{"id":1753,"date":"2023-04-12T14:33:44","date_gmt":"2023-04-12T12:33:44","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/?post_type=chapter&p=1753"},"modified":"2023-11-17T09:36:59","modified_gmt":"2023-11-17T08:36:59","slug":"einfaktorielle-anova-one-way-independent-anova-mit-r","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/einfaktorielle-anova-one-way-independent-anova-mit-r\/","title":{"rendered":"Einfaktorielle ANOVA mit R (One-Way Independent ANOVA)"},"content":{"raw":"

Einfaktorielle ANOVA (One-Way Independent ANOVA)<\/h1>\r\nDie einfaktorielle unabh\u00e4ngige ANOVA (Auch One-Way Independent ANOVA) ist eine statistische Methode zum Vergleich der Mittelwerte mehrerer Gruppen. Hierbei werden die Mittelwerte einer Variablen (abh\u00e4ngige Variable) zwischen verschiedenen Gruppen (unabh\u00e4ngige Variable) verglichen. Sie ist damit eine Alternative zum t-Test, welcher nur zwei Gruppenmittelwerte vergleichen kann.\r\n\r\nDie einfaktorielle unabh\u00e4ngige ANOVA wird sehr h\u00e4ufig in der Praxis eingesetzt. Nehmen wir beispielsweise an, ein Forscher ist daran interessiert, die Wirksamkeit einer neuen Lehrmethode auf die Sch\u00fclerleistungen zu bewerten. Der Forscher teilt die Sch\u00fcler nach dem Zufallsprinzip einer von drei Gruppen zu: einer Kontrollgruppe (traditionelle Lehrmethode), einer Versuchsgruppe 1 (neue Lehrmethode 1) und einer Versuchsgruppe 2 (neue Lehrmethode 2). Anschlie\u00dfend misst der Forscher die Leistungen der Sch\u00fcler anhand eines standardisierten Tests. Die Ergebnisse zeigen, dass die Kontrollgruppe eine mittlere Testpunktzahl von 75, die Versuchsgruppe 1 eine mittlere Testpunktzahl von 80 und die Versuchsgruppe 2 eine mittlere Testpunktzahl von 85 erreicht.\r\n\r\nMit Hilfe einer einseitigen unabh\u00e4ngigen ANOVA kann nun festgestellt werden, ob es einen signifikanten Unterschied zwischen den Mittelwerten der drei Gruppen gibt. Die Nullhypothese lautet, dass es keinen Unterschied zwischen den Mittelwerten der Gruppen gibt, w\u00e4hrend die Alternativhypothese lautet, dass es einen Unterschied zwischen den Mittelwerten der Gruppen gibt.\r\n
\r\n

Schritt 1 Vorbereitung<\/h1>\r\nNotwendige Pakete Laden:\r\n
\r\n
library<\/span>(foreign)<\/span>\r\nlibrary<\/span>(car)<\/span>\r\nlibrary<\/span>(psych)<\/span>\r\nlibrary<\/span>(afex)<\/span>\r\nlibrary<\/span>(phia)<\/span>\r\nlibrary<\/span>(emmeans)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nWissenschaftliche Notation ausschalten (Ausser Sie m\u00f6gen e+10 Notationen :-) )\r\n
\r\n
options<\/span>(scipen =<\/span> 999<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nGrunds\u00e4tzlich empfiehlt sich f\u00fcr die Durchf\u00fchrung der ANOVA folgendes Vorgehen:\r\n
    \r\n \t
  1. Eingabe \/ Import der Daten<\/li>\r\n \t
  2. Daten untersuchen mit deskriptiven Statistiken (Mittelwerte, Grafiken erzeugen)<\/li>\r\n \t
  3. Voraussetzungen pr\u00fcfen (insb. Skalen & Varianzhomogenit\u00e4t, ggf. Normalit\u00e4t der AV in den Gruppen, wobei die ANOVA relativ robust gegen Verletzungen der Normalit\u00e4t ist)<\/li>\r\n \t
  4. ANOVA durchf\u00fchren<\/li>\r\n \t
  5. Kontraste oder Post-Hoc Tests durchf\u00fchren bzw. berechnen<\/li>\r\n<\/ol>\r\nNehmen wir als Beispiel wieder an, Sie wollen die Wirksamkeit der Wunderpille testen. Dies haben wir im vorausgegangenen Kapitel mit einem t-Test gemacht. Nun wollen wir die Hypothese testen, dass zwei Pillen ein noch wirksameres Mittel sind, um die Trinkfestigkeit zu steigern.\r\n\r\nSie schicken dieses Mal drei Gruppen von je 10 Personen auf den Cannstatter Wasen (unabh\u00e4ngiges Versuchsdesign mit 3 Gruppen):\r\n
      \r\n \t
    • Kontrollgruppe<\/li>\r\n \t
    • Gruppe, die eine Pille nimmt<\/li>\r\n \t
    • Gruppe, die zwei Pillen nimmt<\/li>\r\n<\/ul>\r\nDaten einlesen:\r\n
      \r\n
      Trinkfestigkeit<-<\/span>read.csv2<\/span>(file=<\/span>\"Trinkfestigkeit.csv\"<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
      \r\n
