{"id":101,"date":"2020-10-16T17:06:26","date_gmt":"2020-10-16T15:06:26","guid":{"rendered":"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/z-test-gausstest\/"},"modified":"2025-02-27T14:28:31","modified_gmt":"2025-02-27T13:28:31","slug":"z-test-gausstest","status":"web-only","type":"chapter","link":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/z-test-gausstest\/","title":{"rendered":"Z-Test\/Gau\u00dftest"},"content":{"raw":"<h1>11.0 Einf\u00fchrung Z-Test\/Gau\u00dftest<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Zu Beginn von Testverfahren stehen die Hypothesen. Wie solche Hypothesen aussehen k\u00f6nnen und was f\u00fcr Hypothesen es in der Forschung gibt, haben Sie bereits im letzten Kapitel gelernt. Nun geht es darum, diese anhand von Stichproben zu testen und dadurch zu best\u00e4tigen oder zu verwerfen. Da unterschiedliche Hypothesen diverse Sachverhalte postulieren k\u00f6nnen, gibt es jedoch nicht den einen statistischen Test, der f\u00fcr alle Hypothesen anwendbar ist. Stattdessen finden sich in der Inferenzstatistik zahlreiche Testverfahren, die jeweils f\u00fcr bestimmte Hypothesen geeignet sind. So auch der Z-Test oder Gau\u00dftest, welchen Sie in diesem Kapitel kennenlernen werden.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Z-Test geh\u00f6rt hierbei zu den Tests, die auf Basis <em>einer <\/em>Stichprobe Unterschiedshypothesen bez\u00fcglich des Erwartungswerts untersuchen<span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">. <\/span><strong style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">Er \u00fcberpr\u00fcft dabei, ob das arithmetische Mittel eines Merkmals aus einer Stichprobe zu einer Population geh\u00f6ren kann, f\u00fcr die der entsprechende Mittelwert (\u03bc<sub>0<\/sub>) bekannt bzw. gegeben ist<\/strong><span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">. Das klingt zun\u00e4chst kompliziert, jedoch lassen sich hierf\u00fcr auch viele, sehr praktische, Anwendungsf\u00e4lle finden, wie die nachfolgenden Beispiele zeigen.<\/span><\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele Z-Test<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nDer Betreiber einer Burger-Filiale m\u00f6chte herausfinden, ob eine neue Cola-Sorte beim Kunden besser ankommt als sein aktuelle Cola-Marke. Der aktuelle Geschmack liegt laut Meinungsumfragen bei \u03bc = 3,6 von 5 Geschmackspunkten (Die Populationsvarianz ist hierbei bekannt). Bei einer Zufalls-Stichprobe von 50 Probanden hat die neuen Cola-Sorte einen Mittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 4,5 Geschmackspunkten ergeben. Doch reicht dieses Ergebnis aus um nun sagen zu k\u00f6nnen, dass die neue Cola-Sorte auch wirklich signifikant besser schmeckt als die bisherige? Mit anderen Worten: ist dieser Unterschied auch in der Population so zu erwarten?<\/span>\r\n\r\nHierbei lauten die Hypothesen:\r\n\r\n<\/div>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Die neue Cola-Sorte schmeckt im Durchschnitt gleich oder schlechter als die aktuellen Cola-Sorte.\r\nH<sub>1<\/sub>: Die neuen Cola-Sorte schmeckt im Durchschnitt besser als die aktuellen Cola-Sorte.\r\n\r\nSind Abonnenten des FiveProfs YouTube Kanals schlauer als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung? Hierf\u00fcr wurde eine Zufalls-Stichprobe mit 45 Kanal-Abonnenten durchgef\u00fchrt, die einen Mittelwert von 105 IQ-Punkten aufwies. Der Durchschnitt in der Bev\u00f6lkerung ist mit einem Durchschnittswert von 100 IQ-Punkten und einer Standardabweichung von 15 IQ-Punkten bekannt.\r\n\r\nIn diesem Fall lauten die Hypothesen:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Die Abonnenten des FiveProfs YouTube Kanals haben den gleichen oder einen geringeren IQ als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung.\r\nH<sub>1<\/sub>: Die Abonnenten des FiveProfs YouTube Kanals haben einen h\u00f6heren IQ als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie auch schon bei den Konfidenzintervallen ist das Ziel des Hypothesentests, eine Wahrscheinlichkeitsaussage zu treffen. Wie schon zuvor arbeiten wir mit einer vorab definierten Irrtumswahrscheinlichkeit, dem Signifikanzniveau \u03b1, welches definiert, ab welcher Wahrscheinlichkeit wir die Hypothesen ablehnen.