{"id":1406,"date":"2021-05-17T19:51:57","date_gmt":"2021-05-17T17:51:57","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/?post_type=chapter&#038;p=1406"},"modified":"2025-11-05T08:45:40","modified_gmt":"2025-11-05T07:45:40","slug":"t-test_t-tests","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/t-test_t-tests\/","title":{"rendered":"T-Tests"},"content":{"raw":"<h1>15.0 Einleitung t-Tests<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der t-Test widmet sich, wie auch schon der Rangsummen-Test, den Sie im letzten Kapitel kennengelernt haben, der Testung von Unterschiedshypothesen. Er \u00fcberpr\u00fcft hierbei, ob ein <strong>Unterschied zwischen<\/strong> <strong>zwei Gruppen hinsichtlich einer intervallskalierten Variable <\/strong>besteht. Damit lassen sich Fragestellungen beantworten, wie: \"Erziele ich mit r\u00f6tlichem Licht in meiner Burgerfilialer mehr Umsatz als mit Nat\u00fcrlichem?\" oder \"Sind Kunden nach dem Verzehr eines FiveProf-Burgers bereit mehr Geld f\u00fcr ein Softdrink auszugeben als vor dem Verzehr?\". Der entscheidende Unterschied gegen\u00fcber dem Rangsummen-Test ist die Voraussetzung, dass die abh\u00e4ngige Variable metrisch skaliert sein muss. So untersuchen die eben genannten Fragestellungen, ob ein Unterschied im Umsatz oder in der Zahlungsbereitschaft [in \u20ac] vorliegt, anstatt einen Unterschied im Gl\u00fccksempfinden zu erfassen, der mit Hilfe einer 3er-Skala abgefragt wurde (also ordinal skaliert ist). Die (ungerichteten) Hypothesen, die mittels des t-Tests \u00fcberpr\u00fcft werden, lauten somit:<\/p>\r\nH<sub>0<\/sub>: Es gibt keinen Unterschied zwischen den beiden Testgruppen\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt einen Unterschied zwischen den beiden Testgruppen.\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu veranschaulichen, wie wir mittels des t-Tests diese Hypothesen \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen, bedienen wir uns eines Beispiels aus der FiveProfs-Burgerkette. Stellen Sie sich vor, wir m\u00f6chten unsere Kunden zum Verweilen in unseren Filialen bewegen und kaufen aus diesem Grund Sofas der Klasse \"Comfort-Luxe\". Nun m\u00f6chten wir herausfinden, ob unsere Ma\u00dfnahme Wirkung zeigt und vergleichen die durchschnittliche Besuchszeit unserer Comfort-Filiale mit einer Kontroll-Filiale ohne \"Comfort-Luxe\" Sofas. Als Erstes berechnen wir die mittlere Besuchszeit einer zuf\u00e4lligen Stichprobe aus jeder Filiale. In der Filiale mit den Comfort-Sofas betr\u00e4gt die Besuchszeit durchschnittlich <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>1<\/sub>= 20 min und in der Kontroll-Filiale <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>2<\/sub>= 14 min. Wir sehen nun also deskriptiv, dass die Verweilzeit in der Filiale mit den neuen Sofas l\u00e4nger ist. Um jedoch sicher zu sein, dass dieser Effekt auch in der Population so zu erwarten ist (also bei all unseren Filialen und nicht nur bei der kleinen Stichprobe), rechnen wir den t-Test. Dieser sagt uns wie wahrscheinlich es ist, einen solchen Unterschied von 6 Minuten in der Verweildauer zu finden unter der Annahme, dass es in der Population gar keinen Unterschied gibt. Wir ermitteln also die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten einer solchen (oder gr\u00f6\u00dferen) Mittelwertsdifferenz, unter der Annahme der Nullhypothese. Um hierbei die Wahrscheinlichkeit der Differenz einzusch\u00e4tzen, wird der Standardfehler als Ma\u00dfstab verwendet. Ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten der Differenz (in unserem Fall der 6 min\u00fctige Unterschied) gering genug, k\u00f6nnen wir unsere Nullhypothese verwerfen und einen signifikanten Unterschied zwischen beiden Filialen unterstellen. Anders gesagt k\u00f6nnen wir also sagen, dass es sehr unwahrscheinlich ist, dass das gefundene Ergebnis nur zuf\u00e4llig entstanden ist und sprechen daher von einem signifikanten (also statistisch bedeutsamen) Ergebnis.<\/p>\r\nNoch Fragen offen geblieben? Das folgende Video verdeutlicht Ihnen das Vorgehen des t-Tests an einem weiteren Beispiel aus der FiveProfs-Kette.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/IRbkFrzi2q0\">14.1 T-Test | Einf\u00fchrung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/IRbkFrzi2q0\r\n<h1>15.1 Die t-Verteilung<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie die Kapitel\u00fcberschrift schon andeutet, gibt es nicht nur einen t-Test, sondern eine ganze Reihe von t-Tests, die Unterschiedshypothesen \u00fcberpr\u00fcfen. Allen gemein ist die Tatsache, dass Sie auf der sogenannten t-Verteilung beruhen ( auch Studentsche t-Verteilung genannt[footnote]Student: The Probable Error of a Mean. In: Biometrika. 6, Nr. 1, 1908, S. 1\u201325. JSTOR 2331554. doi:10.1093\/biomet\/6.1.1.[\/footnote]). Doch was genau ist die t-Verteilung und wie unterscheidet sie sich von den anderen kennengelernten Verteilungen?<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Anders als bei der bereits kennengelernten z-Verteilung gibt es nicht die eine t-Verteilung. Vielmehr beschreibt die t-Verteilung eine Schar von Verteilungen, die abh\u00e4ngig von den Freiheitsgraden in ihrer Form variiert.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1450 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1.png\" alt=\"\" width=\"363\" height=\"250\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Je gr\u00f6\u00dfer hierbei die Anzahl der Freiheitsgrade, desto st\u00e4rker n\u00e4hert sich die t-Verteilung an die Standardnormalverteilung an. Ab einem n \u2265 30 kann man sie aus diesem Grund konventionsgem\u00e4\u00df in eine Standardnormalverteilung approximieren (= \u00fcberf\u00fchren). F\u00fcr balancierte Designs, spricht wenn beide Stichproben gleich gro\u00df sind, berechnen sich die Freiheitsgrade (hierbei df) relativ einfach durch die nachfolge Formel. Pr\u00fcft man hingegen einen Unterschied zwischen unterschiedlichen Gruppengr\u00f6\u00dfen, wird die Formel der Freiheitsgrade deutlich komplizierter. Jedoch rechnen die gel\u00e4ufigen Statistikprogramme wie SPSS die Freiheitsgrade automatisch aus, sodass wir den zweiten Fall hier nicht weiter vertiefen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1413 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-1024x173.png\" alt=\"\" width=\"740\" height=\"125\" \/>\r\n\r\n&nbsp;\r\n<h1>15.2 Arten von t-Tests<\/h1>\r\nGrunds\u00e4tzlich gibt es drei M\u00f6gliche Anwendungsf\u00e4lle von Tests f\u00fcr Mittelwertsunterschiede f\u00fcr die jeweils eine andere Variante des t-Tests verwendet wird. Diese unterscheiden sich jeweils hinsichtlich ihrer Voraussetzungen, Hypothesen, sowie der Berechnung der Pr\u00fcfstatistik. Welchen der drei verschiedene Varianten Sie ben\u00f6tigen, h\u00e4ngt von den Daten ab, die Sie vorliegen haben.\r\n<h2>t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der in der Praxis am h\u00e4ufigsten angewendete t-Test ist der t<strong>-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/strong>. In diesem Fall testen wir, ob sich die Mittelwerte zwischen <em>zwei<\/em> <em>unabh\u00e4ngigen<\/em> Gruppen signifikant voneinander unterscheiden (Bei mehr als zwei Stichproben kommen andere testverfahren, z.B. die Varianzanalyse zum Einsatz). Die unabh\u00e4ngige Variable ist dementsprechend dichotom (meist Gruppe 1 und Gruppe 2 oder \"M\u00e4nnliche Kunden\" und \"weibliche Kundinnen\"). M\u00f6gliche Fragestellungen w\u00e4ren hierbei: \"Kaufen M\u00e4nner mehr Burger als Frauen?\" oder \"Schmeckt der vegane Burger FiveProfs-Kunden besser als der Vegetarische?\" (Geschmackmessung mittels einer Likert-Skalierung).<\/p>\r\n\r\n<h2>t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die zweite Art der t-Testung ist der <strong>t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/strong>. Auch in diesem Fall m\u00f6chten wir herausfinden, ob sich zwei Gruppen signifikant voneinander unterscheiden. Jedoch sind die beiden Gruppen in diesem Fall abh\u00e4ngig voneinander oder es handelt sich um verbundene Stichproben. \u00dcblicherweise ist dies dann der Fall, wenn wir eine Messwiederholung haben. Also die selben Personen zu zwei Zeitpunkten befragt werden. <span style=\"font-size: 14pt;\">Beispielsweise m\u00f6chten wir testen, ob man nach dem Essen eines Burgers mehr Endorphine im K\u00f6rper hat als zuvor. Hierbei wird ein und dieselbe Person zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten hinsichtlich der Endorphine im Blut untersucht. Da das Endorphinlevel des zweiten Messzeitpunkts unter anderem davon abh\u00e4ngt, wie viele Endorphine vor dem Essen der Burgers im Blut waren, bedingen sich die beiden Werte gegenseitig.<\/span><\/p>\r\n\r\n<h2>Einstichproben-t-Test<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der letzte Fall, in dem ein t-Test zum Einsatz kommt, ist, wenn wir erfassen m\u00f6chten, ob sich der Mittelwert eine Stichprobe signifikant von einem bekannten Wert der Population unterscheidet. In solch einem Fall rechnen wir einen<strong> Einstichproben-t-Test<\/strong>. Dadurch k\u00f6nnen wir Fragestellungen beantworten, wie: \"Haben Five-Prof Kunden einen h\u00f6hren IQ als der Durchschnittsb\u00fcrger (der einen IQ von 100 hat)?\". Im Grunde beantwortet der t-Test f\u00fcr eine Stichprobe die selbe Fragestellung wie der Z-Test, den Sie bereits in Kapitel 11 kennengelernt haben. Der einziger Unterschied zwischen den beiden Tests ist, dass Sie f\u00fcr den Z-Test die Populationsvarianz \u03c3<sup>2\u00a0<\/sup>kennen m\u00fcssen. Im Falle des Einstichproben-t-Tests kennen wir diese nicht und sch\u00e4tzen sie deshalb auf Basis der Stichprobenvarianz.<\/p>\r\nWeitere Beispiele und eine \u00dcbersicht, wann Sie welchen Test benutzen sollten, gibt es im folgenden Video.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/s4Kb2UAe-JA\">14.3 T-Test | Einstichproben-, Abh\u00e4ngiger- und Unabh\u00e4ngiger T-Test<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/s4Kb2UAe-JA\r\n<h1>15.3 t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Beginnen wir mit dem h\u00e4ufigsten t-Test in der Praxis: dem t-Test f\u00fcr zwei unabh\u00e4ngige Stichproben. Dieser Test <strong>\u00fcberpr\u00fcft, ob sich zwei unabh\u00e4ngige Stichproben hinsichtlich ihres Mittelwerts unterscheiden<\/strong>. Zur Veranschaulichung des Vorgehens bedienen wir uns des Beispiels aus der Einleitung. Stellen Sie sich vor, wir m\u00f6chten herausfinden, ob es einen Unterschied in der durchschnittlichen Besuchszeit unserer FiveProfs-Filiale gibt, wenn wir \"Comfort-Luxe\" Sofas statt unsere normalen Sofas in der Filiale platzieren. Daf\u00fcr statten wir unsere Filiale in Stuttgart mit den \"Comfort-Luxe\"-Sofas aus und vergleichen die durchschnittliche Besuchszeit mit unserer Filiale in N\u00fcrnberg, die die normalen Sofas besitzt (Hierbei haben wir sichergestellt, das beide Filialen im Hinblick auf die sonstige Ausstattung, die Lage etc. sehr \u00e4hnlich sind).<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">weitere Beispiele f\u00fcr m\u00f6gliche Fragestellungen:<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n<ul>\r\n \t<li>Ist eine Therapie erfolgreicher als keine Therapie?<\/li>\r\n \t<li>Ist eine neue Behandlungsmethode besser als die bisherige?<\/li>\r\n \t<li>Verkauft sich ein Produkt besser mit dem Zusatz \u201eNEU\u201c?<\/li>\r\n \t<li>Sind Mitarbeiter in Einzelb\u00fcros produktiver als in Gro\u00dfraumb\u00fcros?<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2>Hypothesen<\/h2>\r\nZun\u00e4chst bilden wir die Hypothesen. Bei ungerichteten Fragestellungen (wie in unserem Beispiel) lauten die allgemeinen Hypothesen des t-Tests f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben wie folgt:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in den Mittelwerten zwischen beiden Testgruppen (\u03bc<sub>1 <\/sub>= \u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>- \u03bc<sub>2<\/sub> = 0)\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den Mittelwerten zwischen beiden Testgruppen (\u03bc<sub>1 <\/sub>\u2260\u00a0\u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>- \u03bc<sub>2<\/sub> \u2260 0)\r\n\r\nHaben wir hingegen bereits eine Hypothese \u00fcber die Richtung des Unterschieds, testen wir gerichtete Hypothesen mit folgendem Hypothesenpaar:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Testgruppe 1 ist <strong>schlechter (besser)<\/strong>\u00a0<strong>als oder gleich <\/strong>\u00a0Testgruppe 2\u00a0(\u03bc<sub>1 <\/sub>\u2264\u00a0\u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>\u2265\u00a0\u03bc<sub>2<\/sub>)\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: Testgruppe 1 ist <strong>besser (schlechter)<\/strong>\u00a0<strong>als <\/strong>\u00a0Testgruppe 2\u00a0(\u03bc<sub>1 <\/sub>&gt; \u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>&lt;\u00a0\u03bc<sub>2<\/sub>)\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">Beispiel Comfort-Luxe Sofa<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nIn unserem Beispiel m\u00f6chten herausfinden ob es einen Unterschied in der durchschnittlichen Besuchszeit unserer FiveProfs-Filiale gibt, wenn wir \"Comfort-Luxe\" Sofas statt unsere normalen Sofas in der Filiale platzieren. Wir pr\u00fcfen damit eine ungerichtete Fragestellung. Unser Hypothesenpaar lautet in diesem Fall:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen (\u03bc<sub>Comfort <\/sub>= \u03bc<sub>Normal <\/sub>)\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen \u00a0(\u03bc<sub>Comfort\u00a0 <\/sub>\u2260 \u03bc<sub>Normal <\/sub>)\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nNoch Fragen offen geblieben? Das folgende Video veranschaulicht Ihnen die m\u00f6glichen Hypothesen der t-Tests anhand eines DJ-Beispiels in der FiveProfs-Kette.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/ViXA_UMmu14\">14.2 T-Test | Hypothesen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/ViXA_UMmu14\r\n<h2>Voraussetzungen<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Nach der Aufstellung der Hypothesen, gilt es die Voraussetzungen zu \u00fcberpr\u00fcfen. Der T-Test hat als parametrischer Tests ist \"h\u00f6chsten\" Voraussetzungen, wenn es darum geht Unterschiede zwischen zwei Gruppen zu testen. Daf\u00fcr besitzt er aber auch die gr\u00f6\u00dfte Power (=Wahrscheinlichkeit, dass ein Effekt entdeckt wird, wenn ein Effekt auch tats\u00e4chlich existiert). Die Voraussetzungen sind:<\/p>\r\n\r\n<ul>\r\n \t<li>Die Messwerte von verschiedenen Personen sind <strong>unabh\u00e4ngig<\/strong> voneinander.