{"id":1746,"date":"2023-04-12T14:26:55","date_gmt":"2023-04-12T12:26:55","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/?post_type=chapter&p=1746"},"modified":"2025-11-05T08:45:58","modified_gmt":"2025-11-05T07:45:58","slug":"mittelwertsvergleiche-mit-r","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/mittelwertsvergleiche-mit-r\/","title":{"rendered":"Mittelwertsvergleiche mit R"},"content":{"raw":"

Mittelwertsvergleiche<\/h1>\r\n
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Vorbereitung<\/h1>\r\nDatensatz einlesen\r\n
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load<\/span>(\"WPStudis.RData\"<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nWir schalten die wissenschaftliche Notation aus, damit uns auch alle Vor- und Nachkommastellen angezeigt werden (Diese werden sonst durch e+10 Notationen abgek\u00fcrzt)\r\n
\r\n
options<\/span>(scipen =<\/span> 999<\/span>)<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n
\r\n
t-Tests f\u00fcr eine Stichprobe<\/h1>\r\nEin t-Test f\u00fcr eine Stichprobe ist ein statistischer Test, mit dem festgestellt werden kann, ob sich der Mittelwert einer Grundgesamtheit von einem bestimmten Wert (meist dem bekannten Mittelwert der Population) unterscheidet. Die Nullhypothese des t-Tests mit einer Stichprobe lautet, dass der Mittelwert der Stichprobe gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit ist. Die Alternativhypothese lautet, dass der Mittelwert der Stichprobe vom Mittelwert der Grundgesamtheit abweicht.\r\n\r\nBeim t-Test wird der berechnete t-Wert mit einem kritischen Wert aus der t-Verteilungstabelle auf der Grundlage des Stichprobenumfangs und des Signifikanzniveaus (Alpha) verglichen. Ist der berechnete t-Wert gr\u00f6\u00dfer als der kritische Wert, deutet dies darauf hin, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit von dem angenommenen Wert abweicht, und die Nullhypothese wird verworfen. Wenn der berechnete t-Wert kleiner als der kritische Wert ist, deutet dies darauf hin, dass sich der Mittelwert der Grundgesamtheit nicht von dem hypothetischen Wert unterscheidet, und die Nullhypothese wird nicht zur\u00fcckgewiesen.\r\n\r\nIn R k\u00f6nnen Sie die Funktion t.test() verwenden, um einen t-Test f\u00fcr eine Stichprobe durchzuf\u00fchren. Sie ben\u00f6tigt mehrere Argumente wie den Datensatz, den Hypothesenwert, die Alternativhypothese und das Signifikanzniveau.\r\n\r\nBeispiel<\/strong>\r\nDie 18- bis 25-j\u00e4hrigen Frauen in Deutschland haben aktuell eine durchschnittliche Gr\u00f6\u00dfe von 166 Zentimetern. Wir wollen pr\u00fcfen, ob sich die weiblichen Studierenden im Datensatz vom Bundesdurchschnitt unterscheiden.\r\n\r\nZun\u00e4chst m\u00fcssen wir die Voraussetzungen pr\u00fcfen. Diese sind im Einstichproben-Fall:\r\n
    \r\n \t
  1. Intervallskalierung. Dies ist bei der Koerpergroesse gegeben<\/li>\r\n \t
  2. Normalverteilung. Diese darf bei n>30 nach dem zentralen Grenzwerttheorem f\u00fcr die Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden.<\/li>\r\n<\/ol>\r\nWir brauchen zun\u00e4chst eine Variable, die nur die weiblichen Studierenden enth\u00e4lt. Hierf\u00fcr nutzen wir die which<\/em> Funktion in der Index Notation (eckige Klammern).\r\n
    \r\n
    WP_Studentinnen <-<\/span> WPStudis$<\/span>F4_Koerpergroesse[which<\/span>(WPStudis$<\/span>F3_Geschlecht==<\/span>\"Weiblich\"<\/span>)]<\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nNun k\u00f6nnen wir den t-Test durchf\u00fchren. Hierzu geben wir als erstes Argument die Variable an, gefolgt von \u201cmu\u201d, das f\u00fcr den Mittelwert der Population steht und dem griechischen \u00b5 (mi) entspicht. Dieser Wert muss bekannt sein, nur dann k\u00f6nnen wir einen t-Test f\u00fcr eine Stichprobe berechnen.\r\n
