{"id":1758,"date":"2023-04-12T14:40:47","date_gmt":"2023-04-12T12:40:47","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/?post_type=chapter&p=1758"},"modified":"2023-04-12T21:08:09","modified_gmt":"2023-04-12T19:08:09","slug":"zweifaktorielle-anova-two-way-independent-anova-mit-r","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/zweifaktorielle-anova-two-way-independent-anova-mit-r\/","title":{"rendered":"Zweifaktorielle ANOVA mit R (TWO-Way Independent ANOVA)"},"content":{"raw":"

Zweifaktorielle ANOVA (TWO-Way Independent ANOVA)<\/h1>\r\nEine zweifaktorielle ANOVA (Varianzanalyse) ist eine statistische Methode, mit der festgestellt werden kann, ob eine Wechselwirkung zwischen zwei unabh\u00e4ngigen Variablen und einer kontinuierlichen abh\u00e4ngigen Variablen besteht. Sie ist eine Erweiterung der einseitigen ANOVA, bei der die Mittelwerte von zwei unabh\u00e4ngigen Variablen mit einer abh\u00e4ngigen Variablen verglichen werden. Sie wird verwendet, um festzustellen, ob es eine Wechselwirkung zwischen den beiden unabh\u00e4ngigen Variablen gibt, was bedeutet, dass die Wirkung einer unabh\u00e4ngigen Variablen auf die abh\u00e4ngige Variable von der H\u00f6he der anderen unabh\u00e4ngigen Variable abh\u00e4ngt.\r\n\r\nEin Beispiel: Ein Forscher m\u00f6chte die Auswirkungen einer neuen Lehrmethode (x1) und des Geschlechts der Sch\u00fcler (x2) auf die Sch\u00fclerleistungen (y) untersuchen. Der Forscher teilt die Sch\u00fcler nach dem Zufallsprinzip einer von drei Gruppen zu: einer Kontrollgruppe (traditionelle Lehrmethode), einer Versuchsgruppe 1 (neue Lehrmethode 1) und einer Versuchsgruppe 2 (neue Lehrmethode 2) und teilt die Sch\u00fcler au\u00dferdem in zwei Geschlechtergruppen ein: m\u00e4nnlich und weiblich. Mit Hilfe einer zweiseitigen ANOVA kann festgestellt werden, ob es eine Wechselwirkung zwischen der Lehrmethode und dem Geschlecht der Sch\u00fcler auf die Sch\u00fclerleistungen gibt.\r\n\r\nWie bei der einseitigen ANOVA werden auch bei der zweiseitigen ANOVA Annahmen \u00fcber die Daten getroffen, die der einfaktoriellen ANOVA entsprechen und hier daher nicht mehr vertieft werden.\r\n\r\nBeispiel<\/strong>\r\n\r\nWir betrachten eine Studie, bei der es um M\u00f6glichkeiten geht, den Blutdruck zu senken. Die Variable biofeedback mit den Faktorstufen present\/absent besagt, ob die Probanden eine smart watch tragen, die den Blutdruck anzeigt. Die Variable drug mit den Faktorstufen present\/absent besagt, ob die Probanden ein blutdrucksenkendes Mittel bekommen haben. 20 Teilnehmer werden zuf\u00e4llig in eine der 4 Gruppen eingeteilt. Die abh\u00e4ngige Variable ist der Blutdruck.\r\n
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Daten einlesen<\/h1>\r\nDa die beiden abh\u00e4ngigen Variablen meist als \u201cchr\u201d Variablen erkannt werden, m\u00fcssen diese noch als Faktoren umgewandelt werden.\r\n
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bpdata<-<\/span>read.csv2<\/span>(file=<\/span>\"bpdata.csv\"<\/span>)<\/span>\r\nbpdata$<\/span>biofeedback <-<\/span>as.factor<\/span>(bpdata$<\/span>biofeedback)<\/span>\r\nbpdata$<\/span>drug <-<\/span>as.factor<\/span>(bpdata$<\/span>drug)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
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Voraussetzungen<\/h1>\r\nWir testen zun\u00e4chst die Voraussetzungen f\u00fcr eine ANOVA. Die abh\u00e4ngige Variable, hier Blutdruck, ist metrisch skaliert. Die Varianzhomogenit\u00e4t testen wir wieder mit dem Levene-Test.\r\n