\r\nUnabh\u00e4ngige Beobachtungen bedeuten, dass die Messwerte eines Probanden nicht von den Messwerten eines anderen Probanden abh\u00e4ngen. Um dies zu gew\u00e4hrleisten, k\u00f6nnen wir in beiden Stichproben verschiedene Personen befragen, die zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt werden oder wie in unserem Beispiel verschiedene Personen an zwei unterschiedlichen Orten befragen.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nDar\u00fcber hinaus gibt es eine Reihe von Voraussetzungen, die in Bezug auf die abh\u00e4ngige Variable (in unserem Beispiel ist das die Besuchszeit), gelten. Die Messwerte der abh\u00e4ngigen Variable m\u00fcssen:\r\n<ul>\r\n \t<li>mindestens <strong>intervallskaliert<\/strong> sein<\/li>\r\n \t<li>m\u00f6glichst <strong>kleine Ausreiser<\/strong> haben<\/li>\r\n \t<li><strong>in beiden Grundgesamtheiten<\/strong>\u00a0<strong>normalverteilt <\/strong>sein\r\nDiese Voraussetzung m\u00fcssen wir testen, wenn eine oder beide Stichprobengr\u00f6\u00dfen kleiner als 30 sind. In diesen F\u00e4llen m\u00fcssen wir vor dem eigentlichen T-Test einen Test auf die Normalverteilung durchf\u00fchren. M\u00f6gliche Tests w\u00e4ren z.B. der Shapiro-Wilk-Test, Kolmogorow-Smirnow-Test oder Lilliefors-Test. Sie testen inwieweit die vorliegenden Messwerte von der Normalverteilung abweichen. Um die Voraussetzung von normalverteilten Daten zu erf\u00fcllen sollten sie deshalb <em>nicht<\/em> signifikant werden.\r\nAb einer Gr\u00f6\u00dfe von n \u2265 30 k\u00f6nnen wir basierend auf dem zentralen Grenzwerttheorem konventionsgem\u00e4\u00df von einer Normalverteilung in der Stichprobenkennwerteverteilung ausgehen (N\u00e4heres zum zentralen Grenzwerttheorem finden sie im Kapitel Konfidenzintervalle) und k\u00f6nnen diese Voraussetzung somit als erf\u00fcllt erachten. \u00dcberdies zeigen aktuelle Forschungsergebnisse zunehmend, dass der T-Test auch bei Stichprobengr\u00f6\u00dfen unter 30 bei moderater Nicht-Normalit\u00e4t verl\u00e4sslich ist, solange keine ausgepr\u00e4gten Ausrei\u00dfer bestehen, und erzielt in der Regel eine h\u00f6here Power als der Wilcoxon-Test.[footnote]<strong data-start=\"1011\" data-end=\"1062\">Rasch, D., Kubinger, K. D., &amp; Moder, K. (2011).<\/strong> \u201cThe two-sample t test: Pre-testing its assumptions does not pay off.\u201d <em data-start=\"1134\" data-end=\"1154\">Statistical Papers<\/em>, 52(1), 219\u2013231.[\/footnote]<\/li>\r\n \t<li>in beiden Grundgesamtheiten <strong>Homoskedastizit\u00e4t<\/strong> aufweisen.\r\nHomoskedastizit\u00e4t ist gegeben, wenn die Varianzen in beiden Grundgesamtheiten gleich sind. Praktisch bedeutet dies f\u00fcr uns, dass sich die Varianzen der beiden gezogenen Stichproben nicht signifikant unterscheiden d\u00fcrfen. Man spricht auch von Varianzhomogenit\u00e4t. Um dies zu \u00fcberpr\u00fcfen, muss vor jedem T-Test ein Test auf Varianzhomogenit\u00e4t durchgef\u00fchrt werden. Das g\u00e4ngigste Verfahren ist hierzu der Levene-Test, der im Falle der Varianzhomogenit\u00e4t <em>nicht<\/em> signifikant wird.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nDoch was passiert, wenn eine der Voraussetzungen nicht erf\u00fcllt ist? Der T-Test reagiert meist robust auf solche Verletzungen. Ausnahmen sind unterschiedlich gro\u00dfe Stichproben <em>und<\/em> Varianzen. Dann m\u00fcssen wir auf andere Testverfahren, wie z.B. nicht-parametrische Tests, ausweichen, die geringere Voraussetzungen haben. Die folgende Tabelle zeigt Ihnen welche Tests sich in den jeweiligen F\u00e4llen eignen.\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 96px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">nicht<\/span> erf\u00fcllte Voraussetzung<\/strong><\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\"><strong>Alternativtest<\/strong><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Intervallskalierung<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Man-Whitney-U-Test (ordinal)\r\nWilcoxon-Rangsummen-Test (ordinal)\r\nChi-Quadrat-Test (nominal)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Normalverteilung<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Man-Whitney-U-Test\r\nWilcoxon-Rangsummen-Test<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Homoskedastizit\u00e4t<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Welch-Test (intervall)\r\nMan-Whitney-U-Test (ordinal)\r\nWilcoxon-Rangsummen-Test (ordinal)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">unabh\u00e4ngige Stichproben<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nFalls noch Fragen bez\u00fcglich den einzelnen Voraussetzungen offen sind oder sie nochmal genau wissen wollen, was es mit der Homoskedastizit\u00e4t auf sich hat, bietet das folgende Video nochmal eine Wiederholung.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/SUkza8yxS5A\">14.4 T-Test | Voraussetzungen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/SUkza8yxS5A\r\n<h2>Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun kommen wir zur eigentlichen Testung unsrer Hypothese. Hierzu berechnen wir im ersten Schritt die Mittelwerte in beiden Stichproben, die wir im Weiteren auf einen signifikanten Unterschied hin testen. Nehmen wir zur Veranschaulichung noch einmal unser Beispiel mit den Comfort-Sofas: In der Filiale mit den Comfort-Sofas berechnen wir eine durchschnittliche Besuchszeit von\u00a0 <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>1<\/sub>= 20 min (n=35) und in der Kontroll-Filiale ohne Comfort-Sofas eine Verbleibungsdauer von\u00a0 <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>2<\/sub>= 14 min (n=35). Nun k\u00f6nnen wir \u00fcber die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe T die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die gefundene Differenz von 6 Minuten bestimmen unter Annahme, dass beide Stichproben aus der selben Population stammen. Ihre Formel lautet wie folgt:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1419 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-1024x144.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"144\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um herauszufinden, ob der Unterschied gro\u00df genug ist, sodass wir nicht mehr von einem Zufallsprodukt ausgehen k\u00f6nnen, setzt der T-Wert die Differenz der Mittelwerte in Relation zur Streuung. Konkret wird hierbei der Standardfehler des Sch\u00e4tzers der Differenz der Mittelwerte als Ma\u00dfstab verwendet, um die Gr\u00f6\u00dfe der Differenzen einzusch\u00e4tzen.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch wie berechnen wir den Standardfehler des Sch\u00e4tzers der Differenz der Mittelwerte? Wir k\u00f6nnen ihn aus der Populationsvarianz bzw. durch dir korrigierte Stichprobenvarianz (wenn wir die Populationsvarianz nicht kennen sollten) sch\u00e4tzen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1425 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-1024x194.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"194\" \/>\r\n\r\nHierbei sollte beachtet werden, dass die Formeln lediglich f\u00fcr balancierte Designs gelten - sprich wenn beide Stichproben gleich gro\u00df sind. Wenn verschiedene Stichprobengr\u00f6\u00dfen vorhanden sind, wird eine korrigierte Formel zur Berechnung des Standardfehlers verwendet.\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Sch\u00e4tzung der Populationsvarianz durch die Stichprobe<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nFalls wir den Sch\u00e4tzer der Populationsvarianz nicht kennen sollten (was in der Forschung normalerweise der Fall ist), k\u00f6nnen wir ihn aus der Stichprobe selbst sch\u00e4tzen. Die Formel lautet wie folgt:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1451 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22.png\" alt=\"\" width=\"621\" height=\"283\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nIn diese Formel k\u00f6nnen wir nun unsere erhobenen Kennwerte aus den Stichproben einsetzen und so den empirischen T-Wert ermitteln, den wir anschlie\u00dfend gegen den kritischen T-Wert testen und so unsere Hypothese entweder best\u00e4tigen oder ablehnen.\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel: Comfort-Luxe Sofas in den FiveProfs Filialen<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nWir m\u00f6chten die Hypothese \u00fcberpr\u00fcfen, ob es einen Unterschied in der Besuchsdauer gibt, wenn wir Comfort-Luxe Sofas in unseren Five-Profs Filialen platzieren. Dazu haben wir in zwei Filialen unabh\u00e4ngige Stichproben von jeweils n=35 Kunden gezogen. Die durchschnittliche Besuchszeit in der Filiale mit den Comfort-Sofas war\u00a0 <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>1<\/sub>= 20 Minuten (Standardabweichung = 6,5 Minuten) und in der Kontroll-Filiale ohne Comfort-Sofas\u00a0 <img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>2<\/sub>= 14 Minuten (Standardabweichung = 6 Minuten). Berechnen Sie die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe T:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1427 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-1024x502.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"502\" \/>\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nAls weiteres Beispiel zeigt Ihnen das folgende Video ein weiteres Rechenbeispiel zum T-Test.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/vV1lcO_TZ18\">14.5 T-Test | Rechenbeispiel Unabh\u00e4ngiger T-Test<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/vV1lcO_TZ18\r\n<h2>Interpretation des t-Werts<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im n\u00e4chsten Schritt ermitteln wir, wie wahrscheinlich das Auftreten unseres empirisch errechneten t-Werts unter der Annahme der Nullhypothese (H<sub>0<\/sub>: Es gibt keinen Unterschied zwischen den beiden Gruppen) ist. Ist das Auftreten \"unwahrscheinlich genug\" k\u00f6nnen wir die Nullhypothese ablehnen und unsere Alternativhypothese best\u00e4tigen. Was hierbei als \"unwahrscheinlich genug\" gilt, legen wir im Vorhinein mit unserem Signifikanzniveau fest. Die nachfolgende Tabelle zeigt Ihnen nochmal die g\u00e4ngigen Signifikanzniveaus.<\/p>\r\n\r\n<h2>Schritt 1: kritischen t-Wert ermitteln<\/h2>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Abh\u00e4ngig von diesem Signifikanzniveau und je nach Art der Hypothese (einseitig oder zweiseitig) k\u00f6nnen wir nun einen kritischen t-Wert (t<sub>krit<\/sub>) definieren. Dieser bildet den Grenzwert, bei dessen \u00dcberschreitung (bzw. Unterschreitung) wir unsere Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen. Die nachfolgende Tabelle zeigt Ihnen, welcher kritischer t-Wert bei welcher Hypothese eingesetzt wird. \u03b1 steht hierbei f\u00fcr das verwendete Signifikanzniveau und <em>df<\/em> f\u00fcr den Freiheitsgrad. Bei balancierten Designs (=Stichproben sind gleich gro\u00df) lautet die Formel f\u00fcr die Berechnung des Freiheitsgrads wie folgt: df = n<sub>1\u00a0<\/sub>+ n<sub>2<\/sub> - 2<\/p>\r\n\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 186px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 25%;\"><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%;\">\r\n<p style=\"text-align: center;\">ungerichtet<\/p>\r\n<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%;\">\r\n<p style=\"text-align: center;\">gerichtet<\/p>\r\n<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%;\">\r\n<p style=\"text-align: center;\">gerichtet<\/p>\r\n<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 68px;\">\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">Hypothese<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">\r\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> = \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\r\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2260 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\r\n<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">\r\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2264 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\r\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &gt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\r\n<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">\r\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2265 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\r\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &lt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\r\n<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">kritischer T-Wert<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; text-align: center; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-\u03b1\/2, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; text-align: center; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; text-align: center; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 102px;\">\r\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><img class=\"alignnone size-medium wp-image-1440\" style=\"font-size: 16.8px;\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-300x120.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"120\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><img class=\"alignnone size-medium wp-image-1441\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-300x120.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"120\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><img class=\"alignnone size-medium wp-image-1442\" style=\"font-size: 16.8px;\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-300x119.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"119\" \/><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">\u00dcber die Tabellen der t-Verteilung k\u00f6nnen wir daraufhin den entsprechenden kritischen t-Wert heraussuchen. Hierzu suchen wir zun\u00e4chst in der ersten Spalte den<span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\"> entsprechenden Freiheitsgrad, den wir zuvor berechnet haben, heraus. Abh\u00e4ngig vom gew\u00e4hlten Signifikanzniveau suchen wir uns anschlie\u00dfend den t-Wert aus, der die entsprechende Fl\u00e4che abbildet. Als Beispiel: Bei einem gew\u00e4hlten Signifikanzniveau von \u03b1 = 5% und einer ungerichteten (beidseitigen) Hypothese, nehmen wir den t-Wert f\u00fcr die Fl\u00e4che von 0,975 (da sich die 5% auf beide Seiten aufteilen). Bei einem Freiheitsgrad von df = 10 (nur als Beispiel) erhalten wir so einen kritischen t-Wert von t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-0,05\/2, (10)<\/sub>\u00a0 = \u00b12,228.