun wenn wir den Wert 1252 herausnehmen, da sich herausstellt, dass dies eine Fehleingabe war?\u00a0 Somit haben wir nun noch 10 Studierende und die jeweilige Anzahl der Follower:\r\n\r\n108, 103, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98\r\n\r\nWas ist dann der Median?\r\n\r\nDie Berechnung erfolgt genauso wie bisher auch.\r\n- \r\n \t
- Wir bringen die Zahlen in eine Reihenfolge: 22,40,53,57,93,98,103,108,116,121<\/li>\r\n \t
- Wir bestimmen, welcher Wert in der Mitte liegt. Da wir nun nur noch 10 Werte und damit eine gerade Anzahl an Werten haben, m\u00fcssen wir das arithmetische Mittel aus dem gr\u00f6\u00dften Wert der unteren H\u00e4lfte und dem kleinsten Wert der oberen H\u00e4lfte berechnen. Der Median liegt zwischen dem 5. und 6. Wert, also zwischen \u201e93\u201c und \u201e98\u201c.<\/li>\r\n \t
- Md<\/em> = ((93+98))\/2 = 95,5<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
Diese beiden Rechenbeispiele sollen auch zeigen, dass sich durch die Herausnahme eines hohen Wertes der Median ver\u00e4ndert und erwartungsgem\u00e4\u00df sinkt (von 98 im oberen Beispiel auf 95,5 im unteren). Behalten Sie dieses Ergebnis im Hinterkopf, da wir im n\u00e4chsten Kapitel das arithmetischen Mittel f\u00fcr die selben Zahlen berechnen werden.<\/p>\r\nVideo 2.2 Kennwerte Lagema\u00dfe Median und Modus<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/wRHYI22Ggv4\r\n
2.4 Arithmetisches Mittel (Mittelwert)<\/h1>\r\n
Der Mittelwert<\/strong> bzw. das arithmetische Mittel<\/strong> ist die Summe aller Messwerte dividiert durch die Anzahl der Messwerte n. Auch wenn der Mittelwert vielen aus dem Alltag bekannt ist, so scheint die Formel f\u00fcr diesen Kennwert auf den ersten Blick doch komplex:<\/p>\r\n
![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Mittelwert.png\")
\r\nDas mathematische Summenzeichen \u2211 sagt aus, dass alle Werte eine Variablen x vom ersten Wert (i=1) bis zum n-ten Wert aufsummiert werden.\u00a0 Beispielsweise k\u00f6nnten wir das Alter unserer Mitarbeiter abfragen und unsere Variable x (in diesem Fall das Alter) hat die drei Werte: x1<\/sub> = 32, x2<\/sub> =19 und x3<\/sub> = 27. Dann bedeutet das Summenzeichen \u2211, dass wir alle Werte x vom Wert mit dem Index 1 bis zum letzten, in diesem Fall 3, aufsummieren. Also in diesem Fall einfach 32 + 19 + 27 = 78. Im Folgenden wird dann durch die Anzahl der Werte (n) geteilt. also in diesem Fall 78 \/3 = 26. Anders als beim Median flie\u00dfen beim arithmetischen Mittel alle Werte in die Berechnung des Mittelwerts mit ein, dadurch bekommen auch Ausrei\u00dfer und Extremwerte Gewicht, was dazu f\u00fchren kann, dass der Mittelwert die wahre zentrale Tendenz der Werte nur verzerrt wiedergibt. Im Falle unseres Burgerkonsums-Beispiels erhalten wir einen Mittelwert von 3,13 Burgern pro Monat.<\/p>\r\n
![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-2.png\")
\r\n\r\nDie Abk\u00fcrzung f\u00fcr das arithmetische Mittel ist\u00a0 ![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/x_quer-1.png\")
\u00a0 (\u00fcblicherweise gesprochen als x - quer).\r\n\r\nStatistische Eigenschaften:<\/strong>\r\n- \r\n \t
- Setzt mindestens Intervallskalenniveau voraus.<\/li>\r\n \t
- Die Summe der Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwert ist Null.<\/li>\r\n \t
- Die Summe der quadrierten Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert ist ein Minimum.<\/li>\r\n \t
- Es werden alle Werte bei der Berechnung ber\u00fccksichtigt, dadurch ist der Mittelwert anf\u00e4llig f\u00fcr Ausrei\u00dfer.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n\r\n
\r\n Rechenbeispiel 1<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n
\r\n\r\nWie ist der Mittelwert der Anzahl der Instagram-Follower der 11 Studierenden aus dem obigen Beispiel?\r\n\r\nWir haben die Werte: 108, 103, 1252, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98\r\n\r\nWir setzen in die Formel von oben ein:\r\n\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Mittelw_B1-300x69.png\")