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library<\/span>(car)<\/span>\r\nleveneTest<\/span>(bloodpressure ~<\/span> biofeedback*<\/span>drug, data=<\/span>bpdata) <\/span>\r\n## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)<\/span><\/span>\r\n##       Df F value Pr(>F)<\/span><\/span>\r\n## group  3       0      1<\/span><\/span>\r\n##       16<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
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ANOVA durchf\u00fchren<\/h1>\r\nJetzt rechnen wir die ANOVA. Die zweifaktorielle ANOVA funktioniert auch mit der aov()<\/em> Funktion. Die zweite unabh\u00e4ngige Variable wird nach der Logik \u201cAV~UV1*UV2\u201d aufgenommen. Das Ergebnis der ANOVA k\u00f6nnen wir wieder mit der summary() Funktion anfordern.\r\n
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ANOVA2 <-<\/span> aov<\/span>(bloodpressure ~<\/span> biofeedback*<\/span>drug, data=<\/span>bpdata)<\/span>\r\nsummary<\/span>(ANOVA2)<\/span>\r\n##                  Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   <\/span><\/span>\r\n## biofeedback       1    500   500.0    8.00 0.01211 * <\/span><\/span>\r\n## drug              1    720   720.0   11.52 0.00371 **<\/span><\/span>\r\n## biofeedback:drug  1    320   320.0    5.12 0.03792 * <\/span><\/span>\r\n## Residuals        16   1000    62.5                   <\/span><\/span>\r\n## ---<\/span><\/span>\r\n## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nWir sehen in den Ergebnissen, dass alle 3 Effekte (2 Haupteffekte und Interaktionseffekt) signifikant werden. Das bedeutet, dass \u201cbiofeedback\u201d einen signifikanten Einfluss auf den Blutdruck (1. Haupteffekt) hat. Das Medikament \u201cdrug\u201d hat einen signifikanten Einfluss auf den Blutdruck (2. Haupteffekt). Bei der Interpretation der Haupteffekte ist jedoch immer Vorsicht geboten, wenn auch der Interaktionseffekt signifikant wird. Hier im Beispiel wird auch der Interaktionseffekt signifikant (3. Zeile \u201cbiofeedback:drug\u201d). Das bedeutet, dass sich beide Faktoren auch untereinander signifikant beeinflussen. In diesem Fall ist es immer ratsam \u00fcber Post-Hoc-Analysen genauer in die Ergebnisse zu schauen. Zudem h\u00e4ngt die Interpretation der Haupteffekte auch vom Typ der Quadratsummen ab (bei unbalancierten Designs).\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Interpretation Quadratsummen<\/h1>\r\nR berechnet mit der aov<\/em> Funktion standardm\u00e4\u00dfig Typ I Quadratsummen (Sum Sq). Grunds\u00e4tzlich gibt es bei gleichgro\u00dfen Gruppengr\u00f6\u00dfen (wie in diesem Fall) keinen Unterschied zwischen der Verwendung von Typ I, II und III Quadratsummen. Bei ungleichen Gruppengr\u00f6\u00dfen (unbalancierte Designs) h\u00e4ngt die Entscheidung, welchen Quadratsummen-Typ Sie verwenden davon ab, welche Hypothese Sie in Ihrem Forschungsdesign interessiert. Kurz gesagt: Ist vorwiegend der Interaktionseffekt von Interesse sollten Sie Typ III Quadratsummen verwenden. Interessieren Sie eher die Haupteffekte, k\u00f6nnen Typ I Quadratsummen sinnvoller sein.\r\n\r\nUm Typ III Quadratsummen zu erhalten bietet es sich daher an, mit dem afex<\/em> Paket zu arbeiten.\r\n\r\n<\/div>\r\n
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ANOVA mit afex<\/h1>\r\nUm die zweifaktorielle ANOVA mit dem afex<\/em> Paket brauchen wir wieder zun\u00e4chst eine ID Variable (Zwingende Voraussetzung im afex Paket). Diese erzeugen wir nun.\r\n