<\/span><\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1452 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild23.png\" alt=\"\" width=\"536\" height=\"600\" \/>\r\n\r\nWenn der Freiheitsgrad gr\u00f6\u00dfer als 30 ist, n\u00e4hert sich die t-Verteilung so stark an die Standardnormalverteilung an, sodass wir in diesen F\u00e4llen einen z-Wert als N\u00e4herungswert f\u00fcr den t-Wert benutzen k\u00f6nnen. In diesen F\u00e4llen suchen wir in der Tabelle der z-Verteilung den z-Wert, der die selbe Fl\u00e4che abdeckt, wie unser gesuchter t-Wert. Das nachfolgende Beispiel zeigt Ihnen eine m\u00f6gliche Situation:\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nIn unserem Beispiel pr\u00fcfen wir, ob es einen Unterschied in der Besuchszeit zwischen FiveProfs Filialen mit Comfort-Luxe Sofas und ohne gibt. Daf\u00fcr haben wir zu Beginn folgende Hypothesen aufgestellt:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in der mittleren Besuchszeit zwischen beiden Filialen (\u03bc<sub>Comfort <\/sub>= \u03bc<sub>Normal <\/sub>)\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen \u00a0(\u03bc<sub>Comfort\u00a0 <\/sub>\u2260 \u03bc<sub>Normal <\/sub>)\r\n\r\nUnsere ermittelte Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe T = 3,955 (t<sub>emp<\/sub>). Nun m\u00f6chten wir entscheiden, ob wir\u00a0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% die H<sub>0<\/sub> ablehnen k\u00f6nnen, oder nicht. Die Stichprobengr\u00f6\u00dfen betragen jeweils 35 Personen. Die Hypothese ist ungerichtet.\r\n<ol>\r\n \t<li>Freiheitsgrad berechnen\r\ndf = n<sub>1\u00a0<\/sub>+ n<sub>2\u00a0<\/sub>- 2 = 35 + 35 - 2 = 68<\/li>\r\n \t<li>kritischen T-Wert berechnen\r\nda df &gt; 30 kann in die Standardnormalverteilung approximiert werden. Wir k\u00f6nnen dementsprechend einen z-Wert als N\u00e4herungswert annehmen.\r\nt<sub>krit<\/sub> = \u00b1 t<sub>1-0,05\/2, (68)\u00a0 <\/sub>\u2248 \u00b1 z<sub>1-0,05\/2 <\/sub>= \u00b1 z<sub>0,975 <\/sub>=\u00a0 \u00b1 1,96<\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2>Schritt 2: Entscheidung<\/h2>\r\nWurde der kritische und empirische T-Wert ermittelt, kann daraufhin die Entscheidung getroffen werden, ob wir die Nullhypothese verwerfen oder beibehalten. Abh\u00e4ngig von der Hypothese (einseitig oder zweiseitig) lehnen wir die Nullhypothese ab, wenn der kritische t-Wert durch unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe \u00fcber- bzw. unterschritten wird und somit t<sub>emp\u00a0<\/sub>im Ablehnungsbereich liegt.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1453 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-1024x305.png\" alt=\"\" width=\"792\" height=\"236\" \/>\r\n\r\nUm dies herauszufinden, stellen wir die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe (t<sub>emp<\/sub>) und den kritischen t-Wert (t<sub>krit<\/sub>) gegen\u00fcber und vergleichen die beiden. Die folgende Tabelle zeigt Ihnen auf, in welchen F\u00e4llen wir die Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen.\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 116px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 68px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">Hypothese<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> = \u03bc<sub>2<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2260 \u03bc<sub>2<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2264 \u03bc<sub>2<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &gt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2265 \u03bc<sub>2<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &lt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">empirischer T-Wert (t<sub>emp<\/sub>)<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-1443\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-300x122.png\" alt=\"\" width=\"124\" height=\"66\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-1444\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-300x122.png\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"47\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-1444\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-300x122.png\" alt=\"\" width=\"118\" height=\"48\" \/><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">kritischer T-Wert (t<sub>krit<\/sub>)<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-\u03b1\/2, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)\u00a0<\/sub> = -t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen, wenn<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">|t<sub>emp<\/sub> | &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &lt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel: Comfort-Luxe Sofas in den FiveProfs Filialen<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nIn unserem Beispiel pr\u00fcfen wir, ob es einen Unterschied in der Besuchszeit zwischen FiveProfs Filialen mit Comfort-Luxe Sofas und ohne gibt. Daf\u00fcr haben wir zu Beginn folgende Hypothesen aufgestellt:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in der mittleren Besuchszeit zwischen beiden Filialen (\u03bc<sub>Comfort <\/sub>= \u03bc<sub>Normal <\/sub>)\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen \u00a0(\u03bc<sub>Comfort\u00a0 <\/sub>\u2260 \u03bc<sub>Normal <\/sub>)\r\n\r\nUnsere ermittelte Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe ist T = 3,955 (t<sub>emp<\/sub>). Unser kritischer t-Wert lautet t<sub>krit<\/sub>= \u00b1 1,96. Nun m\u00f6chten wir entscheiden, ob wir mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% die H<sub>0<\/sub> ablehnen k\u00f6nnen, oder nicht. Die Stichprobengr\u00f6\u00dfen betragen jeweils 35 Personen.\r\n\r\nEntscheidung\r\n|t<sub>emp<\/sub> | &gt; t<sub>krit<\/sub>\r\n|3,995| &gt; \u00b11,96 -&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen.\r\n\r\nAntwort: Es gibt einen hoch signifikanten Unterschied in der Besuchszeit zwischen FiveProfs Filialen mit Comfort-Luxe Sofas und ohne (Irrtumswahrscheinlichkeit 5%).\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nFalls noch Fragen offen geblieben sind oder Sie n\u00e4her verstehen m\u00f6chten, was es mit den Fl\u00e4chen in den Tabellen auf sich hat, gibt Ihnen das folgende Video einen guten \u00dcberblick. Zudem wird die Konstruktion des Ablehnungsbereichs im Kapitel z-Tests ausf\u00fchrlicher erkl\u00e4rt.\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/O3LRs7kAVP8\r\n<h1>15.4 t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/h1>\r\nDer t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben pr\u00fcft (ebenso wie der t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben), ob es einen signifikanten Unterschied zwischen zwei Mittelwerten gibt. Er beantwortet dabei Fragestellungen wie: \"Sind FiveProfs Kunden nach dem Verzehr unserer Burger gl\u00fccklicher?\" oder \"Ist man am Ende einer Warteschlange frustrierter als in der Mitte der Warteschlange?\". Diese Fragen k\u00f6nnte man ebenso gut mit einem t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben beantworten. Das entscheidende Kriterium, weshalb wir uns dennoch f\u00fcr einen t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben entscheiden, liegt im Versuchsdesign. In Fall des t-Tests f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben gehen wir davon aus, dass sich die beiden Mittelwerte gegenseitig beeinflussen. Beispielsweise dadurch, dass wir ein und dieselbe Person zwei Mal befragen - sprich: wenn wir ein Messwiederholungsdesign haben. Solch ein Design lohnt sich, da die Fehlervarianz wegf\u00e4llt, die wir normalerweise h\u00e4tten, wenn wir unterschiedliche Personen befragen w\u00fcrden.\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">weitere Beispiel-Fragestellungen<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n<ul>\r\n \t<li>Wird ein Produkt nach Betrachten einer Werbung besser bewertet als vorher?<\/li>\r\n \t<li>Steigt die Arbeitszufriedenheit nach Durchf\u00fchrung von Trainings?<\/li>\r\n \t<li>Werden zwei Produktvarianten unterschiedlich von einer Stichprobe bewertet?<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2>Hypothesen<\/h2>\r\nBevor wir uns den Hypothesen widmen, sollten wir uns zun\u00e4chst die \"Testlogik\" vergegenw\u00e4rtigen. Denn der t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben stellt nicht wie der t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben beide Mittelwerte gegen\u00fcber, um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob sie sich unterscheiden, sondern bedient sich eines Zwischenschritts. Er bildet zun\u00e4chst die Differenz aus den beiden Mittelwerten (\u03bc<sub>d<\/sub>= \u03bc<sub>1 <\/sub>- \u03bc<sub>2<\/sub>) und \u00fcberpr\u00fcft daraufhin, ob sich diese Differenz signifikant von Null unterscheidet. Statt also zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob beide Mittelwerte gleich sind, pr\u00fcft er, ob die Differenz der beiden Mittelwerte gleich Null ist. Dementsprechend unterscheiden sich auch die Hypothesen und lauten um ungerichteten Fall:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Der Mittelwert der Differenzen\u00a0ist gleich Null. (\u03bc<sub>d<\/sub> = 0) (=Es gibt keinen Unterschied zwischen den Mittelwerten beider Stichproben)\r\nH<sub>1<\/sub>: Der Mittelwert der Differenzen ist ungleich Null. (\u03bc<sub>d<\/sub> \u2260 0) (=Es gibt einen Unterschied zwischen den Mittelwerten beider Stichproben)\r\n\r\nEbenso \u00e4ndern sich auch die Hypothesen f\u00fcr gerichtete Fragestellungen:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1457 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-1024x385.png\" alt=\"\" width=\"646\" height=\"243\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nWir m\u00f6chten herausfinden, ob FiveProfs Kunden nach dem Verzehr eines Burgers gl\u00fccklicher sind als zuvor. Daf\u00fcr \u00fcberpr\u00fcfen wir einmal vor und einmal nach dem Verzehr den Serotonin-Spiegel der Kunden. Wenn unsere Hypothese stimmt, sollten die Kunden nach dem Verzehr (\u03bc<sub>nachher<\/sub>) einen h\u00f6heren Serotonin-Wert aufweisen als zuvor (\u03bc<sub>vorher<\/sub>).\r\n\r\n\u03bc<sub>vorher<\/sub> &lt; \u03bc<sub>nachher\u00a0<\/sub>\r\n\r\ndementsprechend ist: \u03bc<sub>d\u00a0<\/sub>&lt; 0\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\nUnsere Hypothesen lauten somit:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Der Serotonin-Wert nach dem Burger ist kleiner oder gleich dem Serotonin-Wert vor dem Verzehr des Burgers (=Die Differenz der Mittelwerte ist gr\u00f6\u00dfer oder gleich Null)\r\nH<sub>1<\/sub>: Der Serotonin-Wert ist nach dem Verzehr des Burgers gr\u00f6\u00dfer als vorher. (=Die Differenz der Mittelwerte ist kleiner als Null)\r\n\r\noder statistisch ausgedr\u00fcckt:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2265\u00a00\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&lt; 0\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>\r\n<h2>Voraussetzungen<\/h2>\r\nBevor wir mit der Testung der Hypothese beginnen, m\u00fcssen wir zuvor die Voraussetzungen \u00fcberpr\u00fcfen. Die erste ist, wie der Name schon vermuten l\u00e4sst:\r\n<ul>\r\n \t<li>die Stichproben m\u00fcssen <strong>abh\u00e4ngig<\/strong> voneinander sein.\r\nDies kommt entweder durch eine Messwiederholung (=zwei Messungen an derselben Person) oder zwei parallelisierten Gruppen zustande.<\/li>\r\n<\/ul>\r\nDie restlichen Voraussetzungen beziehen sich auf die abh\u00e4ngige Variable (in unserem Beispiel der Serotonin-Spiegel). Wichtig hierbei ist, dass die Voraussetzungen sich nicht auf die gemessenen Serotonin-Werte aus den einzelnen Stichproben beziehen, sondern auf die Differenzen der Messpaare. Stellen sie sich vor, sie erstellen eine neue Variable in Ihrem Datensatz, die \u03bc<sub>1 <\/sub>- \u03bc<sub>2\u00a0<\/sub>subtrahiert. Sie erhalten eine neue Spalte, die die Differenzen zwischen den beiden Messzeitpunkten abbildet. Eben diese Messwerte m\u00fcssen:\r\n<ul>\r\n \t<li><strong>intervallskaliert<\/strong> sein\r\nWird die Voraussetzung nicht erf\u00fcllt, m\u00fcssen wir auf ein verteilungsfreies Testverfahren zur\u00fcckgreifen. Der Vorzeichentest bietet solch eine Alternative.<\/li>\r\n \t<li><strong>normalverteilt<\/strong> sein\r\nDiese Voraussetzung m\u00fcssen wir bei n &lt; 30 testen. In diesen F\u00e4llen f\u00fchren wir vor dem eigentlichen t-Test einen Test auf die Normalverteilung durchf\u00fchren. M\u00f6gliche Tests w\u00e4ren z.B. der Shapiro-Wilk-Test, Kolmogorow-Smirnow-Test oder Lilliefors-Test.<\/li>\r\n \t<li>Die Messwerte der beiden Zeitpunkte sollten <strong>positiv miteinander korrelieren<\/strong>, da ansonsten der Test einiges an Testst\u00e4rke (Power) einb\u00fc\u00dft<\/li>\r\n<\/ul>\r\nDer t-Test reagiert relativ robust auf Verletzungen der Voraussetzungen. Dennoch sollten Sie auf alternative nicht-parametrische Verfahren umsteigen, wenn einige Voraussetzungen verletzt werden. Die folgende Tabelle zeigt Ihnen, welche Verfahren sich bei welcher Verletzung eignen:\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 126px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">nicht<\/span> erf\u00fcllte Voraussetzung<\/strong><\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><strong>Alternativtest<\/strong><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">abh\u00e4ngige Gruppen<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 54px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 54px;\">Intervallskalierung<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 54px;\">Vorzeichentest (ordinal)\r\nBowker Test (nominal)\r\nMcNemar Test (dichotom)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">Normalverteilung<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">Vorzeichenrangtest (Wilcoxon)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 18px;\">\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">positive Korrelation zwischen Messwerten<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">Vorzeichenrangtest (Wilcoxon)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nFalls noch Fragen offen sind, bietet das folgende Video einen weiteren \u00dcberblick.