{"id":1517,"date":"2021-12-11T11:01:43","date_gmt":"2021-12-11T10:01:43","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/?post_type=chapter&#038;p=1517"},"modified":"2025-08-07T14:47:35","modified_gmt":"2025-08-07T12:47:35","slug":"einfaktorielle-varianzanalyse_und_anova","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/einfaktorielle-varianzanalyse_und_anova\/","title":{"rendered":"Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)"},"content":{"raw":"<h1>16.0 Einf\u00fchrung Varianzanalyse<\/h1>\r\nMit Hilfe der Varianzanalyse k\u00f6nnen wir herausfinden, ob sich die Mittelwerte von 3 oder mehr Gruppen signifikant voneinander unterscheiden. Sie beantwortet damit die selbe Fragestellung wie der t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben, den Sie im letzten Kapitel kennengelernt haben. Dieser kann jedoch im Gegensatz zur Varianzanalyse nur die Mittelwerte von zwei Gruppen vergleichen. W\u00fcrden wir mit dem t-Test versuchen mehrere Gruppen auf Unterschiede pr\u00fcfen in dem wir alle Gruppen paarweise vergleichen w\u00e4re es deutlich schwieriger einen signifikanten Effekt zu finden, da man hierbei eine Korrektur durchf\u00fchren muss (dazu sp\u00e4ter mehr bei den Post-Hoc Verfahren). Die Varianzanalyse umgeht diese Problematik durch den Vergleich von Varianzanteilen, daher auch der Name Varianzanalyse oder englisch ANOVA (Analysis of Variance). Wie das genau funktioniert schauen wir uns nun gemeinsam an.\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">M\u00f6gliche Fragestellungen, die mithilfe der Varianzanalyse beantwortet werden:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<ul>\r\n \t<li>Gibt es einen Unterschied in der Zahlungsbereitschaft zwischen unseren 4 verschiedenen Burger-Sorten?<\/li>\r\n \t<li>Wird die Attraktivit\u00e4t unseres Logos in gelb, rot oder blau unterschiedlich bewertet?<\/li>\r\n \t<li>\u00a0Gibt es Unterschiede in der Umsatzst\u00e4rke unserer 12 Five Profs Filialen in Deutschland?<\/li>\r\n<\/ul>\r\n&nbsp;\r\n\r\n<\/div>\r\nDas folgende Video bietet Ihnen eine Einf\u00fchrung in die Anwendungsf\u00e4lle der ANOVA.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/z5x8dEewgaA\">15.1 Varianzanalyse (ANOVA) | Einf\u00fchrung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/z5x8dEewgaA\r\n<h1>16.1 Hypothesen<\/h1>\r\nIm Gegensatz zu den bisherigen Testverfahren, die sie bereits kennengelernt haben, testet die Varianzanalyse nur ungerichtete Hypothesen. Das dazugeh\u00f6rige Hypothesenpaar lautet:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Es gibt keinen Unterschied zwischen den einzelnen Gruppen (auch Faktorstufen genannt) auf der abh\u00e4ngigen Variable.\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt mindestens einen Unterschied zwischen den einzelnen Gruppen auf der abh\u00e4ngigen Variable.\r\n\r\nWir k\u00f6nnen also mit Hilfe der Varianzanalyse herausfinden, ob zwischen unseren drei, vier oder mehr Gruppen irgendein Unterschied besteht. Zwischen welchen Gruppen genau dieser Unterschied liegt und, ob es nur einen oder sogar mehrere signifikante Unterschiede gibt, erfahren wir hingegen zun\u00e4chst nicht. Deshalb f\u00fchrt man bei einer signifikanten Varianzanalyse \u00fcblicherweise weitere Verfahren durch, um die genauen Unterschiede zu ermitteln. Dies werden Post-hoc Testungen genannt (da sie danach, also \"Post-hoc\" durchgef\u00fchrt werden). Wenn bereits im Vorhinein gerichtete Hypothesen bestehen, gibt es auch die M\u00f6glichkeit sogenannte geplante Kontraste durchzuf\u00fchren. Dieses betrachten wir an dieser Stelle jedoch nicht weiter.\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Hypothesenbespiele<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n<ol>\r\n \t<li>H<sub>0<\/sub>: Die Zahlungsbereitschaft f\u00fcr unsere 4 Burgersorten ist gleich (\u03bc<sub>1 <\/sub>= \u03bc<sub>2 <\/sub>=\u00a0\u03bc<sub>3 <\/sub>= \u03bc<sub>4<\/sub>).\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt mindestens einen Unterschied in der Zahlungsbereitschaft zwischen unseren 4 Burgersorten.<\/li>\r\n \t<li>H<sub>0<\/sub>: Der Umsatz unserer 12 FiveProfs Filialen ist gleich (\u03bc<sub>1 <\/sub>= \u03bc<sub>2 <\/sub>=\u00a0\u03bc<sub>3 <\/sub>= \u03bc<sub>4 <\/sub>= \u03bc<sub>5 <\/sub>= \u03bc<sub>6 <\/sub>= \u03bc<sub>7 <\/sub>= \u03bc<sub>8\u00a0<\/sub>=\u00a0\u03bc<sub>9 <\/sub>= \u03bc<sub>10 <\/sub>= \u03bc<sub>11 <\/sub>= \u03bc<sub>12<\/sub>)\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt mindestens einen Unterschied im Umsatz in unseren 12 FiveProfs Filialen.<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nDas folgende Video zeigt Ihnen nochmal anhand einiger Beispiele die Hypothesenbildung bei der ANOVA.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/-WQREUiChBM\">15.2 Varianzanalyse (ANOVA) | Hypothesen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/-WQREUiChBM\r\n<h1>16.2 Voraussetzungen<\/h1>\r\nBevor wir eine Varianzanalyse durchf\u00fchren k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir die Voraussetzungen \u00fcberpr\u00fcfen. Bei der ANOVA m\u00fcssen hierf\u00fcr folgende Punkte betrachtet werden:\r\n<ul>\r\n \t<li><strong>intervallskalierte<\/strong> abh\u00e4ngige Variable<\/li>\r\n \t<li>Messwerte m\u00fcssen <strong>unabh\u00e4ngig voneinander<\/strong> sein\r\nSind die Messwerte hingegen nicht unabh\u00e4ngig voneinander (bspw. bei einer Messwiederholung) f\u00fchren wir statt einer ANOVA eine <a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PL5-jNRF4vHYd7kgBorC21JF4zFLq4DGtT\">ANOVA mit Messwiederholung<\/a> durch.<\/li>\r\n \t<li><strong>Normalverteilung<\/strong> der abh\u00e4ngigen Variable in allen Gruppen\r\nDiese Voraussetzung k\u00f6nnen wir entweder graphisch (bspw. durch die Betrachtung eines Histogramms) oder mittels eines Testverfahrens (bspw. Shapiro-Wilk Test, Kolmogorov-Smirnov-Test, Lilliefors) \u00fcberpr\u00fcfen. Die Testverfahren d\u00fcrfen f\u00fcr die Annahme der Normalverteilung nicht signifikant werden.\r\nIst eine Normalverteilung nicht gegeben, reagiert die Varianzanalyse meist sehr robust. Insbesondere, wenn die Gruppen gleich gro\u00df sind und eine Stichprobengr\u00f6\u00dfe von jeweils mehr als 20 Personen aufweisen. Daher wird dieser Voraussetzung in der Praxis weniger Beachtung geschenkt.<\/li>\r\n \t<li><strong>Varianzhomogenit\u00e4t<\/strong> der Gruppen\r\nVarianzhomogenit\u00e4t bedeutet, dass die Streuung in den zu vergleichenden Gruppen vergleichbar gro\u00df ist.\r\nDiese Voraussetzung wird standardm\u00e4\u00dfig \u00fcber den Levene-Test \u00fcberpr\u00fcft. Um die Varianzhomogenit\u00e4t zu unterstellen, darf der Test nicht signifikant werden.\r\nIst hingegen Varianzheterogenit\u00e4t gegeben (der Levene-Test wird signifikant), rechnen wir eine Varianzanalyse mit Welch-Korrektur. Diese wird in SPSS automatisch mit ausgegeben.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/Vci2kgjhya8\">15.3 Varianzanalyse (ANOVA) | Voraussetzungen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/Vci2kgjhya8\r\n<h1>16.3 Grunds\u00e4tzliche Funktionsweise<\/h1>\r\nUm die grunds\u00e4tzliche Funktionsweise der Varianzanalyse zu verstehen, bedienen wir uns eines Beispiels. Stellen Sie sich vor, wir m\u00f6chten den neuen Mitarbeitenden der FiveProfs Kette beibringen, m\u00f6glichst schnell leckere Burger zuzubereiten. Hierf\u00fcr vergleichen wir drei Lernmethoden, die ihnen das Burgerbraten beibringen sollen. 5 Mitarbeitende erhalten eine schriftliche Anleitung, 5 weitere Mitarbeitende lernen die Zubereitung anhand eines Video-Tutorials und weitere 5 Mitarbeitende lernen direkt von einem erfahrenen Kollegen. Nach 3 Tagen wird die Zeit gemessen, die die Mitarbeitenden ben\u00f6tigen, um einen Burger zuzubereiten. Die folgende Grafik zeigen Ihnen die Ergebnisse:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1535 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild5-1024x747.png\" alt=\"\" width=\"471\" height=\"315\" \/>\r\n\r\nUm herauszufinden, ob eine der drei Lernmethoden besser ist wollen wir nun die drei Mittelwerte vergleichen und m\u00fcssen daher beurteilen ob sich die Mittelwerte signifikant voneinander unterscheiden. Die Varianzanalyse bedient sich hierbei einem Trick. Sie untersucht, ob der gesamte Mittelwert \u00fcber alle drei Gruppen (auch Grand Mean genannt) oder die einzelnen Gruppenmittelwerte die erhobenen Daten besser vorhersagen k\u00f6nnen. In unserem Beispiel untersucht die ANOVA somit, ob der Stichprobenmittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 7,13 Minuten<\/span> oder die drei Gruppenmittelwerte (<span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>Anleitung<\/sub>\u00a0= 8,9; <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>Video<\/sub> = 6,5; <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>Mitarbeiter<\/sub> = 6<\/span>) die Zubereitungszeit der Mitarbeitenden besser vorhersagen. Liefern die Gruppenmittelwerte eine bessere Vorhersage bzw. Sch\u00e4tzung, wird die Varianzanalyse signifikant. Die Grundidee der ANOVA ist also recht einfach: <span style=\"color: #000000;\">Wenn die einzelnen Gruppenmittelwerte die echten Werte signifikant besser vorhersagen als der Mittelwert \u00fcber alle Gruppen, dann m\u00fcssen sich die Gruppenmittelwerte auch signifikant voneinander unterscheiden.