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Das folgende Video bietet Ihnen die M\u00f6glichkeit, nochmal einen \u00dcberblick \u00fcber das Thema zu erhalten und den Z-Test mit weiteren Beispielen veranschaulicht zu bekommen.<\/p>\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/eFqT0cSujVg\">11.1 Z-Test Gau\u00dftest | Einf\u00fchrung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/eFqT0cSujVg\r\n\r\nDoch wie geht man an die Testung solcher Hypothesen in der Praxis heran? Schauen wir uns die Testdurchf\u00fchrung schrittweise an.\r\n<h1>11.1 Hypothesen aufstellen<\/h1>\r\nBevor wir mit dem Hypothesentest beginnen, bilden wir zun\u00e4chst eine Forschungshypothese und \u00fcbersetzen diese anschlie\u00dfend in die dazugeh\u00f6rigen statistischen Hypothesen.\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Nehmen wir an, ein Hersteller hat die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" entwickelt, die bei hohen Temperaturen langsamer schmilzt. Nun m\u00f6chten Sie das Produkt auf den Markt bringen und f\u00fchren vorab einen Geschmackstest durch. Sie vermuten jedoch, dass Ihre Eiscreme-Sorte durch die neue Mischung deutlich besser schmeckt und f\u00fchren zur Best\u00e4tigung Ihrer These eine Studie mit 36 zuf\u00e4llig gew\u00e4hlten Probanden durch, die Ihre Eiscreme mit durchschnittlich 7,5 von 10 Geschmackspunkten bewerten. In diesem Beispiel nehmen wir an, dass es ausreichend Marktforschung zum Eis-Geschmack gibt, so dass wir aus vorherigen Analysen wissen, dass die bisher erh\u00e4ltliche Eiscreme mit 7,2 von 10 Geschmackspunkten bewertet wird, bei einer Populationsvarianz von \u03c3<sup>2<\/sup> = 0,36. Ihre operationale Alternativhypothese lautet dementsprechend:<\/p>\r\nH<sub>1<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" erzielt eine h\u00f6here Geschmackspunktzahl, als bisher verf\u00fcgbare Eiscreme.\r\n\r\nDaraufhin bilden Sie das logische Gegenteil, die Null-Hypothese:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" erzielt die gleiche oder eine schlechtere Geschmackspunktzahl, als bisher verf\u00fcgbare Eiscreme.\r\n\r\nAnschlie\u00dfend leiten Sie daraus die statistischen Thesen ab, die wir anschlie\u00dfend testen werden:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 7,2\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; 7,2\r\n\r\nNun w\u00e4hlen wir anhand der Hypothesen einen geeigneten Test aus. In unserem Fall eignet sich der z-Test am besten, da er \u00fcberpr\u00fcft, ob eine Stichprobe aus einer bestimmten Population mit dem Mittelwert \u03bc<sub>0 <\/sub>stammt oder nicht. Im Allgemeinen k\u00f6nnte man die Hypothesen des z-Tests folgenderma\u00dfen formulieren:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Die Stichprobe stammt aus einer Population, die den Mittelwert \u03bc<sub>0 <\/sub>aufweist.\r\nH<sub>1<\/sub>: Die Stichprobe stammt nicht aus einer Population, die den Mittelwert \u03bc<sub>0 <\/sub>aufweist.\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Auch in unserem Beispiel k\u00f6nnte man die Forschungsthesen so formulieren. Die H<sub>0 <\/sub>w\u00fcrde in diesem Fall bedeuten, dass der Geschmack unsere Eissorte \"Ewiges Eis\" der Population, also allen anderen Eissorten, entspricht und die Abweichung vom Populationsmittelwert von 0,3 Geschmackspunkten daher nur zuf\u00e4llig entstanden ist (H<sub>0<\/sub>). Alternativ, k\u00f6nnte man die Abweichung vom Populationsmittelwert von 0,3 Geschmackspunkten dadurch erkl\u00e4ren, dass unser Eis wirklich besser Schmeckt, also nicht aus dieser Population stammt bzw. sich signifikant von dieser Population unterschiedet (H<sub>1<\/sub>). Das folgende Schaubild zeigt die Situation grafisch.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-813 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-1024x251.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"251\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der grau schattierte Bereich zeigt die Wahrscheinlichkeit der H<sub>0\u00a0<\/sub>(Sp\u00e4ter auch P-Wert genannt). Je weiter der gefundene Stichprobenmittelwert vom Populationsmittelwert \u03bc entfernt ist, desto unwahrscheinlicher ist die H<sub>0<\/sub>. Die Regel, ab wann diese dann abzulehnen ist, werden wir im folgenden kennen lernen (Die Festlegung dieser Grenze ist der eigentliche Z-Test). Zuvor wollen wir uns abschlie\u00dfend nochmal den m\u00f6glichen Hypothesen widmen. Grunds\u00e4tzlich kann der Z-Test ungerichtet, oder links-\/rechtsseitig gerichtet durchgef\u00fchrt werden. Die folgende Tabelle zeigt die daraus resultierenden Hypothesenpaare f\u00fcr unser Beispiel.