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/SUkza8yxS5A\">14.4 T-Test | Voraussetzungen<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/SUkza8yxS5A\r\n<h2>Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe<\/h2>\r\nUm die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die gefundene Differenz zu berechnen, ermitteln wir wieder die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t. Sie berechnet sich in diesem Fall jedoch \u00fcber den Mittelwert der Differenzen der Messpaare, weshalb die Formel leicht von der der t-Tests f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben abweicht.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-1460 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild26-1024x360.png\" alt=\"\" width=\"895\" height=\"294\" \/>\r\n\r\nDa die Berechnung bei gr\u00f6\u00dferen Gruppen sehr aufw\u00e4ndig ist, lohnt es sich die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t durch SPSS oder andere Statistikprogramme ermitteln zu lassen. Wenn Sie kleine Stichproben haben, hilft bei der Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe eine Hilfstabelle, wie das folgende Beispiel zeigt:\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">H\u00e4ndische Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nWir m\u00f6chten die These \u00fcberpr\u00fcfen, ob FiveProfs Kunden nach unseren Burgern gl\u00fccklicher sind als zuvor und messen hierzu den Serotonin-Spiegel vor und nach dem Verzehr eines Burgers. Die Werte stehen in der unterstehenden Tabelle:\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 65.9165%; height: 96px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">Serotonin vorher (ng \/ml)<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">Serotonin nachher (ng\/ml)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">120<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">126<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">168<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">182<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">150<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">152<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">197<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">208<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">123<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">130<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nZun\u00e4chst machen wir eine Hilfstabelle, die die Differenzen abbildet:\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 96px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">Serotonin vorher (ng \/ml)<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">Serotonin nachher (ng\/ml)<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Differenz des Serotonin-Spiegels (ng\/ml)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">120<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">126<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-6<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">168<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">182<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-14<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">150<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">152<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-2<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">197<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">208<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-11<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">123<\/td>\r\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">130<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-7<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nDiese Differenzen der Mittelwerte k\u00f6nnen wir nun in die Formel einsetzen, um die empirische Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe zu berechnen:\r\n<ol>\r\n \t<li>Mittelwert der Differenzen der Messwertpaare berechnen\r\n<img class=\"alignnone size-medium wp-image-1469\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild27-1-300x46.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"46\" \/><\/li>\r\n \t<li>Standardfehler der Messwertunterschiede berechnen\r\n<img class=\"alignnone wp-image-1473 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-1024x333.png\" alt=\"\" width=\"664\" height=\"216\" \/><\/li>\r\n \t<li>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t berechnen\r\n<img class=\"alignnone size-medium wp-image-1471\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild29-2-300x66.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"66\" \/><\/li>\r\n<\/ol>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h2>Interpretation des t-Werts<\/h2>\r\nUm unsere im Vorhinein aufgestellte Hypothese entweder anzunehmen oder verwerfen zu k\u00f6nnen, stellen wir die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe dem kritischen t-Wert gegen\u00fcber. N\u00e4heres hierzu finden Sie beim t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngig Stichproben, der diese Schritte einzeln darstellt.\r\n\r\nDie folgende Tabelle zeigt Ihnen eine \u00dcbersicht, in welchen F\u00e4llen wir die Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen. (df =n-1)\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 116px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 68px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">Hypothese<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d<\/sub> = 0\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d<\/sub> \u2260 0<\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2265 0\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&lt; 0<\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2264\u00a00\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&gt;\u00a00<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">empirischer T-Wert (t<sub>emp<\/sub>)<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-1466\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild30.png\" alt=\"\" width=\"88\" height=\"53\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-1466\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild30.png\" alt=\"\" width=\"88\" height=\"53\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-1466\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild30.png\" alt=\"\" width=\"88\" height=\"53\" \/><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">kritischer T-Wert (t<sub>krit<\/sub>)<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-\u03b1\/2, (<em>df <\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)\u00a0<\/sub> = -t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen, wenn<\/td>\r\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">|t<sub>emp<\/sub> | &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &lt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nUnsere zu \u00fcberpr\u00fcfende Fragestellung war, ob FiveProfs Kunden nach dem Konsum eines Burgers gl\u00fccklicher sind als zuvor (Signifikanzniveau \u03b1 = 0,05). Daraus ergibt sich folgendes gerichtetes Hypothesenpaar:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Der Serotonin-Wert nach dem Burger ist kleiner oder gleich dem Serotonin-Wert vor dem Verzehr des Burgers (=Die Differenz der Mittelwerte ist gr\u00f6\u00dfer oder gleich Null)\r\nH<sub>1<\/sub>: Der Serotonin-Wert ist nach dem Verzehr des Burgers gr\u00f6\u00dfer als vorher. (=Die Differenz der Mittelwerte ist kleiner als Null)\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2265 0\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&lt; 0\r\n<ol>\r\n \t<li>Kritischen t-Wert berechnen\r\nt<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)\u00a0<\/sub> = -t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><sub>\u00a0<\/sub>= -t<sub>0,95, (4)<\/sub> = -2,1318<\/li>\r\n \t<li>Entscheidung\r\nt<sub>emp<\/sub> = -3,858 &lt; t<sub>krit<\/sub> = -2,132\u00a0 --&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen<\/li>\r\n<\/ol>\r\nFiveProfs-Kunden haben nach dem Verzehr eines Burgers einen signifikant h\u00f6heren Serotoninspiegel und sind dementsprechend gl\u00fccklicher als vorher (5% Irrtumswahrscheinlichkeit).\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h1 id=\"chapter-65-section-10\" class=\"section-header\">15.5 \u00dcbungsfragen<\/h1>\r\nBei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!\r\n\r\n[h5p id=\"133\"]\r\n\r\n[h5p id=\"134\"]\r\n\r\n[h5p id=\"135\"]\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\nIn diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!\r\n\r\n&nbsp;\r\n\r\n[h5p id=\"136\"]\r\n\r\n[h5p id=\"137\"]\r\n\r\n[h5p id=\"138\"]\r\n\r\n[h5p id=\"139\"]\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch5.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>","rendered":"<h1>15.0 Einleitung t-Tests<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der t-Test widmet sich, wie auch schon der Rangsummen-Test, den Sie im letzten Kapitel kennengelernt haben, der Testung von Unterschiedshypothesen. Er \u00fcberpr\u00fcft hierbei, ob ein <strong>Unterschied zwischen<\/strong> <strong>zwei Gruppen hinsichtlich einer intervallskalierten Variable <\/strong>besteht. Damit lassen sich Fragestellungen beantworten, wie: &#8222;Erziele ich mit r\u00f6tlichem Licht in meiner Burgerfilialer mehr Umsatz als mit Nat\u00fcrlichem?&#8220; oder &#8222;Sind Kunden nach dem Verzehr eines FiveProf-Burgers bereit mehr Geld f\u00fcr ein Softdrink auszugeben als vor dem Verzehr?&#8220;. Der entscheidende Unterschied gegen\u00fcber dem Rangsummen-Test ist die Voraussetzung, dass die abh\u00e4ngige Variable metrisch skaliert sein muss. So untersuchen die eben genannten Fragestellungen, ob ein Unterschied im Umsatz oder in der Zahlungsbereitschaft [in \u20ac] vorliegt, anstatt einen Unterschied im Gl\u00fccksempfinden zu erfassen, der mit Hilfe einer 3er-Skala abgefragt wurde (also ordinal skaliert ist). Die (ungerichteten) Hypothesen, die mittels des t-Tests \u00fcberpr\u00fcft werden, lauten somit:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Es gibt keinen Unterschied zwischen den beiden Testgruppen<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: Es gibt einen Unterschied zwischen den beiden Testgruppen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu veranschaulichen, wie wir mittels des t-Tests diese Hypothesen \u00fcberpr\u00fcfen k\u00f6nnen, bedienen wir uns eines Beispiels aus der FiveProfs-Burgerkette. Stellen Sie sich vor, wir m\u00f6chten unsere Kunden zum Verweilen in unseren Filialen bewegen und kaufen aus diesem Grund Sofas der Klasse &#8222;Comfort-Luxe&#8220;. Nun m\u00f6chten wir herausfinden, ob unsere Ma\u00dfnahme Wirkung zeigt und vergleichen die durchschnittliche Besuchszeit unserer Comfort-Filiale mit einer Kontroll-Filiale ohne &#8222;Comfort-Luxe&#8220; Sofas. Als Erstes berechnen wir die mittlere Besuchszeit einer zuf\u00e4lligen Stichprobe aus jeder Filiale. In der Filiale mit den Comfort-Sofas betr\u00e4gt die Besuchszeit durchschnittlich <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>1<\/sub>= 20 min und in der Kontroll-Filiale <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>2<\/sub>= 14 min. Wir sehen nun also deskriptiv, dass die Verweilzeit in der Filiale mit den neuen Sofas l\u00e4nger ist. Um jedoch sicher zu sein, dass dieser Effekt auch in der Population so zu erwarten ist (also bei all unseren Filialen und nicht nur bei der kleinen Stichprobe), rechnen wir den t-Test. Dieser sagt uns wie wahrscheinlich es ist, einen solchen Unterschied von 6 Minuten in der Verweildauer zu finden unter der Annahme, dass es in der Population gar keinen Unterschied gibt. Wir ermitteln also die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten einer solchen (oder gr\u00f6\u00dferen) Mittelwertsdifferenz, unter der Annahme der Nullhypothese. Um hierbei die Wahrscheinlichkeit der Differenz einzusch\u00e4tzen, wird der Standardfehler als Ma\u00dfstab verwendet. Ist die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten der Differenz (in unserem Fall der 6 min\u00fctige Unterschied) gering genug, k\u00f6nnen wir unsere Nullhypothese verwerfen und einen signifikanten Unterschied zwischen beiden Filialen unterstellen. Anders gesagt k\u00f6nnen wir also sagen, dass es sehr unwahrscheinlich ist, dass das gefundene Ergebnis nur zuf\u00e4llig entstanden ist und sprechen daher von einem signifikanten (also statistisch bedeutsamen) Ergebnis.<\/p>\n<p>Noch Fragen offen geblieben? Das folgende Video verdeutlicht Ihnen das Vorgehen des t-Tests an einem weiteren Beispiel aus der FiveProfs-Kette.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/IRbkFrzi2q0\">14.1 T-Test | Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"14.1 T-Test | Einf\u00fchrung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/IRbkFrzi2q0?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>15.1 Die t-Verteilung<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie die Kapitel\u00fcberschrift schon andeutet, gibt es nicht nur einen t-Test, sondern eine ganze Reihe von t-Tests, die Unterschiedshypothesen \u00fcberpr\u00fcfen. Allen gemein ist die Tatsache, dass Sie auf der sogenannten t-Verteilung beruhen ( auch Studentsche t-Verteilung genannt<a class=\"footnote\" title=\"Student: The Probable Error of a Mean. In: Biometrika. 6, Nr. 1, 1908, S. 1\u201325. JSTOR 2331554. doi:10.1093\/biomet\/6.1.1.\" id=\"return-footnote-1406-1\" href=\"#footnote-1406-1\" aria-label=\"Footnote 1\"><sup class=\"footnote\">[1]<\/sup><\/a>). Doch was genau ist die t-Verteilung und wie unterscheidet sie sich von den anderen kennengelernten Verteilungen?<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Anders als bei der bereits kennengelernten z-Verteilung gibt es nicht die eine t-Verteilung. Vielmehr beschreibt die t-Verteilung eine Schar von Verteilungen, die abh\u00e4ngig von den Freiheitsgraden in ihrer Form variiert.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1450\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1.png\" alt=\"\" width=\"363\" height=\"250\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1.png 980w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1-300x206.