{"id":1627,"date":"2022-03-03T22:09:30","date_gmt":"2022-03-03T21:09:30","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/?post_type=chapter&p=1627"},"modified":"2022-10-11T20:09:53","modified_gmt":"2022-10-11T18:09:53","slug":"multiple_regression_","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/multiple_regression_\/","title":{"rendered":"Multiple Regression"},"content":{"raw":"

18.0 Einf\u00fchrung Multiple Regression<\/h1>\r\nIn Kapitel 5<\/a> haben Sie bereits die bivariate Regression kennengelernt. Diese basiert auf einem linearen Zusammenhang zwischen einem Pr\u00e4diktor (unabh\u00e4ngige Variable) und einer abh\u00e4ngigen Variable. Beispielsweise k\u00f6nnen wir durch eine bivariate Regression die Produktbewertung f\u00fcr einen Burger durch die Geschmacksbewertung (Pr\u00e4diktor) vorhersagen. Wie gut unser aufgestelltes Modell ist, sagt uns der Determinationskoeffizient R2<\/sup>, welcher beschreibt, wie viel Varianz der abh\u00e4ngigen Variable durch den Pr\u00e4diktor aufgekl\u00e4rt werden kann.\r\n\r\nNun ist es in in der Praxis so, dass nicht nur ein Faktor, sondern mehrere unabh\u00e4ngige Faktoren eine abh\u00e4ngige Variable beeinflussen k\u00f6nnen und somit auch f\u00fcr ihre Vorhersage in Betracht kommen. So kann die Produktbewertung unseres Burgers nicht nur durch Geschmacks beeinflusst werden, sondern auch durch den Preis oder das \u00e4u\u00dfere Erscheinungsbild. Um diesen vermuteten Zusammenhang zu testen, berechnen wir eine multiple Regression. Diese modelliert einen linearen Zusammenhang (=eine\u00a0 Regressionsgerade) zwischen einer Kriteriumsvariablen und mehreren Pr\u00e4diktoren. Dadurch k\u00f6nnen wir die abh\u00e4ngige Variable nicht nur auf Basis eines Pr\u00e4diktors, sondern mehrerer Pr\u00e4diktoren vorhersagen.\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nZiel der multiplen Regression ist es durch die Aufstellung einer Regressionsgeraden m\u00f6glichst viel Varianz der abh\u00e4ngigen Variable durch die Pr\u00e4diktoren aufkl\u00e4ren zu k\u00f6nnen. Stellt man sich das bildlich vor, so dient jeder Pr\u00e4diktor (z.B. Preis, Geschmack) dazu ein St\u00fcckchen mehr der Varianz in der Produktbewertung des Burgers aufzukl\u00e4ren (dunkelroter Bereich).\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nOft ist es so, dass die Pr\u00e4diktoren nicht vollst\u00e4ndig unabh\u00e4ngig voneinander sind, sondern sich gegenseitig beeinflussen. So auch in unserem Beispiel: Das Auge ist bekanntlich mit und so korrelieren auch unsere beiden Pr\u00e4diktoren \"Aussehen\" und \"Geschmack\" miteinander. Dies ist nicht weiter schlimm, solange sich die Korrelationen zwischen den Pr\u00e4diktoren in Grenzen halten. Jedoch bedeutet dies auch, dass beide Pr\u00e4diktoren eine gemeinsame Varianzaufkl\u00e4rung besitzen, die sich nicht mehr klar einem Pr\u00e4diktor zuordnen l\u00e4sst. Bildlich gesehen \u00fcberlappen sich die dunkelroten Fl\u00e4chen der beiden korrelierenden Pr\u00e4diktoren.\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nDas besondere bei der multiplen Regression ist nun, das wenn Pr\u00e4diktoren untereinander korrelieren, nur die neu hinzukommende aufgekl\u00e4rte Varianz durch den Pr\u00e4diktor ber\u00fccksichtigt wird. So wird lediglich die Varianzaufkl\u00e4rung des dunkelroten Bereichs beim Pr\u00e4diktor \"Aussehen\" ber\u00fccksichtigt.\r\n\r\n17.1 Multiple Regression | Einf\u00fchrung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/NQfLoHNirzk\r\n