      Schritt 2 Deskriptive Unterschiede<\/h1>\r\nGibt es einen signifikanten Unterschied zwischen den 3 Gruppen? Das schauen wir uns dies zun\u00e4chst deskriptiv an und erzeugen einen Boxplot.\r\n
      \r\n
      boxplot<\/span>(Trinkfestigkeit$<\/span>ohnePille,Trinkfestigkeit$<\/span>mitPille,Trinkfestigkeit$<\/span>mit2Pillen, <\/span>\r\n        names=<\/span>c<\/span>(\"ohne Pille\"<\/span>,\"Mit Pille\"<\/span>, \"Mit 2 Pillen\"<\/span>))<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n\r\n\r\nWie man sieht, unterscheidet sich vor allem der Median ohne Pille deutlich von den anderen beiden Werten. Die Streuung scheint jedoch bei der Gruppe mit zwei Pillen am gr\u00f6\u00dften zu sein.\r\n\r\n<\/div>\r\n
      \r\n
      Schritt 3 Voraussetzungen pr\u00fcfen<\/h1>\r\nBei der einseitigen unabh\u00e4ngigen ANOVA werden mehrere Annahmen \u00fcber die zu analysierenden Daten getroffen. Zu diesen Annahmen geh\u00f6ren:\r\n
        \r\n \t
      • Unabh\u00e4ngigkeit: Die Beobachtungen in jeder Gruppe sind unabh\u00e4ngig voneinander. Dies ist hier gegeben, da es drei unterschiedliche Gruppen sind.<\/li>\r\n \t
      • Skalenniveau: Die abh\u00e4ngige Variable muss metrisch skaliert sein. Dies ist hier gegeben (Menge in ml)<\/li>\r\n \t
      • Gleiche Varianzen: Die Varianzen der Grundgesamtheiten, aus denen die Stichproben gezogen werden, sind gleich. Dies pr\u00fcfen wir nun mit dem Levene-Test.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nHinweis zur Normalit\u00e4t: In \u00e4lteren Statistik-B\u00fcchern wird auch empfohlen auf Normalit\u00e4t der Residuen (seltener, der Daten) zu pr\u00fcfen. Da die ANOVA jedoch relativ robust gegen Verletzungen der Normalit\u00e4t ist, wird diese Voraussetzung in der Regel heute nicht mehr gepr\u00fcft.\r\n\r\nPr\u00fcfen der Varianzhomogenitaet<\/strong>\r\n\r\nDa der Levene-Test nur Daten im Long-Format akzeptiert, wandeln wir die Daten zun\u00e4chst in das Long-Format um.\r\n
        \r\n
        Trink.long <-<\/span> stack<\/span>(Trinkfestigkeit)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nNehmen wir uns die Zeit und benennen die Variablen\r\n
        \r\n
        colnames<\/span>(Trink.long) <-<\/span> c<\/span>(\"Menge\"<\/span>,\"Gruppe\"<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nSo sehen die Daten nun im Long-Format aus.\r\n
        \r\n
        head<\/span>(Trink.long)<\/span>\r\n##   Menge    Gruppe<\/span><\/span>\r\n## 1   950 ohnePille<\/span><\/span>\r\n## 2  1540 ohnePille<\/span><\/span>\r\n## 3  2450 ohnePille<\/span><\/span>\r\n## 4  2650 ohnePille<\/span><\/span>\r\n## 5  1320 ohnePille<\/span><\/span>\r\n## 6   910 ohnePille<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nNun f\u00fchren wir den Test auf Varianzhomogenitaet durch. Die Argumente kennen Sie bereits aus dem Kapitel zum t-Test.\r\n
        \r\n
        leveneTest<\/span>(Menge ~<\/span> Gruppe, data=<\/span>Trink.long) <\/span>\r\n## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)<\/span><\/span>\r\n##       Df F value Pr(>F)<\/span><\/span>\r\n## group  2  2.1436 0.1368<\/span><\/span>\r\n##       27<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
        \r\n
        Schritt 3 ANOVA durchf\u00fchren<\/h1>\r\nUm eine einseitige ANOVA in R durchzuf\u00fchren, k\u00f6nnen Sie die Funktion aov()<\/em> verwenden. Die grundlegende Syntax f\u00fcr diese Funktion lautet wie folgt: aov(y ~ x, Daten)<\/em> wobei y die abh\u00e4ngige Variable, x die unabh\u00e4ngige Variable (Gruppierungsvariable) und Daten der Datensatz ist.\r\n\r\nWenden wir dies nun auf unsere Daten an. Bei der Varianzanalyse, als auch sp\u00e4ter bei Regressionsmodellen, ist es sinnvoll, diese in einem neuen Objekt zu speichern. Sie k\u00f6nnen hier selbst einen Namen vergeben. In diesem Beispiel nennen wir das Objekt \u201cANOVA1\u201d\r\n
        \r\n
        ANOVA1 <-<\/span> aov<\/span>(Menge ~<\/span> Gruppe, data=<\/span>Trink.long)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nNun schauen wir uns die Ergebnisse der ANOVA an. Hierzu nutzen wir die summary()<\/em> Funktion und wenden diese auf unser Objekt an.\r\n