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1-768x528.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1-65x45.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1-225x155.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild6-1-350x241.png 350w\" sizes=\"(max-width: 363px) 100vw, 363px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Je gr\u00f6\u00dfer hierbei die Anzahl der Freiheitsgrade, desto st\u00e4rker n\u00e4hert sich die t-Verteilung an die Standardnormalverteilung an. Ab einem n \u2265 30 kann man sie aus diesem Grund konventionsgem\u00e4\u00df in eine Standardnormalverteilung approximieren (= \u00fcberf\u00fchren). F\u00fcr balancierte Designs, spricht wenn beide Stichproben gleich gro\u00df sind, berechnen sich die Freiheitsgrade (hierbei df) relativ einfach durch die nachfolge Formel. Pr\u00fcft man hingegen einen Unterschied zwischen unterschiedlichen Gruppengr\u00f6\u00dfen, wird die Formel der Freiheitsgrade deutlich komplizierter. Jedoch rechnen die gel\u00e4ufigen Statistikprogramme wie SPSS die Freiheitsgrade automatisch aus, sodass wir den zweiten Fall hier nicht weiter vertiefen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1413\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-1024x173.png\" alt=\"\" width=\"740\" height=\"125\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-1024x173.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-300x51.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-768x130.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-65x11.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-225x38.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5-350x59.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild5.png 1452w\" sizes=\"(max-width: 740px) 100vw, 740px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1>15.2 Arten von t-Tests<\/h1>\n<p>Grunds\u00e4tzlich gibt es drei M\u00f6gliche Anwendungsf\u00e4lle von Tests f\u00fcr Mittelwertsunterschiede f\u00fcr die jeweils eine andere Variante des t-Tests verwendet wird. Diese unterscheiden sich jeweils hinsichtlich ihrer Voraussetzungen, Hypothesen, sowie der Berechnung der Pr\u00fcfstatistik. Welchen der drei verschiedene Varianten Sie ben\u00f6tigen, h\u00e4ngt von den Daten ab, die Sie vorliegen haben.<\/p>\n<h2>t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der in der Praxis am h\u00e4ufigsten angewendete t-Test ist der t<strong>-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/strong>. In diesem Fall testen wir, ob sich die Mittelwerte zwischen <em>zwei<\/em> <em>unabh\u00e4ngigen<\/em> Gruppen signifikant voneinander unterscheiden (Bei mehr als zwei Stichproben kommen andere testverfahren, z.B. die Varianzanalyse zum Einsatz). Die unabh\u00e4ngige Variable ist dementsprechend dichotom (meist Gruppe 1 und Gruppe 2 oder &#8222;M\u00e4nnliche Kunden&#8220; und &#8222;weibliche Kundinnen&#8220;). M\u00f6gliche Fragestellungen w\u00e4ren hierbei: &#8222;Kaufen M\u00e4nner mehr Burger als Frauen?&#8220; oder &#8222;Schmeckt der vegane Burger FiveProfs-Kunden besser als der Vegetarische?&#8220; (Geschmackmessung mittels einer Likert-Skalierung).<\/p>\n<h2>t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die zweite Art der t-Testung ist der <strong>t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/strong>. Auch in diesem Fall m\u00f6chten wir herausfinden, ob sich zwei Gruppen signifikant voneinander unterscheiden. Jedoch sind die beiden Gruppen in diesem Fall abh\u00e4ngig voneinander oder es handelt sich um verbundene Stichproben. \u00dcblicherweise ist dies dann der Fall, wenn wir eine Messwiederholung haben. Also die selben Personen zu zwei Zeitpunkten befragt werden. <span style=\"font-size: 14pt;\">Beispielsweise m\u00f6chten wir testen, ob man nach dem Essen eines Burgers mehr Endorphine im K\u00f6rper hat als zuvor. Hierbei wird ein und dieselbe Person zu zwei verschiedenen Messzeitpunkten hinsichtlich der Endorphine im Blut untersucht. Da das Endorphinlevel des zweiten Messzeitpunkts unter anderem davon abh\u00e4ngt, wie viele Endorphine vor dem Essen der Burgers im Blut waren, bedingen sich die beiden Werte gegenseitig.<\/span><\/p>\n<h2>Einstichproben-t-Test<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der letzte Fall, in dem ein t-Test zum Einsatz kommt, ist, wenn wir erfassen m\u00f6chten, ob sich der Mittelwert eine Stichprobe signifikant von einem bekannten Wert der Population unterscheidet. In solch einem Fall rechnen wir einen<strong> Einstichproben-t-Test<\/strong>. Dadurch k\u00f6nnen wir Fragestellungen beantworten, wie: &#8222;Haben Five-Prof Kunden einen h\u00f6hren IQ als der Durchschnittsb\u00fcrger (der einen IQ von 100 hat)?&#8220;. Im Grunde beantwortet der t-Test f\u00fcr eine Stichprobe die selbe Fragestellung wie der Z-Test, den Sie bereits in Kapitel 11 kennengelernt haben. Der einziger Unterschied zwischen den beiden Tests ist, dass Sie f\u00fcr den Z-Test die Populationsvarianz \u03c3<sup>2\u00a0<\/sup>kennen m\u00fcssen. Im Falle des Einstichproben-t-Tests kennen wir diese nicht und sch\u00e4tzen sie deshalb auf Basis der Stichprobenvarianz.<\/p>\n<p>Weitere Beispiele und eine \u00dcbersicht, wann Sie welchen Test benutzen sollten, gibt es im folgenden Video.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/s4Kb2UAe-JA\">14.3 T-Test | Einstichproben-, Abh\u00e4ngiger- und Unabh\u00e4ngiger T-Test<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"14.3 T-Test | Einstichproben-, Abh\u00e4ngiger- und Unabh\u00e4ngiger T-Test\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/s4Kb2UAe-JA?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>15.3 t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Beginnen wir mit dem h\u00e4ufigsten t-Test in der Praxis: dem t-Test f\u00fcr zwei unabh\u00e4ngige Stichproben. Dieser Test <strong>\u00fcberpr\u00fcft, ob sich zwei unabh\u00e4ngige Stichproben hinsichtlich ihres Mittelwerts unterscheiden<\/strong>. Zur Veranschaulichung des Vorgehens bedienen wir uns des Beispiels aus der Einleitung. Stellen Sie sich vor, wir m\u00f6chten herausfinden, ob es einen Unterschied in der durchschnittlichen Besuchszeit unserer FiveProfs-Filiale gibt, wenn wir &#8222;Comfort-Luxe&#8220; Sofas statt unsere normalen Sofas in der Filiale platzieren. Daf\u00fcr statten wir unsere Filiale in Stuttgart mit den &#8222;Comfort-Luxe&#8220;-Sofas aus und vergleichen die durchschnittliche Besuchszeit mit unserer Filiale in N\u00fcrnberg, die die normalen Sofas besitzt (Hierbei haben wir sichergestellt, das beide Filialen im Hinblick auf die sonstige Ausstattung, die Lage etc. sehr \u00e4hnlich sind).<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">weitere Beispiele f\u00fcr m\u00f6gliche Fragestellungen:<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<ul>\n<li>Ist eine Therapie erfolgreicher als keine Therapie?<\/li>\n<li>Ist eine neue Behandlungsmethode besser als die bisherige?<\/li>\n<li>Verkauft sich ein Produkt besser mit dem Zusatz \u201eNEU\u201c?<\/li>\n<li>Sind Mitarbeiter in Einzelb\u00fcros produktiver als in Gro\u00dfraumb\u00fcros?<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2>Hypothesen<\/h2>\n<p>Zun\u00e4chst bilden wir die Hypothesen. Bei ungerichteten Fragestellungen (wie in unserem Beispiel) lauten die allgemeinen Hypothesen des t-Tests f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben wie folgt:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in den Mittelwerten zwischen beiden Testgruppen (\u03bc<sub>1 <\/sub>= \u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>&#8211; \u03bc<sub>2<\/sub> = 0)<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den Mittelwerten zwischen beiden Testgruppen (\u03bc<sub>1 <\/sub>\u2260\u00a0\u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>&#8211; \u03bc<sub>2<\/sub> \u2260 0)<\/p>\n<p>Haben wir hingegen bereits eine Hypothese \u00fcber die Richtung des Unterschieds, testen wir gerichtete Hypothesen mit folgendem Hypothesenpaar:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Testgruppe 1 ist <strong>schlechter (besser)<\/strong>\u00a0<strong>als oder gleich <\/strong>\u00a0Testgruppe 2\u00a0(\u03bc<sub>1 <\/sub>\u2264\u00a0\u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>\u2265\u00a0\u03bc<sub>2<\/sub>)<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: Testgruppe 1 ist <strong>besser (schlechter)<\/strong>\u00a0<strong>als <\/strong>\u00a0Testgruppe 2\u00a0(\u03bc<sub>1 <\/sub>&gt; \u03bc<sub>2\u00a0<\/sub> bzw. \u03bc<sub>1 <\/sub>&lt;\u00a0\u03bc<sub>2<\/sub>)<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">Beispiel Comfort-Luxe Sofa<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>In unserem Beispiel m\u00f6chten herausfinden ob es einen Unterschied in der durchschnittlichen Besuchszeit unserer FiveProfs-Filiale gibt, wenn wir &#8222;Comfort-Luxe&#8220; Sofas statt unsere normalen Sofas in der Filiale platzieren. Wir pr\u00fcfen damit eine ungerichtete Fragestellung. Unser Hypothesenpaar lautet in diesem Fall:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen (\u03bc<sub>Comfort <\/sub>= \u03bc<sub>Normal <\/sub>)<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen \u00a0(\u03bc<sub>Comfort\u00a0 <\/sub>\u2260 \u03bc<sub>Normal <\/sub>)<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Noch Fragen offen geblieben? Das folgende Video veranschaulicht Ihnen die m\u00f6glichen Hypothesen der t-Tests anhand eines DJ-Beispiels in der FiveProfs-Kette.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/ViXA_UMmu14\">14.2 T-Test | Hypothesen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"14.2 T-Test | Hypothesen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/ViXA_UMmu14?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h2>Voraussetzungen<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nach der Aufstellung der Hypothesen, gilt es die Voraussetzungen zu \u00fcberpr\u00fcfen. Der T-Test hat als parametrischer Tests ist &#8222;h\u00f6chsten&#8220; Voraussetzungen, wenn es darum geht Unterschiede zwischen zwei Gruppen zu testen. Daf\u00fcr besitzt er aber auch die gr\u00f6\u00dfte Power (=Wahrscheinlichkeit, dass ein Effekt entdeckt wird, wenn ein Effekt auch tats\u00e4chlich existiert). Die Voraussetzungen sind:<\/p>\n<ul>\n<li>Die Messwerte von verschiedenen Personen sind <strong>unabh\u00e4ngig<\/strong> voneinander.<br \/>\nUnabh\u00e4ngige Beobachtungen bedeuten, dass die Messwerte eines Probanden nicht von den Messwerten eines anderen Probanden abh\u00e4ngen. Um dies zu gew\u00e4hrleisten, k\u00f6nnen wir in beiden Stichproben verschiedene Personen befragen, die zuf\u00e4llig ausgew\u00e4hlt werden oder wie in unserem Beispiel verschiedene Personen an zwei unterschiedlichen Orten befragen.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Dar\u00fcber hinaus gibt es eine Reihe von Voraussetzungen, die in Bezug auf die abh\u00e4ngige Variable (in unserem Beispiel ist das die Besuchszeit), gelten. Die Messwerte der abh\u00e4ngigen Variable m\u00fcssen:<\/p>\n<ul>\n<li>mindestens <strong>intervallskaliert<\/strong> sein<\/li>\n<li>m\u00f6glichst <strong>kleine Ausreiser<\/strong> haben<\/li>\n<li><strong>in beiden Grundgesamtheiten<\/strong>\u00a0<strong>normalverteilt <\/strong>sein<br \/>\nDiese Voraussetzung m\u00fcssen wir testen, wenn eine oder beide Stichprobengr\u00f6\u00dfen kleiner als 30 sind. In diesen F\u00e4llen m\u00fcssen wir vor dem eigentlichen T-Test einen Test auf die Normalverteilung durchf\u00fchren. M\u00f6gliche Tests w\u00e4ren z.B. der Shapiro-Wilk-Test, Kolmogorow-Smirnow-Test oder Lilliefors-Test. Sie testen inwieweit die vorliegenden Messwerte von der Normalverteilung abweichen. Um die Voraussetzung von normalverteilten Daten zu erf\u00fcllen sollten sie deshalb <em>nicht<\/em> signifikant werden.<br \/>\nAb einer Gr\u00f6\u00dfe von n \u2265 30 k\u00f6nnen wir basierend auf dem zentralen Grenzwerttheorem konventionsgem\u00e4\u00df von einer Normalverteilung in der Stichprobenkennwerteverteilung ausgehen (N\u00e4heres zum zentralen Grenzwerttheorem finden sie im Kapitel Konfidenzintervalle) und k\u00f6nnen diese Voraussetzung somit als erf\u00fcllt erachten. \u00dcberdies zeigen aktuelle Forschungsergebnisse zunehmend, dass der T-Test auch bei Stichprobengr\u00f6\u00dfen unter 30 bei moderater Nicht-Normalit\u00e4t verl\u00e4sslich ist, solange keine ausgepr\u00e4gten Ausrei\u00dfer bestehen, und erzielt in der Regel eine h\u00f6here Power als der Wilcoxon-Test.<a class=\"footnote\" title=\"Rasch, D., Kubinger, K. D., &amp; Moder, K. (2011). \u201cThe two-sample t test: Pre-testing its assumptions does not pay off.\u201d Statistical Papers, 52(1), 219\u2013231.\" id=\"return-footnote-1406-2\" href=\"#footnote-1406-2\" aria-label=\"Footnote 2\"><sup class=\"footnote\">[2]<\/sup><\/a><\/li>\n<li>in beiden Grundgesamtheiten <strong>Homoskedastizit\u00e4t<\/strong> aufweisen.<br \/>\nHomoskedastizit\u00e4t ist gegeben, wenn die Varianzen in beiden Grundgesamtheiten gleich sind. Praktisch bedeutet dies f\u00fcr uns, dass sich die Varianzen der beiden gezogenen Stichproben nicht signifikant unterscheiden d\u00fcrfen. Man spricht auch von Varianzhomogenit\u00e4t. Um dies zu \u00fcberpr\u00fcfen, muss vor jedem T-Test ein Test auf Varianzhomogenit\u00e4t durchgef\u00fchrt werden. Das g\u00e4ngigste Verfahren ist hierzu der Levene-Test, der im Falle der Varianzhomogenit\u00e4t <em>nicht<\/em> signifikant wird.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Doch was passiert, wenn eine der Voraussetzungen nicht erf\u00fcllt ist? Der T-Test reagiert meist robust auf solche Verletzungen. Ausnahmen sind unterschiedlich gro\u00dfe Stichproben <em>und<\/em> Varianzen. Dann m\u00fcssen wir auf andere Testverfahren, wie z.B. nicht-parametrische Tests, ausweichen, die geringere Voraussetzungen haben. Die folgende Tabelle zeigt Ihnen welche Tests sich in den jeweiligen F\u00e4llen eignen.