    \r\n
    t.test<\/span>(WP_Studentinnen, mu=<\/span>166<\/span>)<\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n##  One Sample t-test<\/span><\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n## data:  WP_Studentinnen<\/span><\/span>\r\n## t = 2.3598, df = 76, p-value = 0.02085<\/span><\/span>\r\n## alternative hypothesis: true mean is not equal to 166<\/span><\/span>\r\n## 95 percent confidence interval:<\/span><\/span>\r\n##  166.2553 169.0174<\/span><\/span>\r\n## sample estimates:<\/span><\/span>\r\n## mean of x <\/span><\/span>\r\n##  167.6364<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nDas Ergebnis ist ein t-Wert von 2,36 bei 76 Freiheitsgraden. Diesen Wert k\u00f6nnten Sie mit einem kritischen t-Wert vergleichen, den Sie in einer Tabelle der t-Verteilung finden (z. B. im Anhang unter www.satistikgrundlagen.de). Alternativ und deutlich einfacher ist die Interpretation des p-Werts. Ist der p-Wert kleiner als das gew\u00e4hlte Signifikanzniveau (in der Regel 0,05), k\u00f6nnen Sie die Nullhypothese, dass der Stichprobenmittelwert gleich dem Populations-Mittelwert ist, ablehnen. Da hier der Wert 0,02 ist, k\u00f6nnen wir also sagen, dass sich die weiblichen Studierenden im Datensatz hinsichtlich ihrer K\u00f6rpergr\u00f6\u00dfe signifikant vom Bundesdurchschnitt unterscheiden.\r\n
    Einseitiger t-Test<\/strong><\/h1>\r\nBei einem einseitigen t-Test kann die Alternativhypothese als \u201ckleiner\u201d oder \u201cgr\u00f6\u00dfer\u201d angegeben werden, um die Richtung des Unterschieds zwischen dem Mittelwert der Grundgesamtheit und dem Stichproben-Wert anzugeben.\r\n\r\nWenn die Alternativhypothese als \u201cless\u201d angegeben wird, bedeutet dies, dass angenommen wird, dass der Mittelwert der Stichprobe kleiner ist als der Populations-Wert ist. Wenn die Alternativhypothese mit \u201cgreater\u201d angegeben wird, bedeutet dies, dass der Mittelwert der Stichprobe gr\u00f6\u00dfer als der Populations-Wert angenommen wird. In diesem Fall sucht der Test nach Beweisen daf\u00fcr, dass der Mittelwert der Stichprobe h\u00f6her ist als der Populations-Wert.\r\n\r\nSie k\u00f6nnen die Alternativhypothese in der t.test()-Funktion von R durch Verwendung des alternative<\/em> Arguments angeben.\r\n\r\nWenn wir die Hypothese testen wollen, ob die WP-Studentinnen gr\u00f6\u00dfer sind als der Bundesdurchschnitt, geht das so:\r\n
    \r\n
    t.test<\/span>(WP_Studentinnen, mu=<\/span>166<\/span>, alternative=<\/span>\"greater\"<\/span>)<\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n##  One Sample t-test<\/span><\/span>\r\n## <\/span><\/span>\r\n## data:  WP_Studentinnen<\/span><\/span>\r\n## t = 2.3598, df = 76, p-value = 0.01043<\/span><\/span>\r\n## alternative hypothesis: true mean is greater than 166<\/span><\/span>\r\n## 95 percent confidence interval:<\/span><\/span>\r\n##  166.4817      Inf<\/span><\/span>\r\n## sample estimates:<\/span><\/span>\r\n## mean of x <\/span><\/span>\r\n##  167.6364<\/span><\/span><\/code><\/pre>\r\n<\/div>\r\nDer p-Wert des einseitigen Tests entspricht dem halben p-Wert des zweiseitigen Tests. Daher \u00e4ndert sich nichts an der Interpretation des Tests (siehe oben)\r\n\r\nEinseitige Tests sollten jedoch fundiert theoretisch begr\u00fcndet sein. Im Zweifel sollten Sie daher immer einen zweiseitigen Test durchf\u00fchren.\r\n\r\nIn diesem Video zeige ich, wie das in R funktioniert:\r\n
    \r\n