<\/p>\r\n\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 25%;\">Die Alternativ-\r\nhypothese ist...<\/td>\r\n<td style=\"width: 19.5231%;\">H<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 18.2012%;\">H<sub>1<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Beispiel der Alternativ-\r\nhypothese<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 25%;\">ungerichtet<\/td>\r\n<td style=\"width: 19.5231%;\">\u03bc = \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 18.2012%;\">\u03bc \u2260 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt nicht wie die der Konkurrenz und erzielt dementsprechend eine andere Geschmackspunktzahl.<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 25%;\">gerichtet (rechtsseitig)<\/td>\r\n<td style=\"width: 19.5231%;\">\u03bc \u2264 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 18.2012%;\">\u03bc &gt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt besser als das Konkurrenzprodukt und erzielt damit mehr Geschmackspunkte.<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 25%;\">gerichtet (linksseitig)<\/td>\r\n<td style=\"width: 19.5231%;\">\u03bc \u2265 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 18.2012%;\">\u03bc &lt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt schlechter als das Konkurrenzprodukt und erzielt damit weniger Geschmackspunkte.<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">\u03bc steht hierbei f\u00fcr den Erwartungswert der Population, aus der wir unsere Stichprobe gezogen haben (in unserem Fall also der Erwartungswert unserer Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\"). \u03bc<sub>0\u00a0<\/sub>hingegen steht f\u00fcr den Populationsparameter, gegen den wir testen (im Beispiel w\u00e4re das die 7,2 Geschmackspunkte des Konkurrenten). Dieser wird in den statistischen Hypothesen als fester Wert dargestellt.<\/p>\r\n\r\n<h1>11.2 Voraussetzungen pr\u00fcfen<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Zudem m\u00fcssen wir, bevor wir mit dem Test beginnen, \u00fcberpr\u00fcfen, ob unsere Daten die Voraussetzungen des Tests erf\u00fcllen. Beispielsweise unterscheiden sich Signifikanztests darin, welches Skalenniveau sie ben\u00f6tigen oder welche Verteilungsfunktion in den Daten vorliegen muss.<\/p>\r\nDer z-Test besitzt folgende Voraussetzungen:\r\n<ul>\r\n \t<li>Die abh\u00e4ngige Variable muss mindestens intervallskaliert sein.<\/li>\r\n \t<li>Die Daten sollten normalverteilt sein. Jedoch kann ab n &gt; 30, gem\u00e4\u00df dem zentralen Grenzwerttheorem, von dieser Voraussetzung abgesehen werden.<\/li>\r\n \t<li>Die Standardabweichung der Population \u03c3 (bzw. die Populationsvarianz \u03c3<sup>2<\/sup>) muss bekannt sein.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Beispiel sind alle Voraussetzungen erf\u00fcllt, da wir bei den Geschmackspunkten von einer Intervallskala ausgehen, unsere Stichprobe ein n &gt; 30 aufweist und die Populationsvarianz mit \u03c3<sup>2 <\/sup>= 0,36 bekannt ist. Nun k\u00f6nnen wir mit der Testung unserer Hypothesen beginnen.<\/p>\r\n\r\n<h1>11.3 Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Abweichung der Stichprobe von der angenommenen Grundgesamtheit messen zu k\u00f6nnen, berechnen wir zun\u00e4chst die <strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe <\/strong>(auch<strong> Teststatistik <\/strong>genannt), die sich von Test zu Test unterscheidet. Im Falle des z-Tests berechnen wir die <strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z. <\/strong>Diese Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe sollte Ihnen aus dem Kapitel <a href=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/z-standardisierung\/\">z-Standardisierung<\/a> bekannt vorkommen. Diese Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe dr\u00fcckt die Mittelwertsdifferenz zwischen dem gefundenen Mittelwert <img class=\"alignnone wp-image-26\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/x_quer-1.png\" alt=\"\" width=\"13\" height=\"16\" \/> und dem Populationsmittelwert \u03bc in Standardfehlern aus. Dadurch \u00fcberf\u00fchren wir die Stichprobenkennwerteverteilung aus unserer Aufgabenstellung (in unserem Beispiel eine Normalverteilung mit \u03bc<sub>0<\/sub>= 7,2 und \u03c3<sup>2 <\/sup>= 0,36) in eine Standardnormalverteilung mit \u03bc= 0 und \u03c3<sup>\u00a0<\/sup>=1. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass wir nun anhand des berechneten z-Wertes die Auftretenswahrscheinlichkeit f\u00fcr unseren gefundenen Mittelwert aus der Stichprobe mittels Tabellen bestimmen k\u00f6nnen (aber dazu sp\u00e4ter mehr).<\/p>\r\n&nbsp;\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-812 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-1024x411.png\" alt=\"\" width=\"917\" height=\"368\" \/>\r\n\r\nRechnen wir zun\u00e4chst die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z f\u00fcr unser Beispiel der Eissorten aus:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-814 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-1024x410.png\" alt=\"\" width=\"704\" height=\"282\" \/>\r\n\r\nDie Pr\u00fcfstatistik f\u00fcr unseren Stichprobenmittelwert ist z<sub>emp<\/sub> = 3.\r\n\r\nAn dieser Beispielrechnung wird ein weiterer wichtiger Grundsatz der Hypothesentestung deutlich. Wir berechnen den z-Wert des Stichprobenmittelwerts unter Annahme, dass er zu der Normalverteilung mit \u03bc<sub>0<\/sub>= 7,2 und \u03c3<sup>\u00a0<\/sup>= 0,6 geh\u00f6rt. Wenn Sie sich an den vorherigen Absatz der Hypothesenaufstellung erinnern, so war genau dies die Annahme der H<sub>0<\/sub>. Dementsprechend pr\u00fcfen wir, wie wahrscheinlich es ist, dass unsere Daten aus der Stichprobe (hier: 7,5 Geschmackspunkte) auftreten, wenn die H<sub>0 <\/sub>gilt.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-815 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-1024x310.png\" alt=\"\" width=\"724\" height=\"219\" \/>\r\n\r\nNoch Fragen offen geblieben? Das folgende Video erkl\u00e4rt die Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z anhand der Discobeleuchtung in der Five Profs Kette.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/tqU61FSP7_8\">11.2 Z-Test Gau\u00dftest | Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe Z<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/tqU61FSP7_8\r\n<h1>11.4 Konstruktion des Ablehnungsbereichs und Entscheidung<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im n\u00e4chsten Schritt des Testens gilt es zu kl\u00e4ren, wie wahrscheinlich unser gefundener z-Wert unter Annahme der Nullhypothese ist. Ist sein Auftreten \"unwahrscheinlich genug\", k\u00f6nnen wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen. Doch wie definieren wir, welcher z-Wert f\u00fcr uns \"unwahrscheinlich genug\" ist? Hierf\u00fcr konstruieren wir einen <strong>Ablehnungsbereich<\/strong>, dessen Grenzen als <strong>kritische z-Werte <\/strong>oder kurz<strong> z<sub>krit<\/sub><\/strong> bezeichnet werden. Liegt unser empirisch gefundener z-Wert z<sub>emp<\/sub> in diesem Ablehnungsbereich, so wird die H<sub>0<\/sub> abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-856 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-1024x397.png\" alt=\"\" width=\"608\" height=\"236\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wo genau unsere kritischen z-Werte liegen, h\u00e4ngt dabei vom Signifikanzniveau \u03b1 ab, welches wir im Vorhinein definieren. Mit dem Signifikanzniveau legen wir fest, welche Irrtumswahrscheinlichkeit \u03b1 wir akzeptieren m\u00f6chten. Zur Wiederholung zeigt Ihnen die folgende Tabelle die \u00fcblichen Signifikanzniveaus in der Forschung. Welches Signifikanzniveau Sie dabei festlegen, ist ganz allein Ihnen \u00fcberlassen, jedoch sollte die Entscheidung unter Ber\u00fccksichtigung der jeweiligen Forschungshypothese erfolgen.