<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 96px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">nicht<\/span> erf\u00fcllte Voraussetzung<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\"><strong>Alternativtest<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Intervallskalierung<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Man-Whitney-U-Test (ordinal)<br \/>\nWilcoxon-Rangsummen-Test (ordinal)<br \/>\nChi-Quadrat-Test (nominal)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Normalverteilung<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Man-Whitney-U-Test<br \/>\nWilcoxon-Rangsummen-Test<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Homoskedastizit\u00e4t<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Welch-Test (intervall)<br \/>\nMan-Whitney-U-Test (ordinal)<br \/>\nWilcoxon-Rangsummen-Test (ordinal)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">unabh\u00e4ngige Stichproben<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Falls noch Fragen bez\u00fcglich den einzelnen Voraussetzungen offen sind oder sie nochmal genau wissen wollen, was es mit der Homoskedastizit\u00e4t auf sich hat, bietet das folgende Video nochmal eine Wiederholung.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/SUkza8yxS5A\">14.4 T-Test | Voraussetzungen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"14.4 T-Test | Voraussetzungen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/SUkza8yxS5A?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h2>Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Nun kommen wir zur eigentlichen Testung unsrer Hypothese. Hierzu berechnen wir im ersten Schritt die Mittelwerte in beiden Stichproben, die wir im Weiteren auf einen signifikanten Unterschied hin testen. Nehmen wir zur Veranschaulichung noch einmal unser Beispiel mit den Comfort-Sofas: In der Filiale mit den Comfort-Sofas berechnen wir eine durchschnittliche Besuchszeit von\u00a0 <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>1<\/sub>= 20 min (n=35) und in der Kontroll-Filiale ohne Comfort-Sofas eine Verbleibungsdauer von\u00a0 <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>2<\/sub>= 14 min (n=35). Nun k\u00f6nnen wir \u00fcber die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe T die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die gefundene Differenz von 6 Minuten bestimmen unter Annahme, dass beide Stichproben aus der selben Population stammen. Ihre Formel lautet wie folgt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1419 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-1024x144.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"144\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-1024x144.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-300x42.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-768x108.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-65x9.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-225x32.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7-350x49.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild7.png 1384w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um herauszufinden, ob der Unterschied gro\u00df genug ist, sodass wir nicht mehr von einem Zufallsprodukt ausgehen k\u00f6nnen, setzt der T-Wert die Differenz der Mittelwerte in Relation zur Streuung. Konkret wird hierbei der Standardfehler des Sch\u00e4tzers der Differenz der Mittelwerte als Ma\u00dfstab verwendet, um die Gr\u00f6\u00dfe der Differenzen einzusch\u00e4tzen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch wie berechnen wir den Standardfehler des Sch\u00e4tzers der Differenz der Mittelwerte? Wir k\u00f6nnen ihn aus der Populationsvarianz bzw. durch dir korrigierte Stichprobenvarianz (wenn wir die Populationsvarianz nicht kennen sollten) sch\u00e4tzen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1425 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-1024x194.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"194\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-1024x194.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-300x57.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-768x145.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-1536x291.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-65x12.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-225x43.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12-350x66.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild12.png 1633w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p>Hierbei sollte beachtet werden, dass die Formeln lediglich f\u00fcr balancierte Designs gelten &#8211; sprich wenn beide Stichproben gleich gro\u00df sind. Wenn verschiedene Stichprobengr\u00f6\u00dfen vorhanden sind, wird eine korrigierte Formel zur Berechnung des Standardfehlers verwendet.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Sch\u00e4tzung der Populationsvarianz durch die Stichprobe<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Falls wir den Sch\u00e4tzer der Populationsvarianz nicht kennen sollten (was in der Forschung normalerweise der Fall ist), k\u00f6nnen wir ihn aus der Stichprobe selbst sch\u00e4tzen. Die Formel lautet wie folgt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1451\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22.png\" alt=\"\" width=\"621\" height=\"283\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22.png 1001w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22-300x137.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22-768x350.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22-65x30.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22-225x102.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild22-350x159.png 350w\" sizes=\"(max-width: 621px) 100vw, 621px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>In diese Formel k\u00f6nnen wir nun unsere erhobenen Kennwerte aus den Stichproben einsetzen und so den empirischen T-Wert ermitteln, den wir anschlie\u00dfend gegen den kritischen T-Wert testen und so unsere Hypothese entweder best\u00e4tigen oder ablehnen.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel: Comfort-Luxe Sofas in den FiveProfs Filialen<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Wir m\u00f6chten die Hypothese \u00fcberpr\u00fcfen, ob es einen Unterschied in der Besuchsdauer gibt, wenn wir Comfort-Luxe Sofas in unseren Five-Profs Filialen platzieren. Dazu haben wir in zwei Filialen unabh\u00e4ngige Stichproben von jeweils n=35 Kunden gezogen. Die durchschnittliche Besuchszeit in der Filiale mit den Comfort-Sofas war\u00a0 <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>1<\/sub>= 20 Minuten (Standardabweichung = 6,5 Minuten) und in der Kontroll-Filiale ohne Comfort-Sofas\u00a0 <img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/><sub>2<\/sub>= 14 Minuten (Standardabweichung = 6 Minuten). Berechnen Sie die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe T:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1427 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-1024x502.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"502\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-1024x502.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-300x147.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-768x376.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-1536x753.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-65x32.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-225x110.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14-350x172.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild14.png 1606w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Als weiteres Beispiel zeigt Ihnen das folgende Video ein weiteres Rechenbeispiel zum T-Test.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/vV1lcO_TZ18\">14.5 T-Test | Rechenbeispiel Unabh\u00e4ngiger T-Test<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"14.5 T-Test | Rechenbeispiel Unabh\u00e4ngiger T-Test\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vV1lcO_TZ18?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h2>Interpretation des t-Werts<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im n\u00e4chsten Schritt ermitteln wir, wie wahrscheinlich das Auftreten unseres empirisch errechneten t-Werts unter der Annahme der Nullhypothese (H<sub>0<\/sub>: Es gibt keinen Unterschied zwischen den beiden Gruppen) ist. Ist das Auftreten &#8222;unwahrscheinlich genug&#8220; k\u00f6nnen wir die Nullhypothese ablehnen und unsere Alternativhypothese best\u00e4tigen. Was hierbei als &#8222;unwahrscheinlich genug&#8220; gilt, legen wir im Vorhinein mit unserem Signifikanzniveau fest. Die nachfolgende Tabelle zeigt Ihnen nochmal die g\u00e4ngigen Signifikanzniveaus.<\/p>\n<h2>Schritt 1: kritischen t-Wert ermitteln<\/h2>\n<p style=\"text-align: justify;\">Abh\u00e4ngig von diesem Signifikanzniveau und je nach Art der Hypothese (einseitig oder zweiseitig) k\u00f6nnen wir nun einen kritischen t-Wert (t<sub>krit<\/sub>) definieren. Dieser bildet den Grenzwert, bei dessen \u00dcberschreitung (bzw. Unterschreitung) wir unsere Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen. Die nachfolgende Tabelle zeigt Ihnen, welcher kritischer t-Wert bei welcher Hypothese eingesetzt wird. \u03b1 steht hierbei f\u00fcr das verwendete Signifikanzniveau und <em>df<\/em> f\u00fcr den Freiheitsgrad. Bei balancierten Designs (=Stichproben sind gleich gro\u00df) lautet die Formel f\u00fcr die Berechnung des Freiheitsgrads wie folgt: df = n<sub>1\u00a0<\/sub>+ n<sub>2<\/sub> &#8211; 2<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 186px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 25%;\"><\/td>\n<td style=\"width: 25%;\">\n<p style=\"text-align: center;\">ungerichtet<\/p>\n<\/td>\n<td style=\"width: 25%;\">\n<p style=\"text-align: center;\">gerichtet<\/p>\n<\/td>\n<td style=\"width: 25%;\">\n<p style=\"text-align: center;\">gerichtet<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 68px;\">\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">Hypothese<\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> = \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2260 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2264 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &gt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2265 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<p style=\"text-align: center;\">H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &lt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">kritischer T-Wert<\/td>\n<td style=\"width: 25%; text-align: center; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-\u03b1\/2, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; text-align: center; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; text-align: center; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 102px;\">\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1440\" style=\"font-size: 16.8px;\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-300x120.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"120\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-300x120.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-1024x410.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-768x308.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-225x90.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1-350x140.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild18-1.png 1367w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1441\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-300x120.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"120\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-300x120.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-1024x409.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-768x307.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-225x90.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2-350x140.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild19-2.png 1363w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 102px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1442\" style=\"font-size: 16.8px;\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-300x119.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"119\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-300x119.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-1024x405.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-768x303.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-225x89.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2-350x138.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild20-2.png 1369w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\u00dcber die Tabellen der t-Verteilung k\u00f6nnen wir daraufhin den entsprechenden kritischen t-Wert heraussuchen. Hierzu suchen wir zun\u00e4chst in der ersten Spalte den<span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\"> entsprechenden Freiheitsgrad, den wir zuvor berechnet haben, heraus. Abh\u00e4ngig vom gew\u00e4hlten Signifikanzniveau suchen wir uns anschlie\u00dfend den t-Wert aus, der die entsprechende Fl\u00e4che abbildet. Als Beispiel: Bei einem gew\u00e4hlten Signifikanzniveau von \u03b1 = 5% und einer ungerichteten (beidseitigen) Hypothese, nehmen wir den t-Wert f\u00fcr die Fl\u00e4che von 0,975 (da sich die 5% auf beide Seiten aufteilen). Bei einem Freiheitsgrad von df = 10 (nur als Beispiel) erhalten wir so einen kritischen t-Wert von t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-0,05\/2, (10)<\/sub>\u00a0 = \u00b12,228.<\/span><\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1452 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild23.png\" alt=\"\" width=\"536\" height=\"600\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild23.png 536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild23-268x300.png 268w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild23-65x73.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild23-225x252.