{"id":1482,"date":"2021-10-17T08:31:09","date_gmt":"2021-10-17T06:31:09","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/?post_type=chapter&p=1482"},"modified":"2022-10-11T20:49:38","modified_gmt":"2022-10-11T18:49:38","slug":"binomialverteilung-vorzeichentest","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/binomialverteilung-vorzeichentest\/","title":{"rendered":"Vorzeichentest"},"content":{"raw":"

14.0 Einf\u00fchrung Binomialverteilung<\/h1>\r\nStellen Sie sich vor, Sie m\u00f6chten wissen, welcher Standort f\u00fcr Ihren Burgerladen besser ist und lassen hierzu eine Gruppe von potenziellen Kunden beide Orte bewerten. Oder Sie interessieren sich daf\u00fcr, ob die Zufriedenheit Ihrer Kunden im Burgerladen steigt, nachdem Sie ihnen ein kostenloses Getr\u00e4nk anbieten. Solche Unterschiedshypothesen k\u00f6nnen wir mit einem Vorzeichentest testen, welcher auf der Binomialverteilung beruht. Die Binomialverteilung geh\u00f6rt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Diese ordnen diskreten Zufallsvariablen, welche nur eine abz\u00e4hlbare Menge an Auspr\u00e4gungen annehmen k\u00f6nnen, die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu. Im Fall der Binomialverteilung wird eine dichotome Variable (auch Bernoulli-Variable) als Grundlage verwendet.\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nSie kann genau zwei verschiedene Auspr\u00e4gungen annehmen. Beispielweise Kopf\/ Zahl, Erfolg\/ Misserfolg, oder ganz Allgemein: Ereignis tritt ein\/ Ereignis tritt nicht ein. Wiederholen wir einen Versuchsaufbau mit solch einer dichotomen Variable\u00a0 N-mal (man spricht auch von Bernoulli-Experiment), z.B. indem wir N = 5 eine M\u00fcnze werfen, erhalten wir N + 1 (in unserem Fall 6) m\u00f6gliche Ausg\u00e4nge, wie oft wir Kopf geworfen haben k\u00f6nnten. Die zugeh\u00f6rige Binomialverteilung bildet nun die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr die einzelnen Ereignisse ab.\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nWie auch schon bei der Normalverteilung, gibt es nicht die eine Binomialverteilung. Viel eher variiert ihre Gestalt abh\u00e4ngig von der Auftretenswahrscheinlichkeit \u03c0 und der Anzahl der Ereignisse n +<\/em> 1. Im Beispiel unseres M\u00fcnzwurfs haben wir eine Auftretenswahrscheinlichkeit, dass wir Kopf werfen von \u03c0 = 0,5. Dadurch ist unsere Binomialverteilung symmetrisch. Ist \u03c0 < 0,5 ist die Verteilung hingegen linkssteil. Wird \u03c0 > 0,5 wird die Binomialverteilung rechtssteil.\r\n\r\n\"\"\r\n\r\nJe gr\u00f6\u00dfer hierbei das n<\/em> wird, desto eher kann man die Binomialverteilung in einer Normalverteilung approximieren (\u00fcberf\u00fchren). Die Approximation ist unabh\u00e4ngig der Auftretenswahrscheinlichkeit \u03c0.\r\n\r\nWenn Sie die Logik der Binomialverteilung nochmals anhand eines Beispiels aus der FiveProfs Kette nachvollziehen m\u00f6chten, bietet Ihnen das folgende Video eine gute Gelegenheit.\r\n\r\n18.1 Binomialverteilung | Einf\u00fchrung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/MuAkwP4r9Sc\r\n\r\nIm Gegensatz zu stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, ist das Rechnen mit der diskreten Binomialverteilung deutlich einfacher. Wir m\u00fcssen uns nicht mehr mit der Integralrechnung behelfen, sondern k\u00f6nnen die Wahrscheinlichkeiten f\u00fcr ein Ereignis direkt aus der Grafik oder der entsprechenden Tabelle (siehe Appendix<\/strong>) herauslesen.\r\n\r\n\"\"\r\n

Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten eines Ereignisses bestimmen<\/h2>\r\nUm die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten eines bestimmten Ereignisses zu bestimmen, rechnen wir die Auftretenswahrscheinlichkeit \u03c0 hoch die Anzahl der Ereignisse n.\r\n\r\nP(X) = \u03c0n<\/sup>\r\n
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Beispiel M\u00fcnzwurf<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n

\r\n\r\nWir werfen 7-mal eine M\u00fcnze. Wir wahrscheinlich ist es, dass wir 7-mal Kopf und damit 0-mal Zahl erhalten?\r\n\r\nAntwort:<\/span>\r\n\r\nP(X=0) = \u03c0n<\/sup> = 0,57<\/sup> = 0,0078\r\n\r\nDie Wahrscheinlichkeit, dass wir 7-mal Kopf werfen, betr\u00e4gt 0,78%.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nJedoch trifft diese Formel nur auf Ereignisse zu, die nur durch durch einen Fall entstehen k\u00f6nnen. Gibt es mehrere M\u00f6glichkeiten, wie ein Ereignis zustande kommen kann, so werden diese M\u00f6glichkeiten aufaddiert, wie das folgende Beispiel zeigt:\r\n
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Beispiel M\u00fcnzwurf<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n