<\/p>\r\n\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><strong>\u03b1<\/strong><\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><strong>%<\/strong><\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><strong>Beschreibung<\/strong><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,1 (.10)<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">10%-Signifikanzniveau<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">marginal signifikant<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,05 (.05)<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">5%-Signifikanzniveau<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">signifikant<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,01 (.01)<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">1%-Signifikanzniveau<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">hoch signifikant<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,001 (.001)<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">0,1%-Signifikanzniveau<\/td>\r\n<td style=\"width: 33.3333%;\">h\u00f6chst signifikant<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Eis-Beispiel wollen wir auf Nummer sicher gehen und legen unser Signifikanzniveau auf 1% fest. Anders gesagt legen wir fest, dass wir uns gegen unsere Nullhypothese (\"Unser Eis schmeckt gleich oder schlechter als das der Konkurrenz\") entscheiden, wenn die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten unseres empirischen z-Werts unter 1% liegt. Graphisch sieht der Ablehnungsbereich f\u00fcr unser Beispiel wie folgt aus:<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-858 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-1024x427.png\" alt=\"\" width=\"607\" height=\"253\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Im definierten Ablehnungsbereich liegen genau 1% der Werte unter der Standardnormalverteilung. Anders gesagt bedeutet dies, dass unter Annahme der H<sub>0<\/sub> bei einer Zufallsziehung nur 1% der Stichproben ein solches Ergebnis liefern w\u00fcrden. Wir bestimmen nun den zugeh\u00f6rigen z-Wert wieder aus einer Tabelle f\u00fcr die Standardnormalverteilung. Da diese Tabellen meist nur die Werte von - unendlich bis zum entsprechenden z-Wert angeben, m\u00fcssen wir noch den Kehrwert berechnen (1- \u03b1) , also 1 - 0,01 = 0,99. Dies definiert die Grenze des Ablehnbereichs z<sub>krit <\/sub>(= z<sub>1-\u03b1<\/sub>).<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-842 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6.png\" alt=\"\" width=\"698\" height=\"455\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Unser kritischer z-Wert hat laut der Tabelle einen Wert von 2,33. Da die Tabellen immer nur grob die Werte angeben, h\u00e4tten wir alternativ auch den kritischen z-Wert von 2,32 w\u00e4hlen k\u00f6nnen. Da wir jedoch unsere H<sub>0<\/sub> nicht zu schnell ablehnen m\u00f6chten, bietet es sich grunds\u00e4tzlich an, den konservativeren Wert zu w\u00e4hlen. Der Wert 2,33 stellt somit unsere kritische Grenze dar, ab der wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen. Diese vergleichen wir nun mit unserer Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z. Wenn unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe gr\u00f6\u00dfer als der kritische z-Wert ist, liegt sie im Ablehnungsbereich, in der wir die Nullhypothese verwerfen. Da unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe einen Wert von z<sub>emp<\/sub>=3 aufweist und damit gr\u00f6\u00dfer ist als der kritische z-Wert, lehnen wir die Nullhypothese im vorliegenden Fall ab.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-852 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-1024x337.png\" alt=\"\" width=\"754\" height=\"248\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir k\u00f6nnen sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass unser erhobener Stichprobenmittelwert zur selben Population, wie die Eiscreme-Sorte der Konkurrenz geh\u00f6rt, bei unter 1% liegt. Dadurch wird unser selbstgew\u00e4hltes Signifikanzniveau unterschritten und man kann von einem <strong>signifikanten Unterschied<\/strong> sprechen (bzw. genauer: einem hoch signifikantem Unterschied, da das Signifikanzniveau bei \u03b1 = 1% lag).\r\nWenn wir zur\u00fcck an unsere Aufgabenstellung denken, wollten wir herausfinden, ob unsere Eissorte \"Ewiges Eis\", besser beim Geschmackstest abschneidet als die Konkurrenzsorten. Dadurch, dass wir die H<sub>0<\/sub> abgelehnt haben, k\u00f6nnen wir diese Frage nun beantworten und sagen, dass unsere Eissorte signifikant besser schmeckt, als die Eissorten der Konkurrenz (mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%). Mit dieser Entscheidung ist unser Testverfahren abgeschlossen.