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild23-350x392.png 350w\" sizes=\"(max-width: 536px) 100vw, 536px\" \/><\/p>\n<p>Wenn der Freiheitsgrad gr\u00f6\u00dfer als 30 ist, n\u00e4hert sich die t-Verteilung so stark an die Standardnormalverteilung an, sodass wir in diesen F\u00e4llen einen z-Wert als N\u00e4herungswert f\u00fcr den t-Wert benutzen k\u00f6nnen. In diesen F\u00e4llen suchen wir in der Tabelle der z-Verteilung den z-Wert, der die selbe Fl\u00e4che abdeckt, wie unser gesuchter t-Wert. Das nachfolgende Beispiel zeigt Ihnen eine m\u00f6gliche Situation:<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>In unserem Beispiel pr\u00fcfen wir, ob es einen Unterschied in der Besuchszeit zwischen FiveProfs Filialen mit Comfort-Luxe Sofas und ohne gibt. Daf\u00fcr haben wir zu Beginn folgende Hypothesen aufgestellt:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in der mittleren Besuchszeit zwischen beiden Filialen (\u03bc<sub>Comfort <\/sub>= \u03bc<sub>Normal <\/sub>)<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen \u00a0(\u03bc<sub>Comfort\u00a0 <\/sub>\u2260 \u03bc<sub>Normal <\/sub>)<\/p>\n<p>Unsere ermittelte Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe T = 3,955 (t<sub>emp<\/sub>). Nun m\u00f6chten wir entscheiden, ob wir\u00a0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% die H<sub>0<\/sub> ablehnen k\u00f6nnen, oder nicht. Die Stichprobengr\u00f6\u00dfen betragen jeweils 35 Personen. Die Hypothese ist ungerichtet.<\/p>\n<ol>\n<li>Freiheitsgrad berechnen<br \/>\ndf = n<sub>1\u00a0<\/sub>+ n<sub>2\u00a0<\/sub>&#8211; 2 = 35 + 35 &#8211; 2 = 68<\/li>\n<li>kritischen T-Wert berechnen<br \/>\nda df &gt; 30 kann in die Standardnormalverteilung approximiert werden. Wir k\u00f6nnen dementsprechend einen z-Wert als N\u00e4herungswert annehmen.<br \/>\nt<sub>krit<\/sub> = \u00b1 t<sub>1-0,05\/2, (68)\u00a0 <\/sub>\u2248 \u00b1 z<sub>1-0,05\/2 <\/sub>= \u00b1 z<sub>0,975 <\/sub>=\u00a0 \u00b1 1,96<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2>Schritt 2: Entscheidung<\/h2>\n<p>Wurde der kritische und empirische T-Wert ermittelt, kann daraufhin die Entscheidung getroffen werden, ob wir die Nullhypothese verwerfen oder beibehalten. Abh\u00e4ngig von der Hypothese (einseitig oder zweiseitig) lehnen wir die Nullhypothese ab, wenn der kritische t-Wert durch unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe \u00fcber- bzw. unterschritten wird und somit t<sub>emp\u00a0<\/sub>im Ablehnungsbereich liegt.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1453\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-1024x305.png\" alt=\"\" width=\"792\" height=\"236\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-1024x305.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-300x89.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-768x229.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-1536x458.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-65x19.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-225x67.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24-350x104.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild24.png 1682w\" sizes=\"(max-width: 792px) 100vw, 792px\" \/><\/p>\n<p>Um dies herauszufinden, stellen wir die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe (t<sub>emp<\/sub>) und den kritischen t-Wert (t<sub>krit<\/sub>) gegen\u00fcber und vergleichen die beiden. Die folgende Tabelle zeigt Ihnen auf, in welchen F\u00e4llen wir die Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen.<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 116px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 68px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">Hypothese<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> = \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2260 \u03bc<sub>2<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2264 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &gt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> \u2265 \u03bc<sub>2<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>1<\/sub> &lt; \u03bc<sub>2<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">empirischer T-Wert (t<sub>emp<\/sub>)<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1443\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-300x122.png\" alt=\"\" width=\"124\" height=\"66\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1444\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-300x122.png\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"47\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-300x122.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-65x27.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-225x92.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1.png 331w\" sizes=\"(max-width: 116px) 100vw, 116px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1444\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-300x122.png\" alt=\"\" width=\"118\" height=\"48\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-300x122.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-65x27.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1-225x92.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild16-1.png 331w\" sizes=\"(max-width: 118px) 100vw, 118px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">kritischer T-Wert (t<sub>krit<\/sub>)<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-\u03b1\/2, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)\u00a0<\/sub> = -t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen, wenn<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">|t<sub>emp<\/sub> | &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &lt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel: Comfort-Luxe Sofas in den FiveProfs Filialen<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>In unserem Beispiel pr\u00fcfen wir, ob es einen Unterschied in der Besuchszeit zwischen FiveProfs Filialen mit Comfort-Luxe Sofas und ohne gibt. Daf\u00fcr haben wir zu Beginn folgende Hypothesen aufgestellt:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Es gibt <strong>keinen<\/strong> Unterschied in der mittleren Besuchszeit zwischen beiden Filialen (\u03bc<sub>Comfort <\/sub>= \u03bc<sub>Normal <\/sub>)<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: Es gibt <strong>einen<\/strong> Unterschied in den mittleren Besuchszeiten zwischen beiden Filialen \u00a0(\u03bc<sub>Comfort\u00a0 <\/sub>\u2260 \u03bc<sub>Normal <\/sub>)<\/p>\n<p>Unsere ermittelte Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe ist T = 3,955 (t<sub>emp<\/sub>). Unser kritischer t-Wert lautet t<sub>krit<\/sub>= \u00b1 1,96. Nun m\u00f6chten wir entscheiden, ob wir mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% die H<sub>0<\/sub> ablehnen k\u00f6nnen, oder nicht. Die Stichprobengr\u00f6\u00dfen betragen jeweils 35 Personen.<\/p>\n<p>Entscheidung<br \/>\n|t<sub>emp<\/sub> | &gt; t<sub>krit<\/sub><br \/>\n|3,995| &gt; \u00b11,96 -&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen.<\/p>\n<p>Antwort: Es gibt einen hoch signifikanten Unterschied in der Besuchszeit zwischen FiveProfs Filialen mit Comfort-Luxe Sofas und ohne (Irrtumswahrscheinlichkeit 5%).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Falls noch Fragen offen geblieben sind oder Sie n\u00e4her verstehen m\u00f6chten, was es mit den Fl\u00e4chen in den Tabellen auf sich hat, gibt Ihnen das folgende Video einen guten \u00dcberblick. Zudem wird die Konstruktion des Ablehnungsbereichs im Kapitel z-Tests ausf\u00fchrlicher erkl\u00e4rt.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"14.6 T-Test | Interpretation des T-Werts - Einseitig und Zweiseitig\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/O3LRs7kAVP8?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>15.4 t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben<\/h1>\n<p>Der t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben pr\u00fcft (ebenso wie der t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben), ob es einen signifikanten Unterschied zwischen zwei Mittelwerten gibt. Er beantwortet dabei Fragestellungen wie: &#8222;Sind FiveProfs Kunden nach dem Verzehr unserer Burger gl\u00fccklicher?&#8220; oder &#8222;Ist man am Ende einer Warteschlange frustrierter als in der Mitte der Warteschlange?&#8220;. Diese Fragen k\u00f6nnte man ebenso gut mit einem t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben beantworten. Das entscheidende Kriterium, weshalb wir uns dennoch f\u00fcr einen t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben entscheiden, liegt im Versuchsdesign. In Fall des t-Tests f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben gehen wir davon aus, dass sich die beiden Mittelwerte gegenseitig beeinflussen. Beispielsweise dadurch, dass wir ein und dieselbe Person zwei Mal befragen &#8211; sprich: wenn wir ein Messwiederholungsdesign haben. Solch ein Design lohnt sich, da die Fehlervarianz wegf\u00e4llt, die wir normalerweise h\u00e4tten, wenn wir unterschiedliche Personen befragen w\u00fcrden.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">weitere Beispiel-Fragestellungen<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<ul>\n<li>Wird ein Produkt nach Betrachten einer Werbung besser bewertet als vorher?<\/li>\n<li>Steigt die Arbeitszufriedenheit nach Durchf\u00fchrung von Trainings?<\/li>\n<li>Werden zwei Produktvarianten unterschiedlich von einer Stichprobe bewertet?<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2>Hypothesen<\/h2>\n<p>Bevor wir uns den Hypothesen widmen, sollten wir uns zun\u00e4chst die &#8222;Testlogik&#8220; vergegenw\u00e4rtigen. Denn der t-Test f\u00fcr abh\u00e4ngige Stichproben stellt nicht wie der t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben beide Mittelwerte gegen\u00fcber, um zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob sie sich unterscheiden, sondern bedient sich eines Zwischenschritts. Er bildet zun\u00e4chst die Differenz aus den beiden Mittelwerten (\u03bc<sub>d<\/sub>= \u03bc<sub>1 <\/sub>&#8211; \u03bc<sub>2<\/sub>) und \u00fcberpr\u00fcft daraufhin, ob sich diese Differenz signifikant von Null unterscheidet. Statt also zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob beide Mittelwerte gleich sind, pr\u00fcft er, ob die Differenz der beiden Mittelwerte gleich Null ist. Dementsprechend unterscheiden sich auch die Hypothesen und lauten um ungerichteten Fall:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Der Mittelwert der Differenzen\u00a0ist gleich Null. (\u03bc<sub>d<\/sub> = 0) (=Es gibt keinen Unterschied zwischen den Mittelwerten beider Stichproben)<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Der Mittelwert der Differenzen ist ungleich Null. (\u03bc<sub>d<\/sub> \u2260 0) (=Es gibt einen Unterschied zwischen den Mittelwerten beider Stichproben)<\/p>\n<p>Ebenso \u00e4ndern sich auch die Hypothesen f\u00fcr gerichtete Fragestellungen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1457\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-1024x385.png\" alt=\"\" width=\"646\" height=\"243\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-1024x385.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-300x113.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-768x289.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-65x24.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-225x85.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25-350x132.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild25.png 1219w\" sizes=\"(max-width: 646px) 100vw, 646px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Wir m\u00f6chten herausfinden, ob FiveProfs Kunden nach dem Verzehr eines Burgers gl\u00fccklicher sind als zuvor. Daf\u00fcr \u00fcberpr\u00fcfen wir einmal vor und einmal nach dem Verzehr den Serotonin-Spiegel der Kunden. Wenn unsere Hypothese stimmt, sollten die Kunden nach dem Verzehr (\u03bc<sub>nachher<\/sub>) einen h\u00f6heren Serotonin-Wert aufweisen als zuvor (\u03bc<sub>vorher<\/sub>).<\/p>\n<p>\u03bc<sub>vorher<\/sub> &lt; \u03bc<sub>nachher\u00a0<\/sub><\/p>\n<p>dementsprechend ist: \u03bc<sub>d\u00a0<\/sub>&lt; 0<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Unsere Hypothesen lauten somit:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Der Serotonin-Wert nach dem Burger ist kleiner oder gleich dem Serotonin-Wert vor dem Verzehr des Burgers (=Die Differenz der Mittelwerte ist gr\u00f6\u00dfer oder gleich Null)<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Der Serotonin-Wert ist nach dem Verzehr des Burgers gr\u00f6\u00dfer als vorher. (=Die Differenz der Mittelwerte ist kleiner als Null)<\/p>\n<p>oder statistisch ausgedr\u00fcckt:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2265\u00a00<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&lt; 0<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1.jpg 1200w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-300x200.jpg 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-1024x683.jpg 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-768x512.jpg 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-65x43.jpg 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-225x150.jpg 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch1-350x233.jpg 350w\" sizes=\"(max-width: 1200px) 100vw, 1200px\" \/><\/a><\/p>\n<h2>Voraussetzungen<\/h2>\n<p>Bevor wir mit der Testung der Hypothese beginnen, m\u00fcssen wir zuvor die Voraussetzungen \u00fcberpr\u00fcfen. Die erste ist, wie der Name schon vermuten l\u00e4sst:<\/p>\n<ul>\n<li>die Stichproben m\u00fcssen <strong>abh\u00e4ngig<\/strong> voneinander sein.<br \/>\nDies kommt entweder durch eine Messwiederholung (=zwei Messungen an derselben Person) oder zwei parallelisierten Gruppen zustande.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Die restlichen Voraussetzungen beziehen sich auf die abh\u00e4ngige Variable (in unserem Beispiel der Serotonin-Spiegel). Wichtig hierbei ist, dass die Voraussetzungen sich nicht auf die gemessenen Serotonin-Werte aus den einzelnen Stichproben beziehen, sondern auf die Differenzen der Messpaare. Stellen sie sich vor, sie erstellen eine neue Variable in Ihrem Datensatz, die \u03bc<sub>1 <\/sub>&#8211; \u03bc<sub>2\u00a0<\/sub>subtrahiert. Sie erhalten eine neue Spalte, die die Differenzen zwischen den beiden Messzeitpunkten abbildet. Eben diese Messwerte m\u00fcssen:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>intervallskaliert<\/strong> sein<br \/>\nWird die Voraussetzung nicht erf\u00fcllt, m\u00fcssen wir auf ein verteilungsfreies Testverfahren zur\u00fcckgreifen. Der Vorzeichentest bietet solch eine Alternative.