\r\n\r\n<\/div>\r\n \r\n\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\n Rechenbeispiel 2<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n
\r\n\r\nWas w\u00e4re, wenn wir den Extremwert wieder streichen?\r\n\r\n108, 103,1252<\/del>, 121, 93, 57, 40, 53, 22, 116, 98\r\n\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Mittelw_B2-300x89.png\")
\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nWenn Sie die beiden Rechenbeispiele betrachten, sollte Ihnen auffallen, dass der Mittelwert sich durch die Herausnahme eines einzelnen Wertes sehr stark \u00e4ndert (von 187,5 auf 81,1). Im gleichen Fall (bei den gleichen Werten) hat sich der Median jedoch nur von 98 auf 95,5 verringert. Dies zeigt eindrucksvoll wie anf\u00e4llig das arithmetische Mittel f\u00fcr Ausrei\u00dfer ist: Bereits ein einzelner Wert kann den Mittelwert sehr stark beeinflussen.<\/p>\r\nVideo 2.1 Kennwerte \u2013 Arithmetisches Mittel<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/F0CIfCsCDd0\r\n
2.5 Ma\u00dfe der zentralen Tendenz - \u00dcbersicht<\/h1>\r\n<\/div>\r\n
Ihr Leben ist wahrscheinlich nun etwas komplizierter geworden. W\u00e4hrend Sie bisher einfach den Mittelwert berechnet haben, m\u00fcssen Sie sich zuk\u00fcnftig zwischen mindestens drei Kennwerten entscheiden, die alle den Anspruch haben, die zentrale Tendenz einer Variablen aufzuzeigen. Welches Lagema\u00df ist nun das Beste? Das h\u00e4ngt nat\u00fcrlich ganz davon ab, was f\u00fcr eine Verteilung und was f\u00fcr eine Variable Sie vorliegen haben. Ist die interessierte Variable nominalskaliert, so bleibt nur der Modus. Haben Sie eine ordinalskalierte Variable vorliegen, so k\u00f6nnten Modus oder Median zum Einsatz kommen und ab Intervallskalenniveau k\u00f6nnen alle drei Kennwerte verwendet werden. In diesem Fall gilt es abzuw\u00e4gen wie stark die Verzerrung durch Ausrei\u00dfer auf den Mittelwert zu erwarten ist. Bei sehr gleichm\u00e4\u00dfigen Verteilungen ist der Mittelwert die beste Wahl, bei ungleichm\u00e4\u00dfigen Verteilungen mit Ausrei\u00dfern ist der Median oft die sensiblere Entscheidung. Die folgende Tabelle gibt nochmal eine \u00dcbersicht hierzu:<\/p>\r\n \r\n
- Streuungsma\u00dfe<\/strong> (auch Variabilit\u00e4ts- oder Dispersionsma\u00dfe) geben Auskunft \u00fcber die Variation der Messwerte, also dar\u00fcber, wie unterschiedlich ein Merkmal verteilt ist und wie weit diese um den Schwerpunkt streuen.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n
- Daten k\u00f6nnen graphisch<\/strong> (oder tabellarisch) dargestellt werden (siehe Kapitel 3).<\/li>\r\n<\/ul>\r\n
![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-5.png\")
\r\n\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-5-1024x193.png\")
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\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-2-1024x218.png\")
\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-3-1024x230.png\")
\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-3-1024x170.png\")
\r\n\r\nDie Abk\u00fcrzung f\u00fcr die hier dargestellte Quadratsumme ist QS<\/strong><\/em>.\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-2-1024x193.png\")
\r\n\r\nDie Abk\u00fcrzung f\u00fcr die Varianz s2<\/sup><\/em><\/strong>.\r\n\r\nDie Varianz nimmt umso gr\u00f6\u00dfere Werte an, je st\u00e4rker die einzelnen Messwerte von ihrem Mittelwert abweichen.\r\n\r\nDas Quadrieren der Abweichungen hat folgende mathematische Eigenschaften<\/strong>:\r\n![\"Das](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch3.jpg\")
<\/a>\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-3-1024x180.png\")
\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-4-1024x557.png\")
\r\n![\"\"](\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-3-1024x395.png\")
\r\n