\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch3.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Beispiel haben wir einen <strong>einseitigen z-Test<\/strong> durchgef\u00fchrt mit einer gerichteten rechtsseitigen Hypothese. Der z-Test kann jedoch auch andere Hypothesenpaare testen, wie z.B. eine gerichtete linksseitige oder eine ungerichtete Hypothese. Um zu verdeutlichen, wie wir den Ablehnungsbereich in diesen F\u00e4llen konstruieren, drehen wir unser Beispiel um und pr\u00fcfen die folgenden Behauptungen:<\/p>\r\nH<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" erzielt die gleiche oder eine h\u00f6here Geschmackspunktzahl als das Konkurrenzprodukt. \u03bc \u2265 7,2\r\nH<sub>1<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" erzielt eine <strong>niedrigere<\/strong> Geschmackspunktzahl als das Konkurrenzprodukt. \u03bc &lt; 7,2\r\n\r\nBei einem Signifikanzniveau von 1% sieht unser Ablehnungsbereich wie folgt aus:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-859 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-1024x395.png\" alt=\"\" width=\"642\" height=\"248\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir sehen, dass unser Ablehnungsbereich nun auf der anderen Seite der Verteilung liegt. Dies liegt daran, weil wir aufgrund unserer linksseitigen Hypothese vermuten, dass unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe kleiner als der Erwartungswert der Verteilung ausf\u00e4llt. Dementsprechend lehnen wir die Nullhypothese ab, wenn unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z<sub>emp<\/sub> <strong>kleiner<\/strong> als der entsprechende kritische z-Wert z<sub>krit<\/sub> ist. Um zu berechnen, wo unser kritischer z-Wert liegt, nutzen wir wieder eine Tabelle f\u00fcr die Standardnormalverteilung, basierend auf unserem festgelegten Signifikanzniveau. Da dieses auf \u03b1=1% festgelegt wurde, ist die Grenze unseres Ablehnungsbereichs bei dem z-Wert, bis zu welchem 1% aller Daten liegen. Es gilt:<\/p>\r\nz<sub>krit<\/sub> = - z<sub>(1-\u03b1)<\/sub>\r\n\r\nF\u00fcr unseren kritischen Wert von z<sub>1%<\/sub> w\u00fcrden wir demnach Folgendes berechnen:\r\n\r\nz<sub>krit<\/sub> = - z<sub>(1-0,01)<\/sub> = - z<sub>0,99<\/sub> = - 2,33\r\n\r\nWenn unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe einen kleineren Wert als -2,33 aufweist, so befindet z<sub>emp<\/sub> sich im Ablehnungsbereich und wir k\u00f6nnen die H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen. Ist der Teststatistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische z-Wert, wird die H<sub>0<\/sub> beibehalten.\r\n\r\nIn einem letzten Beispiel schauen wir uns unser Eiscreme-Szenario f\u00fcr eine ungerichtete Hypothese bei einem Signifikanzniveau von 1% an. Unsere Hypothesen lauten hierbei:\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" schmeckt gleich gut wie die Konkurrenz und erzielt die gleiche Geschmackspunktzahl wie die Konkurrenzprodukte (\u03bc = 7,2).\r\nH<sub>1<\/sub>: Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt nicht wie die der Konkurrenz und erzielt dementsprechend eine andere Geschmackspunktzahl (\u03bc \u2260 7,2).\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In diesem Fall f\u00fchren wir einen <strong>zweiseitigen z-Test<\/strong> durch. Hierf\u00fcr bilden wir auf beiden Seiten der Verteilung einen Ablehnungsbereich, da wir keine Vermutung dar\u00fcber aufstellen, auf welcher Seite der Verteilung sich unsere empirisch erhobene Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z befindet. Als Konsequenz halbiert sich die Fl\u00e4che unserer Ablehnungsbereiche auf beiden Seiten, sodass wir nun statt einem Ablehnungsbereich mit 1%, zwei Ablehnungsbereiche mit jeweils 0,5% haben.