<\/li>\n<li><strong>normalverteilt<\/strong> sein<br \/>\nDiese Voraussetzung m\u00fcssen wir bei n &lt; 30 testen. In diesen F\u00e4llen f\u00fchren wir vor dem eigentlichen t-Test einen Test auf die Normalverteilung durchf\u00fchren. M\u00f6gliche Tests w\u00e4ren z.B. der Shapiro-Wilk-Test, Kolmogorow-Smirnow-Test oder Lilliefors-Test.<\/li>\n<li>Die Messwerte der beiden Zeitpunkte sollten <strong>positiv miteinander korrelieren<\/strong>, da ansonsten der Test einiges an Testst\u00e4rke (Power) einb\u00fc\u00dft<\/li>\n<\/ul>\n<p>Der t-Test reagiert relativ robust auf Verletzungen der Voraussetzungen. Dennoch sollten Sie auf alternative nicht-parametrische Verfahren umsteigen, wenn einige Voraussetzungen verletzt werden. Die folgende Tabelle zeigt Ihnen, welche Verfahren sich bei welcher Verletzung eignen:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 126px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><strong><span style=\"text-decoration: underline;\">nicht<\/span> erf\u00fcllte Voraussetzung<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\"><strong>Alternativtest<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">abh\u00e4ngige Gruppen<\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 54px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 54px;\">Intervallskalierung<\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 54px;\">Vorzeichentest (ordinal)<br \/>\nBowker Test (nominal)<br \/>\nMcNemar Test (dichotom)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">Normalverteilung<\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">Vorzeichenrangtest (Wilcoxon)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 18px;\">\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">positive Korrelation zwischen Messwerten<\/td>\n<td style=\"width: 50%; height: 18px;\">Vorzeichenrangtest (Wilcoxon)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Falls noch Fragen offen sind, bietet das folgende Video einen weiteren \u00dcberblick.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/SUkza8yxS5A\">14.4 T-Test | Voraussetzungen<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"14.4 T-Test | Voraussetzungen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/SUkza8yxS5A?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h2>Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe<\/h2>\n<p>Um die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die gefundene Differenz zu berechnen, ermitteln wir wieder die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t. Sie berechnet sich in diesem Fall jedoch \u00fcber den Mittelwert der Differenzen der Messpaare, weshalb die Formel leicht von der der t-Tests f\u00fcr unabh\u00e4ngige Stichproben abweicht.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-1460\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild26-1024x360.png\" alt=\"\" width=\"895\" height=\"294\" \/><\/p>\n<p>Da die Berechnung bei gr\u00f6\u00dferen Gruppen sehr aufw\u00e4ndig ist, lohnt es sich die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t durch SPSS oder andere Statistikprogramme ermitteln zu lassen. Wenn Sie kleine Stichproben haben, hilft bei der Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe eine Hilfstabelle, wie das folgende Beispiel zeigt:<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">H\u00e4ndische Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Wir m\u00f6chten die These \u00fcberpr\u00fcfen, ob FiveProfs Kunden nach unseren Burgern gl\u00fccklicher sind als zuvor und messen hierzu den Serotonin-Spiegel vor und nach dem Verzehr eines Burgers. Die Werte stehen in der unterstehenden Tabelle:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 65.9165%; height: 96px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">Serotonin vorher (ng \/ml)<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">Serotonin nachher (ng\/ml)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">120<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">126<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">168<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">182<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">150<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">152<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">197<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">208<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">123<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">130<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Zun\u00e4chst machen wir eine Hilfstabelle, die die Differenzen abbildet:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 96px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">Serotonin vorher (ng \/ml)<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">Serotonin nachher (ng\/ml)<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">Differenz des Serotonin-Spiegels (ng\/ml)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">120<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">126<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-6<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">168<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">182<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-14<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">150<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">152<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">197<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">208<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-11<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 30.4444%; height: 16px;\">123<\/td>\n<td style=\"width: 35.4736%; height: 16px;\">130<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; height: 16px;\">-7<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Diese Differenzen der Mittelwerte k\u00f6nnen wir nun in die Formel einsetzen, um die empirische Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe zu berechnen:<\/p>\n<ol>\n<li>Mittelwert der Differenzen der Messwertpaare berechnen<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1469\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild27-1-300x46.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"46\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild27-1-300x46.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild27-1-65x10.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild27-1-225x34.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild27-1-350x54.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild27-1.png 745w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/li>\n<li>Standardfehler der Messwertunterschiede berechnen<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1473\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-1024x333.png\" alt=\"\" width=\"664\" height=\"216\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-1024x333.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-300x98.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-768x250.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-65x21.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-225x73.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2-350x114.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild28-2.png 1479w\" sizes=\"(max-width: 664px) 100vw, 664px\" \/><\/li>\n<li>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe t berechnen<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1471\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild29-2-300x66.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"66\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild29-2-300x66.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild29-2-65x14.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild29-2-225x50.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild29-2-350x77.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild29-2.png 628w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2>Interpretation des t-Werts<\/h2>\n<p>Um unsere im Vorhinein aufgestellte Hypothese entweder anzunehmen oder verwerfen zu k\u00f6nnen, stellen wir die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe dem kritischen t-Wert gegen\u00fcber. N\u00e4heres hierzu finden Sie beim t-Test f\u00fcr unabh\u00e4ngig Stichproben, der diese Schritte einzeln darstellt.<\/p>\n<p>Die folgende Tabelle zeigt Ihnen eine \u00dcbersicht, in welchen F\u00e4llen wir die Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen. (df =n-1)<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 116px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 68px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">Hypothese<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d<\/sub> = 0<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d<\/sub> \u2260 0<\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2265 0<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&lt; 0<\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2264\u00a00<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&gt;\u00a00<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">empirischer T-Wert (t<sub>emp<\/sub>)<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1466\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild30.png\" alt=\"\" width=\"88\" height=\"53\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1466\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild30.png\" alt=\"\" width=\"88\" height=\"53\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1466\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2021\/05\/Bild30.png\" alt=\"\" width=\"88\" height=\"53\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">kritischer T-Wert (t<sub>krit<\/sub>)<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 \u00b1 t<sub>1-\u03b1\/2, (<em>df <\/em>)<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)\u00a0<\/sub> = -t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen, wenn<\/td>\n<td style=\"width: 25.0236%; height: 16px;\">|t<sub>emp<\/sub> | &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &lt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 24.9292%; height: 16px;\">t<sub>emp<\/sub> &gt; t<sub>krit<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Unsere zu \u00fcberpr\u00fcfende Fragestellung war, ob FiveProfs Kunden nach dem Konsum eines Burgers gl\u00fccklicher sind als zuvor (Signifikanzniveau \u03b1 = 0,05). Daraus ergibt sich folgendes gerichtetes Hypothesenpaar:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Der Serotonin-Wert nach dem Burger ist kleiner oder gleich dem Serotonin-Wert vor dem Verzehr des Burgers (=Die Differenz der Mittelwerte ist gr\u00f6\u00dfer oder gleich Null)<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Der Serotonin-Wert ist nach dem Verzehr des Burgers gr\u00f6\u00dfer als vorher. (=Die Differenz der Mittelwerte ist kleiner als Null)<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>\u2265 0<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc<sub>d <\/sub>&lt; 0<\/p>\n<ol>\n<li>Kritischen t-Wert berechnen<br \/>\nt<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 t<sub>\u03b1, (<em>df<\/em>)\u00a0<\/sub> = -t<sub>1-\u03b1, (<em>df<\/em>)<\/sub><sub>\u00a0<\/sub>= -t<sub>0,95, (4)<\/sub> = -2,1318<\/li>\n<li>Entscheidung<br \/>\nt<sub>emp<\/sub> = -3,858 &lt; t<sub>krit<\/sub> = -2,132\u00a0 &#8211;&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen<\/li>\n<\/ol>\n<p>FiveProfs-Kunden haben nach dem Verzehr eines Burgers einen signifikant h\u00f6heren Serotoninspiegel und sind dementsprechend gl\u00fccklicher als vorher (5% Irrtumswahrscheinlichkeit).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<h1 id=\"chapter-65-section-10\" class=\"section-header\">15.5 \u00dcbungsfragen<\/h1>\n<p>Bei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-133\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"133\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-134\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"134\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-135\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"135\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>In diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-136\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"136\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-137\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"137\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-138\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"138\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-139\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"139\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch5.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\n<hr class=\"before-footnotes clear\" \/><div class=\"footnotes\"><ol><li id=\"footnote-1406-1\">Student: The Probable Error of a Mean. In: Biometrika. 6, Nr. 1, 1908, S. 1\u201325. JSTOR 2331554. doi:10.1093\/biomet\/6.1.1. <a href=\"#return-footnote-1406-1\" class=\"return-footnote\" aria-label=\"Return to footnote 1\">&crarr;<\/a><\/li><li id=\"footnote-1406-2\"><strong data-start=\"1011\" data-end=\"1062\">Rasch, D., Kubinger, K. D., &amp; Moder, K. (2011).<\/strong> \u201cThe two-sample t test: Pre-testing its assumptions does not pay off.\u201d <em data-start=\"1134\" data-end=\"1154\">Statistical Papers<\/em>, 52(1), 219\u2013231. <a href=\"#return-footnote-1406-2\" class=\"return-footnote\" aria-label=\"Return to footnote 2\">&crarr;<\/a><\/li><\/ol><\/div>","protected":false},"author":3,"menu_order":6,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"part":99,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1406"}],"collection":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/users\/3"}],"version-history":[{"count":33,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1406\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1891,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1406\/revisions\/1891"}],"part":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/99"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/1406\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1406"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=1406"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=1406"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=1406"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}