        \r\n
        summary<\/span>(ANOVA1)<\/span>\r\n##             Df   Sum Sq  Mean Sq F value  Pr(>F)   <\/span><\/span>\r\n## Gruppe       2 29481007 14740503   5.705 0.00858 **<\/span><\/span>\r\n## Residuals   27 69762730  2583805                   <\/span><\/span>\r\n## ---<\/span><\/span>\r\n## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nWenn Sie die Funktion summary() auf ein einseitiges ANOVA-Objekt anwenden, liefert die Ausgabe mehrere wichtige Informationen, die f\u00fcr die Interpretation der Testergebnisse n\u00fctzlich sind.\r\n\r\nBetrachten wir zun\u00e4chst die erste Zeile \u201cGruppe\u201d, hier erhalten wir folgende Informationen:\r\n
          \r\n \t
        • Df: Freiheitsgrade. Dies ist die Anzahl der Beobachtungen, die in der Analyse frei variieren k\u00f6nnen.<\/li>\r\n \t
        • Sum Sq: Summe der Quadrate. Sie ist ein Ma\u00df f\u00fcr die Gesamtvariation in den Daten.<\/li>\r\n \t
        • Mean Sq: Mittlere Quadrate. Es ist das Verh\u00e4ltnis der Summe der Quadrate zu den Freiheitsgraden. Diese wird verwendet, um das F-Verh\u00e4ltnis zu berechnen, das das Verh\u00e4ltnis der Varianz zwischen den Gruppen zur Varianz innerhalb der Gruppen darstellt.<\/li>\r\n \t
        • F-Wert: Der berechnete F-Wert aus dem ANOVA-Test.<\/li>\r\n \t
        • Pr(>F): Der p-Wert. Er gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Mittelwertunterschied auf einen Zufall zur\u00fcckzuf\u00fchren ist. Ein p-Wert von weniger als 0,05 wird im Allgemeinen als statistisch signifikant angesehen.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nIn der zweiten Zeile \u201cResiduals\u201d werden die Differenzen zwischen den beobachteten Werten (den tats\u00e4chlichen Testergebnissen) und den vorhergesagten Werten (den Testergebnissen, die zu erwarten w\u00e4ren, wenn die Nullhypothese wahr w\u00e4re) angezeigt. Diese Residuen werden zur Berechnung der gruppeninternen Varianz verwendet, die ein Ma\u00df f\u00fcr die Variation innerhalb jeder Gruppe ist.\r\n\r\nIn der letzen Zeile werden die Signifikanzcodes erl\u00e4utert. Dies ist nur eine Legende und daher immer gleich. Signifikanzcodes werden verwendet, um die Signifikanz der Ergebnisse schnell zu erkennen. Liegt der p-Wert beispielsweise unter 0,05, wird er mit \u201c*\u201d angegeben, was auf einen signifikanten Unterschied der Mittelwerte zwischen den Gruppen hinweist. .\r\n\r\nIn diesem Fall wird die ANOVA signifikant, das bedeutet, dass sich mindestens zwei Gruppen signifikant unterscheiden. Bei der Interpretation der Ergebnisse einer einseitigen unabh\u00e4ngigen ANOVA ist zu beachten, dass ein signifikanter Unterschied in den Mittelwerten nicht unbedingt bedeutet, dass sich alle Gruppen unterscheiden. Es bedeutet lediglich, dass ein signifikanter Unterschied in den Mittelwerten mindestens bei zwei untersuchten Gruppen besteht. Daher m\u00fcssen wir im n\u00e4chsten Schritt noch eine sogenannte Post-Hoc Analyse durchf\u00fchren, um zu ermitteln, zwischen welchen der drei Gruppen signifikante Unterschiede bestehen.\r\n\r\nHinweis zur Verletzung der Voraussetzungen:\r\n\r\nWenn die Voraussetzung der Varianzhomogenit\u00e4t verletzt ist (also Varianzheterogenit\u00e4t vorliegt) kann eine ANOVA mit der oneway.test<\/em> Funktion durchgef\u00fchrt werden. Diese beinhaltet eine Welch-Korrektur.\r\n
          \r\n
          oneway.test<\/span>(Menge ~<\/span> Gruppe, data=<\/span>Trink.long)<\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n##  One-way analysis of means (not assuming equal variances)<\/span><\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n## data:  Menge and Gruppe<\/span><\/span>\r\n## F = 7.8096, num df = 2.000, denom df = 16.775, p-value =<\/span><\/span>\r\n## 0.004007<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nIn diesem Video zeige ich, wie das in R funktioniert:\r\n
          \r\n