<\/p>\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-860 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-1024x379.png\" alt=\"\" width=\"711\" height=\"263\" \/>\r\n\r\nDementsprechend \u00e4ndern sich auch unsere kritischen z-Werte, die die Grenzen, der Ablehnungsbereiche bilden. Statt bei z<sub>1-\u03b1\u00a0<\/sub>zu liegen, befinden sie sich nun bei +\/- z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub>. F\u00fcr unser Beispiel mit einem Signifikanzniveau von 1% liegen sie damit bei:\r\n\r\nUntergrenze: z<sub>krit<\/sub> = -z<sub>1-\u03b1\/2 <\/sub>\u00a0 =\u00a0 -z<sub>1-0,01\/2<\/sub> \u00a0= -z<sub>0,995<\/sub>\u00a0 = - 2,58\r\n\r\nObergrenze: z<sub>krit<\/sub> = \u00a0 z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub>\u00a0 =\u00a0 z<sub>1-0,01\/2<\/sub>\u00a0 = z<sub>0,995 <\/sub>=\u00a0 2,58\r\n\r\nIst unsere empirische Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe kleiner als z<sub>krit<\/sub> von -2,58 beziehungsweise gr\u00f6\u00dfer als unser oberer kritischer z-Wert von +2,58, k\u00f6nnen wir die Nullhypothese ablehnen und damit best\u00e4tigen, dass sich unsere Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" in der Geschmacksbewertung signifikant von der Konkurrenz unterscheidet (mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 1%).\r\n\r\nUm die Konstruktion des Ablehnungsbereichs und die Entscheidung besser nachvollziehen zu k\u00f6nnen, zeigt Ihnen das folgende Video von Five Profs eine Beispielrechnung an einem Praxisfall.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/DXupYlxm70M\">11.3 Z-Test Gau\u00dftest | Konstruktion des Ablehnbereichs und Entscheidung<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/DXupYlxm70M\r\n\r\nZudem zeigt Ihnen die folgende Tabelle eine \u00dcbersicht, \u00fcber alle Hypothesenpaare des z-Tests und wie die entsprechenden Zwischenschritte zu berechnen sind.\r\n\r\nVoraussetzungen : Intervalldaten; f\u00fcr n &lt; 30 Normalverteilung in den Daten, ab n \u2265 30 beliebige Verteilung; \u03c3 bekannt\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 116px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 68px;\">\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">Hypothesen<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc = \u03bc<sub>0<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc \u2260 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 \u03bc<sub>0<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2265 \u03bc<sub>0<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc &lt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">Bestimmung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe (z<sub>emp<\/sub>)<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-861\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png\" alt=\"\" width=\"158\" height=\"42\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-861\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png\" alt=\"\" width=\"180\" height=\"48\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\"><img class=\"alignnone wp-image-861\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png\" alt=\"\" width=\"173\" height=\"45\" \/><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">Bestimmung kritischer z-Wert (z<sub>krit<\/sub>)<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>krit\u00a0<\/sub>= -z<sub>1-\u03b1\/2 <\/sub>; + z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>krit\u00a0<\/sub>= \u00a0z<sub>1-\u03b1<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 - z<sub>1-\u03b1<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">H<sub>0<\/sub> ablehnen, wenn:<\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">|z<sub>emp<\/sub>| &gt; z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>emp<\/sub> &gt;\u00a0 z<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>emp<\/sub> &lt;\u00a0 z<sub>krit<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Rechenbeispiel Z-Test<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nWir haben die Vermutung, dass die Einf\u00fchrung des neuen interaktiven Skripts die Lernleistung in Statistik, gemessen \u00fcber das Abschneiden in der Klausur, verbessert. Um diese Hypothese zu \u00fcberpr\u00fcfen, ziehen wir eine Zufalls-Stichprobe von n=45 Studierenden, die das neue interaktive Skript erhalten. Diese haben einen Durchschnitt von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 82 Punkten in der Klausur (von 100 m\u00f6glichen Punkten). Bei Studierenden, die kein interaktives Skript hatten, lag der langj\u00e4hrige Populationsmittelwert in der Klausur bei\u00a0 \u03bc<sub>0\u00a0<\/sub>= 80 mit\u00a0 \u03c3<sup>2<\/sup>=64 (bzw. \u03c3=8). Unser festgelegtes Signifikanzniveau betr\u00e4gt 5%.