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1533 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-1024x407.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"407\" \/>\r\n\r\nDas nachfolgende Video zeigt Ihnen die grunds\u00e4tzliche Funktionsweise an einem weiteren Beispiel aus der FiveProfs Kette.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/wWJyzT_GUtc\">15.4 Varianzanalyse (ANOVA) | Grunds\u00e4tzliche Funktionsweise<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/wWJyzT_GUtc\r\n<h1>16.4 Quadratsummen<\/h1>\r\nDoch wie genau findet die Varianzanalyse heraus, welcher Mittelwert die erhobenen Daten besser vorhersagt? Sie betrachtet hierzu, wie der Name schon sagt, unterschiedliche Varianzen. Zur Erinnerung: Die Varianz gibt die mittlere Abweichung jedes einzelnen Wertes vom Mittelwert an. F\u00fcr die Betrachtung der verschiedenen Varianzen werden bei der ANOVA sogenannte <strong>Quadratsummen<\/strong> berechnet. Quadratsummen erh\u00e4lt man, wenn man die Abweichung jedes einzelnen Werts vom Mittelwert quadriert und anschlie\u00dfend aufsummiert. Damit sind Quadratsummen nichts anderes als Varianzen, die nicht an der Anzahl der Werte relativiert werden (Gerne nochmal in Kapitel 2 die Berechnung der Varianz anschauen).\r\n\r\nDie Varianzanalyse vergleicht bei ihrer Betrachtung drei Varianzen: die Gesamtvarianz, Modellvarianz und Fehlervarianz (Auch das haben wir in Kapitel 5 Regression schon einmal besprochen).\r\n<h2>Gesamtvarianz (QS<sub>total<\/sub>)<\/h2>\r\nDie Gesamtvarianz ist ein Ma\u00df f\u00fcr die St\u00e4rke der Abweichung aller Messwerte vom Gesamtmittelwert (Grand Mean). Sie gibt an, wie stark sich die erhobenen Daten insgesamt voneinander unterscheiden. In der Varianzanalyse wird sie durch die gesamte Quadratsumme (QS<sub>total<\/sub>) angegeben und betrachtet. Ihre Formel lautet wie folgt:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1534 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-1024x296.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"296\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">F\u00fcr diese Gesamtvarianz gibt es in der ANOVA zwei m\u00f6gliche Ursachen: systematische und unsystematische Einfl\u00fcsse. Systematische Einfl\u00fcsse beruhen auf unserem zu untersuchenden Effekt. In unserem Beispiel w\u00e4re der systematische Einfluss auf die Streuung der Daten die unterschiedliche Lernmethode, die der jeweilige Mitarbeitende verwendet. Dieser systematisch Einfluss wird in der Vorhersage- oder Modellvarianz betrachtet (QS<sub>zwischen<\/sub>). Unsystematische Einfl\u00fcsse beruhen hingegen auf zuf\u00e4lligen Unterschieden der Versuchsobjekte. Diese Einfl\u00fcsse werden durch die Fehlervarianz (QS<sub>innerhalb<\/sub>) betrachtet. Die Vorhersage- und die Fehlervarianz ergibt zusammen die Gesamtvarianz.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1536 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-1024x428.png\" alt=\"\" width=\"419\" height=\"175\" \/>\r\n<h2><\/h2>\r\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Vorhersagevarianz (QS<sub>zwischen<\/sub>)<\/span><\/h2>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Die Vorhersage- oder Modellvarianz gibt die Varianz zwischen den Gruppenmittelwerten an. Sie wird dadurch berechnet, dass man die Abweichungen der einzelnen Gruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert quadriert und aufsummiert.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1537 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-1024x296.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"296\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Die Quadratsumme ist jedoch abh\u00e4ngig von der Anzahl der Gruppen. Desto mehr es gibt, desto gr\u00f6\u00dfer ist sie. Um ein unabh\u00e4ngiges Ma\u00df f\u00fcr die Varianz zwischen den Gruppenmittelwerten zu erhalten, relativiert man die Quadratsumme mit den zugeh\u00f6rigen Freiheitsgraden df<sub>zwischen.<\/sub> Man erh\u00e4lt die <strong>mittlere Quadratsumme MS<sub>zwischen<\/sub><\/strong> (auch mittleres Abweichungsquadrat genannt).<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1538 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-1024x446.png\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"209\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nIn unserem Beispiel der Zubereitungszeit von Burgern betr\u00e4gt die Quadratsumme zwischen den Gruppen QS<sub>zwischen<\/sub>=24,03. Wir vergleichen 3 verschiedene Lernmethoden.\r\n\r\nWie lautet die mittlere Quadratsumme MS<sub>zwischen<\/sub>?\r\n\r\n<img class=\"alignnone wp-image-1540\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-300x51.png\" alt=\"\" width=\"247\" height=\"42\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch3.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a> &nbsp;<\/h2>\r\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Fehlervarianz (QS<sub>innerhalb<\/sub>)<\/span><\/h2>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Die Fehlervarianz ist der Anteil der Varianz, der auf unsystematischen Einfl\u00fcssen (bspw. unterschiedlicher Ged\u00e4chtnisleistung) beruht. Sie berechnet sich durch die Abweichung der tats\u00e4chlich gemessenen Werten von den jeweiligen Gruppenmittelwerten und beschreibt damit die Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen. Werden die Abweichungen f\u00fcr jeden einzelnen Wert quadriert und aufsummiert, erhalten wir die entsprechende Quadratsumme QS<sub>innerhalb<\/sub>.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1542 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-1024x297.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"297\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Um auch hier ein unabh\u00e4ngiges Ma\u00df f\u00fcr die Streuung innerhalb der Gruppen zu erhalten, relativiert man die Quadratsumme mit Hilfe des entsprechenden Freiheitsgrads df<sub>innerhalb<\/sub>. So erh\u00e4lt man die mittlere Quadratsumme <strong>MS<sub>innerhalb<\/sub><\/strong>.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1544 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-1024x405.png\" alt=\"\" width=\"614\" height=\"243\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nIn unserem Beispiel der Zubereitungszeit von Burgern betr\u00e4gt die Quadratsumme innerhalb der Gruppen QS<sub>innerhalb<\/sub>=17,20. Hierf\u00fcr haben wir die Zubereitungszeit von insgesamt 15 Mitarbeitenden gemessen.\r\n\r\nWie lautet die mittlere Quadratsumme MS<sub>innerhalb<\/sub>?\r\n\r\n<img class=\"alignnone size-medium wp-image-1545\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-300x39.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"39\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2><\/h2>\r\n<h2><span style=\"color: #000000;\">\u00dcbersicht \u00fcber die Quadratsummen<\/span><\/h2>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Die folgende Abbildung zeigt Ihnen nochmals die einzelnen Quadratsummen und ihre Zusammenh\u00e4nge im \u00dcberblick.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1546 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-1024x363.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"363\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Noch nicht ganz klar? Dann bietet das folgende Video die M\u00f6glichkeit die Bedeutung und Berechnung der Quadratsummen anhand eines weiteren Beispiels aus der FiveProfs Kette nachzuvollziehen.<\/span>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/viE1_OmQyco\">15.5 Varianzanalyse (ANOVA) | Quadratsummen und Freiheitsgrade<\/a><\/span>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/viE1_OmQyco\r\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.5 Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe (F-Wert)<\/span><\/h1>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Um nun herauszufinden, ob die Streuung in der Stichprobe auf den Effekt (in unserem Beispiel durch die unterschiedlichen Lernmethoden) oder auf den Zufall zur\u00fcckzuf\u00fchren ist, vergleicht man die Varianz zwischen den Gruppen (Vorhersagevarianz) mit der Varianz innerhalb der Gruppen (Fehlervarianz). Dazu wir der Quotient aus den beiden mittleren Quadratsummen gebildet. Man erh\u00e4lt den <strong>F-Wert<\/strong>, der die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe der Varianzanalyse darstellt (auch das haben wir schon mal recht \u00e4hnlich in Kapitel 5 Regression besprochen).<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1548 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild18-1024x182.png\" alt=\"\" width=\"574\" height=\"51\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Ist der F-Wert &lt; 1, dann ist die relativierte Fehlervarianz (Varianz innerhalb der Gruppen) gr\u00f6\u00dfer als die relativierte Vorhersagevarianz (Varianz zwischen den Gruppen). Ist der F-Wert &gt; 1, dann ist die relative Vorhersagevarianz gr\u00f6\u00dfer als als die relative Fehlervarianz. Im besten Fall ist unser F-Wert somit besonders gro\u00df. Die Streuung der Daten geht in diesem Fall vordergr\u00fcndig auf die Gruppenunterschiede und nicht auf m\u00f6gliche unsystematische Einfl\u00fcsse zur\u00fcck. \u00dcblicherweise werden beim F-Wert noch die beiden eben besprochenen Freiheitsgrade (df) in Klammer mit angegeben.