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bpdata$<\/span>ID <-<\/span> c<\/span>(1<\/span>:<\/span>20<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n.\r\nDann k\u00f6nnen wir die ANOVA berechnen. Die Notation entspricht dabei der einfaktoriellen ANOVA afex<\/em> Paket, nur dass wieder nach der Logik \u201cAV~UV1*UV2\u201d die zweite unabh\u00e4ngige Variable aufgenommen wird.\r\n
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ANOVA2A <-<\/span> aov_car<\/span>(bloodpressure ~<\/span> biofeedback*<\/span>drug+<\/span>Error<\/span>(ID), data=<\/span>bpdata)<\/span>\r\n## Contrasts set to contr.sum for the following variables: biofeedback, drug<\/span><\/span>\r\nsummary<\/span>(ANOVA2)<\/span>\r\n##                  Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   <\/span><\/span>\r\n## biofeedback       1    500   500.0    8.00 0.01211 * <\/span><\/span>\r\n## drug              1    720   720.0   11.52 0.00371 **<\/span><\/span>\r\n## biofeedback:drug  1    320   320.0    5.12 0.03792 * <\/span><\/span>\r\n## Residuals        16   1000    62.5                   <\/span><\/span>\r\n## ---<\/span><\/span>\r\n## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nWie Sie sehen ergibt sich hier kein Unterschied der Quadratsummen, da ein balanciertes Design vorliegt (Alle Gruppen sind gleich gro\u00df).\r\n\r\nUm nun die Effekte besser zu verstehen ist es notwendig, Post-Hoc-Analysen durchzuf\u00fchren.\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Post-Hoc-Analyse<\/h1>\r\nUm paarweise t-Tests mit Bonferroni-Korrektur durchzuf\u00fchren, m\u00fcssten Sie die Daten zun\u00e4chst in das Long-Format umwandeln. Hier ist der Tukey HSD-Test die einfachere Wahl, da dieser auch mit Daten im Wide-Format funktioniert.\r\n
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TukeyHSD<\/span>(ANOVA2) <\/span>\r\n##   Tukey multiple comparisons of means<\/span><\/span>\r\n##     95% family-wise confidence level<\/span><\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n## Fit: aov(formula = bloodpressure ~ biofeedback * drug, data = bpdata)<\/span><\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n## $biofeedback<\/span><\/span>\r\n##                diff     lwr       upr     p adj<\/span><\/span>\r\n## present-absent  -10 -17.495 -2.505003 0.0121093<\/span><\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n## $drug<\/span><\/span>\r\n##                diff     lwr       upr     p adj<\/span><\/span>\r\n## present-absent  -12 -19.495 -4.505003 0.0037059<\/span><\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n## $`biofeedback:drug`<\/span><\/span>\r\n##                                diff      lwr       upr     p adj<\/span><\/span>\r\n## present:absent-absent:absent     -2 -16.3051 12.305099 0.9775889<\/span><\/span>\r\n## absent:present-absent:absent     -4 -18.3051 10.305099 0.8534038<\/span><\/span>\r\n## present:present-absent:absent   -22 -36.3051 -7.694901 0.0022719<\/span><\/span>\r\n## absent:present-present:absent    -2 -16.3051 12.305099 0.9775889<\/span><\/span>\r\n## present:present-present:absent  -20 -34.3051 -5.694901 0.0051230<\/span><\/span>\r\n## present:present-absent:present  -18 -32.3051 -3.694901 0.0115535<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nWie Sie sehen sind die Paarvergleiche hier recht un\u00fcbersichtlich, jedoch lassen sich schnell erste Tendenzen erkennen. Bei allen drei signifikanten Paarvergleichen steht \u201cpresent:present\u201d. Dies bedeutet, dass sich diese Gruppe mit smartwatch (biofeedback) und Medikament (drug) signifikant von allen anderen drei Gruppen unterscheidet. Um dies noch klarer zu sehen, hilft uns ein sogenannter Interaktionsplot.\r\n\r\n<\/div>\r\n