18.1 Regressionsgleichung<\/h1>\r\nDurch die multiple Regression k\u00f6nnen wir eine Regressionsgleichung aufstellen, die auf Basis der unabh\u00e4ngigen Pr\u00e4diktoren die abh\u00e4ngige Variable sch\u00e4tzt. Diese Gleichung basiert auf der selben Struktur wie die bivariate Regression (Kapitel 5<\/a>).\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nDa bei der multiplen Regression mehr als nur ein Pr\u00e4diktor betrachtet wird, muss die obenstehende Formel um die weiter hinzukommenden Pr\u00e4diktoren erg\u00e4nzt werden. Diese werden in der Regressionsgleichung hintereinander aufaddiert und bilden so die gemeinsame Sch\u00e4tzung f\u00fcr die abh\u00e4ngige Variable.\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nF\u00fcr unser oben gennanntes Beispiel ergibt sich somit folgende Regressionsgleichung:\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nIm Unterschied zur bivariaten Regressionsgleichung gibt es bei der multiplen Regression f\u00fcr jeden einzelnen Pr\u00e4diktor zwei m\u00f6gliche Regressionsgewichte - das unstandardisierte Regressionsgewicht b<\/strong> und das standardisierte Regressionsgewicht \u03b2<\/strong> (beta). Das unstandardisierte Regressionsgewicht b kennen Sie bereits aus Kapitel 5. Es beschreibt die Steigung der Geraden und ist inhaltlich interpretierbar. Beispielsweise hat unser Pr\u00e4diktor \"Preis\" ein b=-1,5. In diesem Fall sinkt die Produktbewertung unseres Burgers (AV) um 1,5 Bewertungspunkte mit jedem Euro, welcher beim Preis des Burgers hinzukommt. Das unstandardisierte Regressionsgewicht b hat jedoch einen zentralen Nachteil: Wenn die Pr\u00e4diktoren auf unterschiedlichen Skalen erfasst werden (bspw. ein Pr\u00e4diktor in \u20ac und ein anderer Pr\u00e4diktor auf einer Likert-Skala), k\u00f6nnen wir die Regressionsgewichte mehr nicht miteinander vergleichen. Wir wissen nicht, welcher der Pr\u00e4diktoren nun den gr\u00f6\u00dften Einfluss auf die abh\u00e4ngige Variable hat. Um dieses Problem zu l\u00f6sen, m\u00fcssen wir unsere Regressionsgewichte an der Standardabweichung standardisieren. So sind sie zwar inhaltlich nicht mehr interpretierbar, jedoch besitzen sie nun ein fest definierten Wertebereich, welcher sich von -1 bis +1 erstreckt. Dadurch lassen sich die \u03b2-Gewichte \u00fcber alle Pr\u00e4diktoren hinweg vergleichen und wir k\u00f6nnen zum Beispiel sehr einfach ablesen, welcher Pr\u00e4diktor den gr\u00f6\u00dften Einfluss hat.\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n\r\n
<\/td>\r\nWertebereich<\/strong><\/td>\r\nEigenschaften<\/strong><\/td>\r\n<\/tr>\r\n
unstandardisiertes Regressionsgewicht b<\/td>\r\nabh\u00e4ngig von gew\u00e4hlter Skala<\/td>\r\n\r\n
    \r\n \t
  • inhaltlich interpretierbar<\/li>\r\n \t
  • zwischen Pr\u00e4diktoren vergleichbar, wenn diese auf der selben Skala gemessen werden<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/td>\r\n<\/tr>\r\n
standardisiertes Regressionsgewicht \u03b2<\/td>\r\n[-1, +1]<\/td>\r\n\r\n