\u00a0<\/span>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nF\u00fcr unser Beispiel lauten die berechneten mittleren Quadratsummen MS<sub>zwischen<\/sub>= 12,01 und MS<sub>innerhalb<\/sub><sub>\u00a0<\/sub>= 1,43. Der daraus resultierende F-Wert ist somit:\r\n\r\n<img class=\"alignnone size-medium wp-image-1549\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-300x49.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"49\" \/>\r\n\r\nUnser erhaltener F-Wert F(2,12) = 8,40 sagt aus, dass der Anteil der relativen Modellvarianz 8,4 mal gr\u00f6\u00dfer ist als die der relativierten Fehlervarianz. Das die Unterschiede in den Daten auf Gruppenunterschiede zur\u00fcckzuf\u00fchren sind, ist somit relativ wahrscheinlich.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Das nachfolgende Video veranschaulicht Ihnen die Berechnung der F-Werts anhand eines weiteren Beispiels.<\/span>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/djz7uzkiS9c\">15.6 Varianzanalyse (ANOVA) | Berechnung_F-Wert<\/a><\/span>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/djz7uzkiS9c\r\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.6 Interpretation des F-Werts<\/span><\/h1>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Desto gr\u00f6\u00dfer der F-Wert ist, desto gr\u00f6\u00dfer ist die Streuung zwischen den einzelnen Gruppen im Vergleich zur Fehlervarianz. Und desto h\u00f6her die Streuung zwischen den Gruppen, desto eher gibt es signifikante Unterschiede zwischen ihnen. Um unsere Nullhypothese ablehnen zu k\u00f6nnen und ein signifikantes Testergebnis zu erhalten, m\u00f6chten wir dementsprechend, dass der F-Wert m\u00f6glichst hoch ist. Doch ab welchem Wert wird der empirisch bestimmter F-Wert F<sub>emp<\/sub> signifikant?<\/span>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Schauen wir uns diesen Sachverhalt graphisch an. Die F-Verteilung gibt an, wie wahrscheinlich ein bestimmter F-Wert ist. Die F-Verteilung kann, wie auch die bereits besprochene Chi-Quadrat-Verteilung nur positive Werte annehmen. Daher beschr\u00e4nkt sich unser Ablehnungsbereich der Nullhypothese nur auf den oberen Bereich der F-Verteilung. Trotz ungerichteter Hypothese wird der Ablehnungsbereich somit nicht in zwei H\u00e4lften aufgeteilt, wie wir es bei anderen Testverfahren kennen.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1550 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild20-1024x510.png\" alt=\"\" width=\"509\" height=\"226\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Um die Nullhypothese ablehnen zu k\u00f6nnen, vergleichen wir unsere empirische Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe F<sub>emp<\/sub> mit der kritischen Ablehnungsgr\u00f6\u00dfe F<sub>krit<\/sub>. Wenn F<sub>emp <\/sub>&gt; F<sub>krit<\/sub>, k\u00f6nnen wir die Nullhypothese ablehnen. Die kritischen Werte finden Sie in einer Tabelle, die diese Werte f\u00fcr die F-Verteilung abbildet (diese finden Sie zum Beispiel im Anhang dieses Buchs). \u00c4hnlich wie bei der Chi-Quadrat-Verteilung m\u00fcssen wir um die Tabelle interpretieren zu k\u00f6nnen die Freiheitsgrade ber\u00fccksichtigen. Nur in diesem Fall nicht nur einen Freiheitsgrad sondern zwei: Die Tabelle ist nach Z\u00e4hler- (df<sub>zwischen<\/sub>) und Nenner-Freiheitsgrad (df<sub>innerhalb<\/sub>) unterteilt. Um den richtigen kritischen F-Wert zu finden, m\u00fcssen Sie unter den entsprechenden Freiheitsgraden ihr selbstgew\u00e4hltes Signifikanzniveau w\u00e4hlen.<\/span>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nUm herauszufinden, ob sich die 3 Lernmethoden f\u00fcr die Burgerzubereitung signifikant unterscheiden, vergleichen wir unseren empirischen F-Wert F<sub>emp\u00a0<\/sub>= 8,40 mit einem gew\u00e4hlten Signifikanzniveau von \u03b1 = 5%. Um den richtigen Wert in der Tabelle zu finden, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst unsere Freiheitsgrade berechnen:\r\n\r\n<img class=\"alignnone size-medium wp-image-1551\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-300x44.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"44\" \/>\r\n\r\nAnschlie\u00dfend suchen wir den entsprechenden kritischen F-Wert in der Tabelle f\u00fcr das Signifikanzniveau \u03b1 = 5%.\r\n\r\nWir erhalten einen kritischen F-Wert von F<sub>krit<\/sub>=3,885.\r\n\r\nDa F<sub>emp<\/sub> &gt; F<sub>krit<\/sub>, kann die Nullhypothese abgelehnt werden. Zwischen den 3 Lernmethoden gibt es mindestens einen signifikanten Unterschied in der Burgerbratzeit.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1552 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild22-1024x521.png\" alt=\"\" width=\"487\" height=\"243\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Das nachfolgende Video erkl\u00e4rt Ihnen an einem Beispiel, wie Sie den richtigen F-Wert in den Tabellen finden und zeigt Ihnen zudem die Interpretation des zugeh\u00f6rigen SPSS Outputs.<\/span>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/tpvncnsujas\">15.7 Varianzanalyse (ANOVA) | Interpretation<\/a><\/span>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/tpvncnsujas\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Noch nicht genug? Das folgende Video gibt ein weiteres Beispiel f\u00fcr die Durchf\u00fchrung der Varianzanalyse.<\/span>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/9Z42r8OWaDU\">15.8 Varianzanalyse (ANOVA) | Weiteres Beispiel<\/a><\/span>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/9Z42r8OWaDU\r\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.7 Post-hoc-Verfahren<\/span><\/h1>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Wenn die Varianzanalyse signifikant wird, wissen wir, dass zwischen den betrachteten Gruppen mindestens ein signifikanter Unterschied besteht. Zwischen welchen Gruppen genau dieser Unterschied liegt und ob es nur einen oder sogar mehrere signifikante Unterschiede gibt, erfahren wir hingegen nicht. Deshalb f\u00fchrt man nach der Varianzanalyse anschlie\u00dfend Post-hoc-Verfahren durch, die die Unterschiede zu lokalisieren.<\/span>\r\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Multiple t-Tests mit Bonferroni Korrektur<\/span><\/h2>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Eine M\u00f6glichkeit herauszufinden, zwischen welchen Gruppen ein signifikanter Unterschied besteht, ist die Durchf\u00fchrung von multiplen t-Tests. Da wir wir jedoch bei diesen t-Tests immer wieder die selben Gruppen gegeneinander testen, ist die Voraussetzung der unabh\u00e4ngigen Stichproben verletzt. Der \u03b1-Fehler (bspw. 5%) steigt hierdurch automatisch an. Man spricht auch von \u03b1-Fehler-Kumulation. Um dem zu entgegnen, f\u00fchren wir eine Korrektur des \u03b1-Fehlers durch.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1553 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-1024x97.png\" alt=\"\" width=\"718\" height=\"68\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Unseren empirischen p-Wert vergleichen wir anschlie\u00dfend mit dem eben berechneten korrigierten \u03b1-Fehler, welchen wir als neues Signifikanzniveau ansetzen. Ist der empirische p-Wert kleiner als der \u03b1<sub>korrigiert\u00a0<\/sub>, liegt ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen vor.<\/span>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Nachteil der multiplen t-Tests ist die verringerte Testst\u00e4rke. Durch den korrigierten \u03b1-Fehler ist es deutlich schwerer ein signifikantes Ergebnis zu erhalten.<\/span>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nNach unserer Signifikanten Varianzanalyse, m\u00f6chten wir herausfinden zwischen welchen der 3 Lernmethoden signifikante Unterschiede bestehen. Zwischen den drei Gruppen sind insgesamt 3 Vergleiche m\u00f6glich. (Wichtig: Bei einer anderen Gruppenanzahl , entspricht die Anzahl der Vergleiche nicht der Gruppengr\u00f6\u00dfe, haben wir zum Beispiel 4 Gruppen gibt es 5 m\u00f6gliche Paare).\r\n\r\nWenn wir nun t-Tests durchf\u00fchren m\u00f6chten, m\u00fcssen wir gegen folgendes korrigierten \u03b1-Niveau testen:\r\n\r\n<img class=\"alignnone wp-image-1554 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-1024x95.png\" alt=\"\" width=\"442\" height=\"41\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Weitere Post-hoc-Verfahren<\/span><\/h2>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Alternativen zu den multiplen t-Test mit Bonferroni Korrektur sind:<\/span>\r\n<ul>\r\n \t<li><span style=\"color: #000000;\">Weitere Varianten der multiplen t-Testung mit unterschiedlicher Fehlerkorrektur<\/span>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Beispielsweise der Tukey-B-Test bei gleichgro\u00dfen Gruppen, der GT2 nach Hochberg bei unterschiedlich gro\u00dfen Gruppen und Varianzhomogenit\u00e4t sowie der Games-Howell-Test bei Varianzheterogenit\u00e4t.\u00a0<\/span><\/li>\r\n \t<li><span style=\"color: #000000;\">Graphische \u00dcberpr\u00fcfung<\/span>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Durch den Vergleich der Konfidenzintervalle der einzelnen Gruppenmittelwerte k\u00f6nnen ebenfalls Unterschiede lokalisiert werden. Hierzu \u00fcberpr\u00fcft man, ob es Gruppen gibt, deren Fehlerbalken sich nicht \u00fcberlappen. Gibt es keine \u00dcberschneidung, ist der Unterschied zwischen den zwei Gruppen signifikant.