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Interaktionsplot<\/h1>\r\nEin Interaktionsdiagramm ist eine grafische Darstellung der Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen in einem Datensatz, bei der die Auswirkung einer Variablen auf die andere durch die Steigung der gezeichneten Linien dargestellt wird. Interaktionsdiagramme werden verwendet, um Wechselwirkungen zwischen Vorhersagevariablen zu identifizieren und zu visualisieren.\r\n
    \r\n \t
  • Parallele Linien in einem Interaktionsdiagramm deuten darauf hin, dass es keine Interaktion zwischen den aufgezeichneten Variablen gibt. Das bedeutet, dass die Auswirkung der einen Variablen auf die andere Variable \u00fcber die Niveaus der anderen Variablen hinweg konstant ist.<\/li>\r\n \t
  • Sich kreuzende Linien in einem Interaktionsdiagramm deuten darauf hin, dass es eine Interaktion zwischen den dargestellten Variablen gibt. Dies bedeutet, dass die Wirkung einer Variablen auf die andere Variable \u00fcber die Niveaus der anderen Variablen hinweg nicht konstant ist und dass die Beziehung zwischen den Variablen nicht linear ist.<\/li>\r\n \t
  • Die Steigung der Linien in einem Interaktionsdiagramm kann ebenfalls wichtige Informationen \u00fcber die Beziehung zwischen den Variablen liefern. Eine steilere Neigung deutet auf eine st\u00e4rkere Beziehung zwischen den Variablen hin, w\u00e4hrend eine flachere Neigung auf eine schw\u00e4chere Beziehung hindeutet.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nEs ist wichtig zu beachten, dass die Interpretation der Linien in einem Interaktionsdiagramm unter Ber\u00fccksichtigung des Kontexts der Daten und der Forschungsfrage vorgenommen werden sollte. Die Linien k\u00f6nnen je nach der spezifischen Situation und den aufgezeichneten Variablen unterschiedlich interpretiert werden.\r\n\r\nWir generieren einen Interaktionsplot, dem Paket phia<\/em> und der Funktion interactionMeans()<\/em>. Dabei nutzen wir die plot()<\/em> Funktion.\r\n
    \r\n
    plot<\/span>(interactionMeans<\/span>(ANOVA2))<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\nAlternativ der Interaktionsplot aus dem afex<\/em> Paket:\r\n
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    afex_plot<\/span>(ANOVA2A,dv=<\/span>\"bloodpressure\"<\/span>,x=<\/span>\"biofeedback\"<\/span>, trace=<\/span>\"drug\"<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\nWie in den Interaktionsplots recht einfach zu sehen ist unterscheidet sich die Gruppe, die beides verwendet hat (\u201cbiofeedback\u201d und \u201cdrug\u201d), signifikant von den \u00fcbrigen drei Gruppen (die sich jeweils nicht unterscheiden). Das bedeutet, dass nur Patienten, die beides verwenden, eine sig. Absenkung des Blutdrucks erfahren. Die beiden Haupteffekte sind daher hinf\u00e4llig: Alleine haben sowohl die Smartwatch (\u201cbiofeedback\u201d) als auch das Medikament (\u201cdrug\u201d) keine sig. Wirkung. Die reine Interpretation der Haupteffekte h\u00e4tte uns also hier zu einem falschen Ergebnis gef\u00fchrt. Dies resultiert aus der Tatsache, dass die Haupteffekte nicht den einzelnen Effekt eines Faktors ber\u00fccksichtigen, sondern den Mittelwert des Effekts mit und ohne den anderen Faktor. Der Haupteffekt zur Smartwatch (\u201cbiofeedback\u201d), ber\u00fccksichtigt also sowohl die Situation mit und ohne Medikament (drug) und umgekehrt. Wird der Interaktionseffekt signifikant, lohnt es sich also immer genauer hinzusehen und Post-Hoc-Analysen durchzuf\u00fchren.\r\n\r\nIn diesem Video zeige ich, wie das in R funktioniert:\r\n
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