\r\n\r\nWir werfen 7-mal eine M\u00fcnze. Wie wahrscheinlich ist es das wir 1-mal Kopf erhalten?\r\n\r\nAntwort<\/span>:\r\n\r\nZun\u00e4chst rechnen wir, die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr ein konkretes Ereignis. N\u00e4mlich, dass wir 1 Mal in den 7 Malen Kopf werfen.\r\n\u03c0n<\/sup> = 0,57<\/sup> = 0,0078\r\n\r\nNun k\u00f6nnen wir aber ganz am Anfang Kopf werfen, oder in der Mitte oder ganz zum Schluss. Es gibt also verschiedene F\u00e4lle an denen wir zum Schluss 1-mal Kopf und 6-mal Zahl gew\u00fcrfelt haben.\r\n\r\nUm nun die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, addieren wir die 7 M\u00f6glichkeiten auf und erhalten so eine Wahrscheinlichkeit von:\r\n\r\n7 \u22c5 <\/b>\u03c0n<\/sup> = 7 \u22c5 <\/b>0,57<\/sup> = 7 \u22c5 <\/b>0,0078 = 0,0546\r\n\r\nDie Wahrscheinlichkeit, dass wir 1-mal Kopf werfen, betr\u00e4gt 5,46%.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n

Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Bereich bestimmen<\/h2>\r\nUm die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen Bereich zu bestimmen, addieren wir die entsprechenden Ereignisse einfach auf.\r\n
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Beispiel M\u00fcnzwurf<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n

\r\n\r\nWie wahrscheinlich ist es, dass wir 0-mal oder 1-mal Kopf werfen, wenn wir eine M\u00fcnze 7-mal werfen?\r\n\r\nAntwort:<\/span>\r\n\r\nP(X=0) + P(X=1) = P(X\u22641)\r\n\r\nP(X\u22641) = 0,0078 + 0,0547 = 0,0625\r\n\r\nDie Wahrscheinlichkeit, dass wir h\u00f6chstens 1-mal Kopf werfen, betr\u00e4gt 6,25%.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nDas folgende Video bietet Ihnen weitere Beispiele anhand eines Gewinnspiels aus der FiveProfs-Kette.\r\n\r\n18.2 Binomialverteilung | Rechenbeispiel<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/_j3arANceyg\r\n

14.1 Der Vorzeichentest<\/h1>\r\nMit dem Vorzeichentest k\u00f6nnen zwei abh\u00e4ngige Merkmale<\/strong> auf Unterschiede getestet werden. Abh\u00e4ngig hei\u00dft hierbei, dass die Auspr\u00e4gung der Merkmale von einander abh\u00e4ngen. Beispielsweise dadurch, dass ein und dieselbe Person zu zwei verschiedenen Merkmalen (z.B. Bewertung zwei verschiedener Burger) oder zu zwei verschiedenen Zeitpunkten befragt wird (z.B. Bewertung des selben Burgers vor und nach einem Softdrink), man spricht hier auch von einem Messwiederholungsdesign<\/strong>.\r\n\r\nDie ungerichteten Hypothesen, die der Vorzeichentest dabei untersucht, lauten:\r\n\r\nH0<\/sub>: Es gibt keinen Unterschied zwischen beiden Messwerten bzw. Auspr\u00e4gungen.\r\nH1<\/sub>: Es gibt einen Unterschied zwischen beiden Messwerten bzw. Auspr\u00e4gungen.\r\n\r\nDamit k\u00f6nnen eine Reihe an unterschiedlichen Hypothesen \u00fcberpr\u00fcft werden.\r\n
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Beispiele f\u00fcr zu \u00fcberpr\u00fcfende Hypothesen<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n

\r\n\r\nHypothesenpaare f\u00fcr zwei unterschiedliche Messzeitpunkte:\r\n\r\nH0<\/sub>: Der Burger schmeckt zu beiden Messzeitpunkten gleich.\r\nH1<\/sub>: Der Burger schmeckt vor dem Softdrink s\u00fc\u00dfer als nachher.\r\n\r\nH0<\/sub>: Die Mitarbeitermotivation ist zu beiden Messzeitpunkten gleich.\r\nH1<\/sub>: Die Mitarbeitermotivation ist nach dem Teamevent h\u00f6her als zuvor.\r\n\r\nHypothesenpaare f\u00fcr zwei unterschiedliche Auspr\u00e4gungen (die bei der selben Person erhoben wurden):\r\n\r\nH0<\/sub>: Die Burger unterscheiden sich geschmacklich nicht voreinander.\r\nH1<\/sub>: Burger A schmeckt besser als Burger B.\r\n\r\nH0<\/sub>: Die Zufriedenheit mit der Sauberkeit im Empfangs- und Thekenbereich ist gleich.\r\nH1<\/sub>: Die Zufriedenheit mit der Sauberkeit im Thekenbereich unterscheidet sich von der Zufriedenheit mit der Sauberkeit im Empfangsbereich.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nDer Vorzeichentest ber\u00fccksichtigt bei der \u00dcberpr\u00fcfung der Unterschiede zwischen zwei Messwerten lediglich, ob einer der Werte besser oder schlechter ist. Jedoch nicht, um wie viel besser oder schlechter der eine Messwert im Gegensatz zum anderen Messwert abschneidet. M\u00f6chten wir\u00a0 auch diese Informationen bei unserer Analyse mit einbeziehen, sollten wir auf den t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben zur\u00fcckgreifen. Dieser hat jedoch h\u00f6here Voraussetzungen als der Vorzeichentest und wird im n\u00e4chsten Kapitel behandelt.\r\n\r\nDie Voraussetzungen des Vorzeichentests sind<\/strong>:\r\n