<\/span>\r\n<img class=\"alignnone wp-image-1555 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-1024x571.png\" alt=\"\" width=\"503\" height=\"281\" \/><\/li>\r\n \t<li><span style=\"color: #000000;\">Geplante Kontraste (A-priori-Kontraste)<\/span>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Mit Hilfe von geplanten Kontrasten kann man im Vorhinein definierte gerichtete Hypothesen testen. Das Verfahren b\u00fc\u00dft im Gegensatz zu den multiplen t-Tests nicht an Testst\u00e4rke ein. Die Kontraste m\u00fcssen jedoch vor der Untersuchung festgelegt werden, weshalb das Verfahren strenggenommen nicht zu den Post-hoc-Tests hinzugez\u00e4hlt werden kann.<\/span><\/li>\r\n<\/ul>\r\n<span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/yy1oBCFBs38\">15.9 Varianzanalyse (ANOVA) | Post-Hoc Verfahren<\/a><\/span>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/yy1oBCFBs38\r\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.8 Effektgr\u00f6\u00dfe<\/span><\/h1>\r\n<span style=\"color: #000000;\">Mit Hilfe der Post-hoc-Tests wissen wir, wie viele Unterschiede bestehen und zwischen welchen Gruppen diese liegen. Was wir jedoch noch nicht beantworten k\u00f6nnen ist, wie gro\u00df diese Unterschiede der Gruppen in der Varianzanalyse sind. Diese Frage beantwortet uns die Effektgr\u00f6\u00dfe. F\u00fcr die Varianzanalyse ist die zugeh\u00f6rige Effektgr\u00f6\u00dfe \u03b7\u00b2\u00a0(Eta\u00b2). \u03b7\u00b2 gibt den Anteil der Modellvarianz an der Gesamtvarianz an und berechnet sich indem man den Quotienten der beiden zugeh\u00f6rigen Quadratsummen bildet.<\/span>\r\n\r\n<img class=\"alignnone wp-image-1556 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-1024x186.png\" alt=\"\" width=\"589\" height=\"107\" \/>\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Die Interpretation der Effektgr\u00f6\u00dfe erfolgt anschlie\u00dfend nach Cohen (1988) wie folgt:<\/span>\r\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 55.2408%; height: 72px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\"><strong>Effektgr\u00f6\u00dfe<\/strong><\/span><\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03b7\u00b2<\/strong><\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">klein<\/span><\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">.01<\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">mittel<\/span><\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">.06<\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">gro\u00df<\/span><\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">.14<\/span><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/5M-nqDnsgbw\">15.10 Varianzanalyse (ANOVA) | Effektgr\u00f6\u00dfe<\/a><\/span>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/5M-nqDnsgbw\r\n\r\n<span style=\"color: #000000;\">Wie die Varianzanalyse sowie die Post-hoc-Tests in SPSS durchgef\u00fchrt werden, zeigt Ihnen abschlie\u00dfend folgendes Video:<\/span>\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/Lk8yQHcogWk\">15.11 Varianzanalyse (ANOVA) | Rechenbeispiel SPSS<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/Lk8yQHcogWk\r\n\r\n&nbsp;\r\n<h1 id=\"chapter-102-section-10\" class=\"section-header\">16.9 \u00dcbungsfragen<\/h1>\r\nBei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!\r\n\r\n[h5p id=\"140\"]\r\n\r\n[h5p id=\"141\"]\r\n\r\n[h5p id=\"142\"]\r\n\r\n[h5p id=\"143\"]\r\n\r\nIn diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht. Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!\r\n\r\n[h5p id=\"144\"]\r\n\r\n[h5p id=\"145\"]\r\n\r\n[h5p id=\"146\"]<a href=\"https:\/\/open.spotify.com\/show\/5ro31tpkiOMYJQwprTARqG?si=qsUsnFtWSXSYJELIv0sPHA\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img class=\"alignnone size-full wp-image-1877\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt.png\" alt=\"\" width=\"985\" height=\"286\" \/><\/a>","rendered":"<h1>16.0 Einf\u00fchrung Varianzanalyse<\/h1>\n<p>Mit Hilfe der Varianzanalyse k\u00f6nnen wir herausfinden, ob sich die Mittelwerte von 3 oder mehr Gruppen signifikant voneinander unterscheiden. Sie beantwortet damit die selbe Fragestellung wie der t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben, den Sie im letzten Kapitel kennengelernt haben. Dieser kann jedoch im Gegensatz zur Varianzanalyse nur die Mittelwerte von zwei Gruppen vergleichen. W\u00fcrden wir mit dem t-Test versuchen mehrere Gruppen auf Unterschiede pr\u00fcfen in dem wir alle Gruppen paarweise vergleichen w\u00e4re es deutlich schwieriger einen signifikanten Effekt zu finden, da man hierbei eine Korrektur durchf\u00fchren muss (dazu sp\u00e4ter mehr bei den Post-Hoc Verfahren). Die Varianzanalyse umgeht diese Problematik durch den Vergleich von Varianzanteilen, daher auch der Name Varianzanalyse oder englisch ANOVA (Analysis of Variance). Wie das genau funktioniert schauen wir uns nun gemeinsam an.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">M\u00f6gliche Fragestellungen, die mithilfe der Varianzanalyse beantwortet werden:<\/p>\n<\/header>\n<ul>\n<li>Gibt es einen Unterschied in der Zahlungsbereitschaft zwischen unseren 4 verschiedenen Burger-Sorten?<\/li>\n<li>Wird die Attraktivit\u00e4t unseres Logos in gelb, rot oder blau unterschiedlich bewertet?<\/li>\n<li>\u00a0Gibt es Unterschiede in der Umsatzst\u00e4rke unserer 12 Five Profs Filialen in Deutschland?<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<p>Das folgende Video bietet Ihnen eine Einf\u00fchrung in die Anwendungsf\u00e4lle der ANOVA.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/z5x8dEewgaA\">15.1 Varianzanalyse (ANOVA) | Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.1 Varianzanalyse (ANOVA) | Einf\u00fchrung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/z5x8dEewgaA?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>16.1 Hypothesen<\/h1>\n<p>Im Gegensatz zu den bisherigen Testverfahren, die sie bereits kennengelernt haben, testet die Varianzanalyse nur ungerichtete Hypothesen. Das dazugeh\u00f6rige Hypothesenpaar lautet:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Es gibt keinen Unterschied zwischen den einzelnen Gruppen (auch Faktorstufen genannt) auf der abh\u00e4ngigen Variable.<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt mindestens einen Unterschied zwischen den einzelnen Gruppen auf der abh\u00e4ngigen Variable.<\/p>\n<p>Wir k\u00f6nnen also mit Hilfe der Varianzanalyse herausfinden, ob zwischen unseren drei, vier oder mehr Gruppen irgendein Unterschied besteht. Zwischen welchen Gruppen genau dieser Unterschied liegt und, ob es nur einen oder sogar mehrere signifikante Unterschiede gibt, erfahren wir hingegen zun\u00e4chst nicht. Deshalb f\u00fchrt man bei einer signifikanten Varianzanalyse \u00fcblicherweise weitere Verfahren durch, um die genauen Unterschiede zu ermitteln. Dies werden Post-hoc Testungen genannt (da sie danach, also &#8222;Post-hoc&#8220; durchgef\u00fchrt werden). Wenn bereits im Vorhinein gerichtete Hypothesen bestehen, gibt es auch die M\u00f6glichkeit sogenannte geplante Kontraste durchzuf\u00fchren. Dieses betrachten wir an dieser Stelle jedoch nicht weiter.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Hypothesenbespiele<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<ol>\n<li>H<sub>0<\/sub>: Die Zahlungsbereitschaft f\u00fcr unsere 4 Burgersorten ist gleich (\u03bc<sub>1 <\/sub>= \u03bc<sub>2 <\/sub>=\u00a0\u03bc<sub>3 <\/sub>= \u03bc<sub>4<\/sub>).<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt mindestens einen Unterschied in der Zahlungsbereitschaft zwischen unseren 4 Burgersorten.<\/li>\n<li>H<sub>0<\/sub>: Der Umsatz unserer 12 FiveProfs Filialen ist gleich (\u03bc<sub>1 <\/sub>= \u03bc<sub>2 <\/sub>=\u00a0\u03bc<sub>3 <\/sub>= \u03bc<sub>4 <\/sub>= \u03bc<sub>5 <\/sub>= \u03bc<sub>6 <\/sub>= \u03bc<sub>7 <\/sub>= \u03bc<sub>8\u00a0<\/sub>=\u00a0\u03bc<sub>9 <\/sub>= \u03bc<sub>10 <\/sub>= \u03bc<sub>11 <\/sub>= \u03bc<sub>12<\/sub>)<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt mindestens einen Unterschied im Umsatz in unseren 12 FiveProfs Filialen.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Das folgende Video zeigt Ihnen nochmal anhand einiger Beispiele die Hypothesenbildung bei der ANOVA.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/-WQREUiChBM\">15.2 Varianzanalyse (ANOVA) | Hypothesen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.2 Varianzanalyse (ANOVA) | Hypothesen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/-WQREUiChBM?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>16.2 Voraussetzungen<\/h1>\n<p>Bevor wir eine Varianzanalyse durchf\u00fchren k\u00f6nnen, m\u00fcssen wir die Voraussetzungen \u00fcberpr\u00fcfen. Bei der ANOVA m\u00fcssen hierf\u00fcr folgende Punkte betrachtet werden:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>intervallskalierte<\/strong> abh\u00e4ngige Variable<\/li>\n<li>Messwerte m\u00fcssen <strong>unabh\u00e4ngig voneinander<\/strong> sein<br \/>\nSind die Messwerte hingegen nicht unabh\u00e4ngig voneinander (bspw. bei einer Messwiederholung) f\u00fchren wir statt einer ANOVA eine <a href=\"https:\/\/youtube.com\/playlist?list=PL5-jNRF4vHYd7kgBorC21JF4zFLq4DGtT\">ANOVA mit Messwiederholung<\/a> durch.<\/li>\n<li><strong>Normalverteilung<\/strong> der abh\u00e4ngigen Variable in allen Gruppen<br \/>\nDiese Voraussetzung k\u00f6nnen wir entweder graphisch (bspw. durch die Betrachtung eines Histogramms) oder mittels eines Testverfahrens (bspw. Shapiro-Wilk Test, Kolmogorov-Smirnov-Test, Lilliefors) \u00fcberpr\u00fcfen. Die Testverfahren d\u00fcrfen f\u00fcr die Annahme der Normalverteilung nicht signifikant werden.<br \/>\nIst eine Normalverteilung nicht gegeben, reagiert die Varianzanalyse meist sehr robust. Insbesondere, wenn die Gruppen gleich gro\u00df sind und eine Stichprobengr\u00f6\u00dfe von jeweils mehr als 20 Personen aufweisen. Daher wird dieser Voraussetzung in der Praxis weniger Beachtung geschenkt.<\/li>\n<li><strong>Varianzhomogenit\u00e4t<\/strong> der Gruppen<br \/>\nVarianzhomogenit\u00e4t bedeutet, dass die Streuung in den zu vergleichenden Gruppen vergleichbar gro\u00df ist.<br \/>\nDiese Voraussetzung wird standardm\u00e4\u00dfig \u00fcber den Levene-Test \u00fcberpr\u00fcft. Um die Varianzhomogenit\u00e4t zu unterstellen, darf der Test nicht signifikant werden.<br \/>\nIst hingegen Varianzheterogenit\u00e4t gegeben (der Levene-Test wird signifikant), rechnen wir eine Varianzanalyse mit Welch-Korrektur. Diese wird in SPSS automatisch mit ausgegeben.<\/li>\n<\/ul>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/Vci2kgjhya8\">15.3 Varianzanalyse (ANOVA) | Voraussetzungen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.3 Varianzanalyse (ANOVA) | Vorraussetzungen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Vci2kgjhya8?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>16.3 Grunds\u00e4tzliche Funktionsweise<\/h1>\n<p>Um die grunds\u00e4tzliche Funktionsweise der Varianzanalyse zu verstehen, bedienen wir uns eines Beispiels. Stellen Sie sich vor, wir m\u00f6chten den neuen Mitarbeitenden der FiveProfs Kette beibringen, m\u00f6glichst schnell leckere Burger zuzubereiten. Hierf\u00fcr vergleichen wir drei Lernmethoden, die ihnen das Burgerbraten beibringen sollen. 5 Mitarbeitende erhalten eine schriftliche Anleitung, 5 weitere Mitarbeitende lernen die Zubereitung anhand eines Video-Tutorials und weitere 5 Mitarbeitende lernen direkt von einem erfahrenen Kollegen. Nach 3 Tagen wird die Zeit gemessen, die die Mitarbeitenden ben\u00f6tigen, um einen Burger zuzubereiten. Die folgende Grafik zeigen Ihnen die Ergebnisse:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1535\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild5-1024x747.png\" alt=\"\" width=\"471\" height=\"315\" \/><\/p>\n<p>Um herauszufinden, ob eine der drei Lernmethoden besser ist wollen wir nun die drei Mittelwerte vergleichen und m\u00fcssen daher beurteilen ob sich die Mittelwerte signifikant voneinander unterscheiden. Die Varianzanalyse bedient sich hierbei einem Trick. Sie untersucht, ob der gesamte Mittelwert \u00fcber alle drei Gruppen (auch Grand Mean genannt) oder die einzelnen Gruppenmittelwerte die erhobenen Daten besser vorhersagen k\u00f6nnen. In unserem Beispiel untersucht die ANOVA somit, ob der Stichprobenmittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 7,13 Minuten<\/span> oder die drei Gruppenmittelwerte (<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>Anleitung<\/sub>\u00a0= 8,9; <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>Video<\/sub> = 6,5; <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>Mitarbeiter<\/sub> = 6<\/span>) die Zubereitungszeit der Mitarbeitenden besser vorhersagen. Liefern die Gruppenmittelwerte eine bessere Vorhersage bzw. Sch\u00e4tzung, wird die Varianzanalyse signifikant. Die Grundidee der ANOVA ist also recht einfach: <span style=\"color: #000000;\">Wenn die einzelnen Gruppenmittelwerte die echten Werte signifikant besser vorhersagen als der Mittelwert \u00fcber alle Gruppen, dann m\u00fcssen sich die Gruppenmittelwerte auch signifikant voneinander unterscheiden.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1533 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-1024x407.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"407\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-1024x407.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-300x119.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-768x305.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-1536x610.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-2048x813.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-225x89.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild3-350x139.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p>Das nachfolgende Video zeigt Ihnen die grunds\u00e4tzliche Funktionsweise an einem weiteren Beispiel aus der FiveProfs Kette.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/wWJyzT_GUtc\">15.4 Varianzanalyse (ANOVA) | Grunds\u00e4tzliche Funktionsweise<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.4 Varianzanalyse (ANOVA) | Grunds\u00e4tzliche Funktionsweise\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/wWJyzT_GUtc?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>16.4 Quadratsummen<\/h1>\n<p>Doch wie genau findet die Varianzanalyse heraus, welcher Mittelwert die erhobenen Daten besser vorhersagt? Sie betrachtet hierzu, wie der Name schon sagt, unterschiedliche Varianzen. Zur Erinnerung: Die Varianz gibt die mittlere Abweichung jedes einzelnen Wertes vom Mittelwert an. F\u00fcr die Betrachtung der verschiedenen Varianzen werden bei der ANOVA sogenannte <strong>Quadratsummen<\/strong> berechnet. Quadratsummen erh\u00e4lt man, wenn man die Abweichung jedes einzelnen Werts vom Mittelwert quadriert und anschlie\u00dfend aufsummiert. Damit sind Quadratsummen nichts anderes als Varianzen, die nicht an der Anzahl der Werte relativiert werden (Gerne nochmal in Kapitel 2 die Berechnung der Varianz anschauen).<\/p>\n<p>Die Varianzanalyse vergleicht bei ihrer Betrachtung drei Varianzen: die Gesamtvarianz, Modellvarianz und Fehlervarianz (Auch das haben wir in Kapitel 5 Regression schon einmal besprochen).<\/p>\n<h2>Gesamtvarianz (QS<sub>total<\/sub>)<\/h2>\n<p>Die Gesamtvarianz ist ein Ma\u00df f\u00fcr die St\u00e4rke der Abweichung aller Messwerte vom Gesamtmittelwert (Grand Mean). Sie gibt an, wie stark sich die erhobenen Daten insgesamt voneinander unterscheiden. In der Varianzanalyse wird sie durch die gesamte Quadratsumme (QS<sub>total<\/sub>) angegeben und betrachtet. Ihre Formel lautet wie folgt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1534 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-1024x296.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"296\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-1024x296.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-300x87.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-768x222.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-1536x445.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-2048x593.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-225x65.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild4-350x101.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">F\u00fcr diese Gesamtvarianz gibt es in der ANOVA zwei m\u00f6gliche Ursachen: systematische und unsystematische Einfl\u00fcsse. Systematische Einfl\u00fcsse beruhen auf unserem zu untersuchenden Effekt. In unserem Beispiel w\u00e4re der systematische Einfluss auf die Streuung der Daten die unterschiedliche Lernmethode, die der jeweilige Mitarbeitende verwendet. Dieser systematisch Einfluss wird in der Vorhersage- oder Modellvarianz betrachtet (QS<sub>zwischen<\/sub>). Unsystematische Einfl\u00fcsse beruhen hingegen auf zuf\u00e4lligen Unterschieden der Versuchsobjekte. Diese Einfl\u00fcsse werden durch die Fehlervarianz (QS<sub>innerhalb<\/sub>) betrachtet. Die Vorhersage- und die Fehlervarianz ergibt zusammen die Gesamtvarianz.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1536\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-1024x428.png\" alt=\"\" width=\"419\" height=\"175\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-1024x428.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-300x125.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-768x321.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-1536x642.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-65x27.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-225x94.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6-350x146.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild6.png 1619w\" sizes=\"(max-width: 419px) 100vw, 419px\" \/><\/p>\n<h2><\/h2>\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Vorhersagevarianz (QS<sub>zwischen<\/sub>)<\/span><\/h2>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die Vorhersage- oder Modellvarianz gibt die Varianz zwischen den Gruppenmittelwerten an. Sie wird dadurch berechnet, dass man die Abweichungen der einzelnen Gruppenmittelwerte zum Gesamtmittelwert quadriert und aufsummiert.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1537 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-1024x296.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"296\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-1024x296.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-300x87.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-768x222.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-1536x445.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-2048x593.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-225x65.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild8-350x101.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die Quadratsumme ist jedoch abh\u00e4ngig von der Anzahl der Gruppen. Desto mehr es gibt, desto gr\u00f6\u00dfer ist sie. Um ein unabh\u00e4ngiges Ma\u00df f\u00fcr die Varianz zwischen den Gruppenmittelwerten zu erhalten, relativiert man die Quadratsumme mit den zugeh\u00f6rigen Freiheitsgraden df<sub>zwischen.<\/sub> Man erh\u00e4lt die <strong>mittlere Quadratsumme MS<sub>zwischen<\/sub><\/strong> (auch mittleres Abweichungsquadrat genannt).<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1538\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-1024x446.png\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"209\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-1024x446.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-300x131.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-768x335.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-1536x669.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-2048x892.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-65x28.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-225x98.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild9-350x152.png 350w\" sizes=\"(max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>In unserem Beispiel der Zubereitungszeit von Burgern betr\u00e4gt die Quadratsumme zwischen den Gruppen QS<sub>zwischen<\/sub>=24,03. Wir vergleichen 3 verschiedene Lernmethoden.<\/p>\n<p>Wie lautet die mittlere Quadratsumme MS<sub>zwischen<\/sub>?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1540\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-300x51.png\" alt=\"\" width=\"247\" height=\"42\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-300x51.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-1024x174.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-768x131.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-65x11.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-225x38.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10-350x60.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild10.png 1298w\" sizes=\"(max-width: 247px) 100vw, 247px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch3.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a> &nbsp;<\/h2>\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Fehlervarianz (QS<sub>innerhalb<\/sub>)<\/span><\/h2>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die Fehlervarianz ist der Anteil der Varianz, der auf unsystematischen Einfl\u00fcssen (bspw. unterschiedlicher Ged\u00e4chtnisleistung) beruht. Sie berechnet sich durch die Abweichung der tats\u00e4chlich gemessenen Werten von den jeweiligen Gruppenmittelwerten und beschreibt damit die Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen. Werden die Abweichungen f\u00fcr jeden einzelnen Wert quadriert und aufsummiert, erhalten wir die entsprechende Quadratsumme QS<sub>innerhalb<\/sub>.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1542 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-1024x297.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"297\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-1024x297.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-300x87.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-768x222.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-1536x445.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-2048x593.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-225x65.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild11-1-350x101.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Um auch hier ein unabh\u00e4ngiges Ma\u00df f\u00fcr die Streuung innerhalb der Gruppen zu erhalten, relativiert man die Quadratsumme mit Hilfe des entsprechenden Freiheitsgrads df<sub>innerhalb<\/sub>. So erh\u00e4lt man die mittlere Quadratsumme <strong>MS<sub>innerhalb<\/sub><\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1544\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-1024x405.png\" alt=\"\" width=\"614\" height=\"243\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-1024x405.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-300x119.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-768x304.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-1536x608.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-2048x810.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-225x89.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild13-1-350x138.png 350w\" sizes=\"(max-width: 614px) 100vw, 614px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>In unserem Beispiel der Zubereitungszeit von Burgern betr\u00e4gt die Quadratsumme innerhalb der Gruppen QS<sub>innerhalb<\/sub>=17,20. Hierf\u00fcr haben wir die Zubereitungszeit von insgesamt 15 Mitarbeitenden gemessen.<\/p>\n<p>Wie lautet die mittlere Quadratsumme MS<sub>innerhalb<\/sub>?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1545\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-300x39.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"39\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-300x39.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-1024x135.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-768x101.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-1536x202.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-65x9.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-225x30.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15-350x46.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild15.png 1735w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2><\/h2>\n<h2><span style=\"color: #000000;\">\u00dcbersicht \u00fcber die Quadratsummen<\/span><\/h2>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die folgende Abbildung zeigt Ihnen nochmals die einzelnen Quadratsummen und ihre Zusammenh\u00e4nge im \u00dcberblick.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1546 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-1024x363.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"363\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-1024x363.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-300x106.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-768x272.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-1536x544.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-2048x725.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-65x23.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-225x80.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild17-350x124.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Noch nicht ganz klar? Dann bietet das folgende Video die M\u00f6glichkeit die Bedeutung und Berechnung der Quadratsummen anhand eines weiteren Beispiels aus der FiveProfs Kette nachzuvollziehen.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/viE1_OmQyco\">15.5 Varianzanalyse (ANOVA) | Quadratsummen und Freiheitsgrade<\/a><\/span><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.5 Varianzanalyse (ANOVA) | Quadratsummen und Freiheitsgrade\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/viE1_OmQyco?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.5 Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe (F-Wert)<\/span><\/h1>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Um nun herauszufinden, ob die Streuung in der Stichprobe auf den Effekt (in unserem Beispiel durch die unterschiedlichen Lernmethoden) oder auf den Zufall zur\u00fcckzuf\u00fchren ist, vergleicht man die Varianz zwischen den Gruppen (Vorhersagevarianz) mit der Varianz innerhalb der Gruppen (Fehlervarianz). Dazu wir der Quotient aus den beiden mittleren Quadratsummen gebildet. Man erh\u00e4lt den <strong>F-Wert<\/strong>, der die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe der Varianzanalyse darstellt (auch das haben wir schon mal recht \u00e4hnlich in Kapitel 5 Regression besprochen).<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1548\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild18-1024x182.png\" alt=\"\" width=\"574\" height=\"51\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Ist der F-Wert &lt; 1, dann ist die relativierte Fehlervarianz (Varianz innerhalb der Gruppen) gr\u00f6\u00dfer als die relativierte Vorhersagevarianz (Varianz zwischen den Gruppen). Ist der F-Wert &gt; 1, dann ist die relative Vorhersagevarianz gr\u00f6\u00dfer als als die relative Fehlervarianz. Im besten Fall ist unser F-Wert somit besonders gro\u00df. Die Streuung der Daten geht in diesem Fall vordergr\u00fcndig auf die Gruppenunterschiede und nicht auf m\u00f6gliche unsystematische Einfl\u00fcsse zur\u00fcck. \u00dcblicherweise werden beim F-Wert noch die beiden eben besprochenen Freiheitsgrade (df) in Klammer mit angegeben.\u00a0<\/span><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>F\u00fcr unser Beispiel lauten die berechneten mittleren Quadratsummen MS<sub>zwischen<\/sub>= 12,01 und MS<sub>innerhalb<\/sub><sub>\u00a0<\/sub>= 1,43. Der daraus resultierende F-Wert ist somit:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1549\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-300x49.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"49\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-300x49.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-1024x169.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-768x126.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-65x11.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-225x37.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19-350x58.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild19.png 1379w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Unser erhaltener F-Wert F(2,12) = 8,40 sagt aus, dass der Anteil der relativen Modellvarianz 8,4 mal gr\u00f6\u00dfer ist als die der relativierten Fehlervarianz. Das die Unterschiede in den Daten auf Gruppenunterschiede zur\u00fcckzuf\u00fchren sind, ist somit relativ wahrscheinlich.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Das nachfolgende Video veranschaulicht Ihnen die Berechnung der F-Werts anhand eines weiteren Beispiels.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/djz7uzkiS9c\">15.6 Varianzanalyse (ANOVA) | Berechnung_F-Wert<\/a><\/span><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.6 Varianzanalyse (ANOVA) | Berechnung_F-Wert\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/djz7uzkiS9c?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.6 Interpretation des F-Werts<\/span><\/h1>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Desto gr\u00f6\u00dfer der F-Wert ist, desto gr\u00f6\u00dfer ist die Streuung zwischen den einzelnen Gruppen im Vergleich zur Fehlervarianz. Und desto h\u00f6her die Streuung zwischen den Gruppen, desto eher gibt es signifikante Unterschiede zwischen ihnen. Um unsere Nullhypothese ablehnen zu k\u00f6nnen und ein signifikantes Testergebnis zu erhalten, m\u00f6chten wir dementsprechend, dass der F-Wert m\u00f6glichst hoch ist. Doch ab welchem Wert wird der empirisch bestimmter F-Wert F<sub>emp<\/sub> signifikant?<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Schauen wir uns diesen Sachverhalt graphisch an. Die F-Verteilung gibt an, wie wahrscheinlich ein bestimmter F-Wert ist. Die F-Verteilung kann, wie auch die bereits besprochene Chi-Quadrat-Verteilung nur positive Werte annehmen. Daher beschr\u00e4nkt sich unser Ablehnungsbereich der Nullhypothese nur auf den oberen Bereich der F-Verteilung. Trotz ungerichteter Hypothese wird der Ablehnungsbereich somit nicht in zwei H\u00e4lften aufgeteilt, wie wir es bei anderen Testverfahren kennen.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1550\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild20-1024x510.png\" alt=\"\" width=\"509\" height=\"226\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Um die Nullhypothese ablehnen zu k\u00f6nnen, vergleichen wir unsere empirische Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe F<sub>emp<\/sub> mit der kritischen Ablehnungsgr\u00f6\u00dfe F<sub>krit<\/sub>. Wenn F<sub>emp <\/sub>&gt; F<sub>krit<\/sub>, k\u00f6nnen wir die Nullhypothese ablehnen. Die kritischen Werte finden Sie in einer Tabelle, die diese Werte f\u00fcr die F-Verteilung abbildet (diese finden Sie zum Beispiel im Anhang dieses Buchs). \u00c4hnlich wie bei der Chi-Quadrat-Verteilung m\u00fcssen wir um die Tabelle interpretieren zu k\u00f6nnen die Freiheitsgrade ber\u00fccksichtigen. Nur in diesem Fall nicht nur einen Freiheitsgrad sondern zwei: Die Tabelle ist nach Z\u00e4hler- (df<sub>zwischen<\/sub>) und Nenner-Freiheitsgrad (df<sub>innerhalb<\/sub>) unterteilt. Um den richtigen kritischen F-Wert zu finden, m\u00fcssen Sie unter den entsprechenden Freiheitsgraden ihr selbstgew\u00e4hltes Signifikanzniveau w\u00e4hlen.<\/span><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Um herauszufinden, ob sich die 3 Lernmethoden f\u00fcr die Burgerzubereitung signifikant unterscheiden, vergleichen wir unseren empirischen F-Wert F<sub>emp\u00a0<\/sub>= 8,40 mit einem gew\u00e4hlten Signifikanzniveau von \u03b1 = 5%. Um den richtigen Wert in der Tabelle zu finden, m\u00fcssen wir zun\u00e4chst unsere Freiheitsgrade berechnen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1551\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-300x44.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"44\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-300x44.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-1024x151.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-768x113.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-1536x226.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-65x10.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-225x33.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21-350x51.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild21.png 1707w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Anschlie\u00dfend suchen wir den entsprechenden kritischen F-Wert in der Tabelle f\u00fcr das Signifikanzniveau \u03b1 = 5%.<\/p>\n<p>Wir erhalten einen kritischen F-Wert von F<sub>krit<\/sub>=3,885.<\/p>\n<p>Da F<sub>emp<\/sub> &gt; F<sub>krit<\/sub>, kann die Nullhypothese abgelehnt werden. Zwischen den 3 Lernmethoden gibt es mindestens einen signifikanten Unterschied in der Burgerbratzeit.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1552\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild22-1024x521.png\" alt=\"\" width=\"487\" height=\"243\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Das nachfolgende Video erkl\u00e4rt Ihnen an einem Beispiel, wie Sie den richtigen F-Wert in den Tabellen finden und zeigt Ihnen zudem die Interpretation des zugeh\u00f6rigen SPSS Outputs.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/tpvncnsujas\">15.7 Varianzanalyse (ANOVA) | Interpretation<\/a><\/span><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.7 Varianzanalyse (ANOVA) | Interpretation\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/tpvncnsujas?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Noch nicht genug? Das folgende Video gibt ein weiteres Beispiel f\u00fcr die Durchf\u00fchrung der Varianzanalyse.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/9Z42r8OWaDU\">15.8 Varianzanalyse (ANOVA) | Weiteres Beispiel<\/a><\/span><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.8 Varianzanalyse (ANOVA) | Weiteres Beispiel\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/9Z42r8OWaDU?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.7 Post-hoc-Verfahren<\/span><\/h1>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Wenn die Varianzanalyse signifikant wird, wissen wir, dass zwischen den betrachteten Gruppen mindestens ein signifikanter Unterschied besteht. Zwischen welchen Gruppen genau dieser Unterschied liegt und ob es nur einen oder sogar mehrere signifikante Unterschiede gibt, erfahren wir hingegen nicht. Deshalb f\u00fchrt man nach der Varianzanalyse anschlie\u00dfend Post-hoc-Verfahren durch, die die Unterschiede zu lokalisieren.<\/span><\/p>\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Multiple t-Tests mit Bonferroni Korrektur<\/span><\/h2>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Eine M\u00f6glichkeit herauszufinden, zwischen welchen Gruppen ein signifikanter Unterschied besteht, ist die Durchf\u00fchrung von multiplen t-Tests. Da wir wir jedoch bei diesen t-Tests immer wieder die selben Gruppen gegeneinander testen, ist die Voraussetzung der unabh\u00e4ngigen Stichproben verletzt. Der \u03b1-Fehler (bspw. 5%) steigt hierdurch automatisch an. Man spricht auch von \u03b1-Fehler-Kumulation. Um dem zu entgegnen, f\u00fchren wir eine Korrektur des \u03b1-Fehlers durch.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1553\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-1024x97.png\" alt=\"\" width=\"718\" height=\"68\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-1024x97.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-300x28.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-768x73.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-1536x146.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-2048x194.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-65x6.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-225x21.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild24-350x33.png 350w\" sizes=\"(max-width: 718px) 100vw, 718px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Unseren empirischen p-Wert vergleichen wir anschlie\u00dfend mit dem eben berechneten korrigierten \u03b1-Fehler, welchen wir als neues Signifikanzniveau ansetzen. Ist der empirische p-Wert kleiner als der \u03b1<sub>korrigiert\u00a0<\/sub>, liegt ein signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen vor.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Nachteil der multiplen t-Tests ist die verringerte Testst\u00e4rke. Durch den korrigierten \u03b1-Fehler ist es deutlich schwerer ein signifikantes Ergebnis zu erhalten.<\/span><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\"><span style=\"color: #ffffff;\">Beispiel: Burgerbraten lernen<\/span><\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Nach unserer Signifikanten Varianzanalyse, m\u00f6chten wir herausfinden zwischen welchen der 3 Lernmethoden signifikante Unterschiede bestehen. Zwischen den drei Gruppen sind insgesamt 3 Vergleiche m\u00f6glich. (Wichtig: Bei einer anderen Gruppenanzahl , entspricht die Anzahl der Vergleiche nicht der Gruppengr\u00f6\u00dfe, haben wir zum Beispiel 4 Gruppen gibt es 5 m\u00f6gliche Paare).<\/p>\n<p>Wenn wir nun t-Tests durchf\u00fchren m\u00f6chten, m\u00fcssen wir gegen folgendes korrigierten \u03b1-Niveau testen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1554\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-1024x95.png\" alt=\"\" width=\"442\" height=\"41\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-1024x95.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-300x28.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-768x71.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-1536x143.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-2048x190.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-65x6.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-225x21.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild25-350x33.png 350w\" sizes=\"(max-width: 442px) 100vw, 442px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2><span style=\"color: #000000;\">Weitere Post-hoc-Verfahren<\/span><\/h2>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Alternativen zu den multiplen t-Test mit Bonferroni Korrektur sind:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"color: #000000;\">Weitere Varianten der multiplen t-Testung mit unterschiedlicher Fehlerkorrektur<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #000000;\">Beispielsweise der Tukey-B-Test bei gleichgro\u00dfen Gruppen, der GT2 nach Hochberg bei unterschiedlich gro\u00dfen Gruppen und Varianzhomogenit\u00e4t sowie der Games-Howell-Test bei Varianzheterogenit\u00e4t.\u00a0<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #000000;\">Graphische \u00dcberpr\u00fcfung<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #000000;\">Durch den Vergleich der Konfidenzintervalle der einzelnen Gruppenmittelwerte k\u00f6nnen ebenfalls Unterschiede lokalisiert werden. Hierzu \u00fcberpr\u00fcft man, ob es Gruppen gibt, deren Fehlerbalken sich nicht \u00fcberlappen. Gibt es keine \u00dcberschneidung, ist der Unterschied zwischen den zwei Gruppen signifikant.<\/span><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1555\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-1024x571.png\" alt=\"\" width=\"503\" height=\"281\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-1024x571.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-300x167.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-768x428.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-1536x856.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-2048x1141.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-65x36.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-225x125.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild26-350x195.png 350w\" sizes=\"(max-width: 503px) 100vw, 503px\" \/><\/li>\n<li><span style=\"color: #000000;\">Geplante Kontraste (A-priori-Kontraste)<\/span><br \/>\n<span style=\"color: #000000;\">Mit Hilfe von geplanten Kontrasten kann man im Vorhinein definierte gerichtete Hypothesen testen. Das Verfahren b\u00fc\u00dft im Gegensatz zu den multiplen t-Tests nicht an Testst\u00e4rke ein. Die Kontraste m\u00fcssen jedoch vor der Untersuchung festgelegt werden, weshalb das Verfahren strenggenommen nicht zu den Post-hoc-Tests hinzugez\u00e4hlt werden kann.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/yy1oBCFBs38\">15.9 Varianzanalyse (ANOVA) | Post-Hoc Verfahren<\/a><\/span><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.9 Varianzanalyse (ANOVA) | Post-Hoc Verfahren\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/yy1oBCFBs38?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1><span style=\"color: #000000;\">16.8 Effektgr\u00f6\u00dfe<\/span><\/h1>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Mit Hilfe der Post-hoc-Tests wissen wir, wie viele Unterschiede bestehen und zwischen welchen Gruppen diese liegen. Was wir jedoch noch nicht beantworten k\u00f6nnen ist, wie gro\u00df diese Unterschiede der Gruppen in der Varianzanalyse sind. Diese Frage beantwortet uns die Effektgr\u00f6\u00dfe. F\u00fcr die Varianzanalyse ist die zugeh\u00f6rige Effektgr\u00f6\u00dfe \u03b7\u00b2\u00a0(Eta\u00b2). \u03b7\u00b2 gibt den Anteil der Modellvarianz an der Gesamtvarianz an und berechnet sich indem man den Quotienten der beiden zugeh\u00f6rigen Quadratsummen bildet.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1556\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-1024x186.png\" alt=\"\" width=\"589\" height=\"107\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-1024x186.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-300x55.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-768x140.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-1536x279.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-65x12.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-225x41.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27-350x64.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/12\/Bild27.png 1929w\" sizes=\"(max-width: 589px) 100vw, 589px\" \/><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Die Interpretation der Effektgr\u00f6\u00dfe erfolgt anschlie\u00dfend nach Cohen (1988) wie folgt:<\/span><\/p>\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 55.2408%; height: 72px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\"><strong>Effektgr\u00f6\u00dfe<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03b7\u00b2<\/strong><\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">klein<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">.01<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">mittel<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">.06<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">gro\u00df<\/span><\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><span style=\"color: #000000;\">.14<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p><span style=\"color: #000000;\"><a style=\"color: #000000;\" href=\"https:\/\/youtu.be\/5M-nqDnsgbw\">15.10 Varianzanalyse (ANOVA) | Effektgr\u00f6\u00dfe<\/a><\/span><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.10 Varianzanalyse (ANOVA) | Effektgr\u00f6\u00dfe\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/5M-nqDnsgbw?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Wie die Varianzanalyse sowie die Post-hoc-Tests in SPSS durchgef\u00fchrt werden, zeigt Ihnen abschlie\u00dfend folgendes Video:<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/Lk8yQHcogWk\">15.11 Varianzanalyse (ANOVA) | Rechenbeispiel SPSS<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"15.11 Varianzanalyse (ANOVA) | Rechenbeispiel SPSS\" width=\"500\" height=\"375\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Lk8yQHcogWk?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1 id=\"chapter-102-section-10\" class=\"section-header\">16.9 \u00dcbungsfragen<\/h1>\n<p>Bei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-140\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"140\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-141\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"141\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-142\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"142\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-143\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"143\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p>In diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht. Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-144\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"144\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-145\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"145\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-146\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"146\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/open.spotify.com\/show\/5ro31tpkiOMYJQwprTARqG?si=qsUsnFtWSXSYJELIv0sPHA\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-1877\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt.png\" alt=\"\" width=\"985\" height=\"286\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt.png 985w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-300x87.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-768x223.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-225x65.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Unbenannt-350x102.png 350w\" sizes=\"(max-width: 985px) 100vw, 985px\" \/><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":3,"menu_order":1,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"part":1606,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1517"}],"collection":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"version-history":[{"count":27,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1517\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1888,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1517\/revisions\/1888"}],"part":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/1606"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1517\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1517"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=1517"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=1517"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=1517"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}