<\/span>\r\n\r\n<strong>Hypothesen aufstellen:<\/strong>\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 80\r\n(Studierende mit interaktivem Skript erzielen in der Klausur die gleiche oder eine geringere Punktzahl, als Studierende ohne ein interaktives Skript<span class=\"mwe-math-element\">)\r\n<\/span>H<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; 80\r\n(Studierende mit interaktivem Skript erzielen in der Klausur eine h\u00f6here Punktzahl, als Studierende ohne ein interaktives Skript mit einem <span class=\"mwe-math-element\">\u03bc<sub>0\u00a0<\/sub>= 80)<\/span>\r\n\r\n<strong>Voraussetzungen pr\u00fcfen: <\/strong>Intervalldaten (\u2713); n &gt; 30, sodass Verteilung beliebig ist (\u2713); <span class=\"mwe-math-element\">\u03c3 gegeben (\u2713)\r\n<\/span>\r\n\r\n<strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe berechnen:<\/strong><img class=\"alignnone size-medium wp-image-862\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-300x38.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"38\" \/>\r\n\r\n<strong>kritischen z-Wert berechnen: <\/strong>z<sub>krit<\/sub> = z<sub>1-\u03b1\u00a0<\/sub>= z<sub>0,95<\/sub> = 1,65\r\n\r\n<strong>Entscheidung treffen: <\/strong>z<sub>emp<\/sub> &gt;\u00a0 z<sub>krit<\/sub>\u00a0 --&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen\r\n\r\n<img class=\"wp-image-863 alignnone\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-1024x337.png\" alt=\"\" width=\"716\" height=\"236\" \/>\r\n<ul>\r\n \t<li><strong>Antwort<\/strong>:\r\nAufgrund der Untersuchung kann angenommen werden, dass das interaktive Skript die Lernleistung der Studierenden verbessert hat (mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5%).<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<h1>11.5 p-Wert als Entscheidungskriterium<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu entscheiden, ob wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen oder beibehalten, haben wir im vorausgegangenen Absatz die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe<em> z<\/em><sub>emp<\/sub> mit dem kritischen z-Wert z<sub>krit<\/sub> verglichen. Als Alternative kann man stattdessen auch den <strong>p-Wert<\/strong> als Entscheidungskriterium verwenden, welcher in der Praxis deutlich h\u00e4ufiger angegeben wird.\r\nHierf\u00fcr berechnen wir aus unserer Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe <em>z<\/em> einen p-Wert, welcher die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die H<sub>0<\/sub> ausdr\u00fcckt. Oder anders ausgedr\u00fcckt: Die Wahrscheinlichkeit, dass wir solch einen Stichprobenmittelwert und damit empirischen z-Wert erhalten, unter der Annahme der H<sub>0<\/sub>. Beispielsweise w\u00fcrde ein p-Wert von 1,75% aussagen, dass das Auftreten unseres empirischen z-Werts unter Annahme der Nullhypothese eine Wahrscheinlichkeit von 1,75% besitzt. Um anschlie\u00dfend zu entscheiden, ob wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen oder beibehalten, vergleichen wir diesen p-Wert mit unserem im Vorhinein bestimmten Signifikanzniveau \u03b1. Wenn der p-Wert kleiner als unser definiertes Signifikanzniveau \u03b1 ist, dann k\u00f6nnen wir die H<sub>0<\/sub> verwerfen. In unserem Beispiel w\u00e4hlen wir ein 5%-Signifikanzniveau. Da unser p=1,75% kleiner als \u03b1=5% ist, entscheiden wir uns in diesem Fall f\u00fcr eine Ablehnung der Nullhypothese. Unsere Begr\u00fcndung hierbei ist, dass unser z-Wert lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,75% unter Annahme der Nullhypothese auftritt, sodass das Ergebnis besser mit der Alternativhypothese zu vereinbaren w\u00e4re.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch schauen wir uns dieses Vorgehen einmal Schritt f\u00fcr Schritt an unserem Eiscreme-Beispiel an. Die Hypothesenaufstellung, Pr\u00fcfung der Voraussetzungen des Tests, sowie die Berechnung der Pr\u00fcfstatistik z bleiben gleich. Erst nach diesen Schritten berechnen wir den p-Wert. Zur Erinnerung, unsere Hypothesen lauten hierbei:<\/p>\r\nH<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" erzielt die gleiche oder eine schlechtere Geschmackspunktzahl als\u00a0 die Konkurrenzprodukte.\r\nH<sub>1<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte \"Ewiges Eis\" erzielt eine h\u00f6here Geschmackspunktzahl als die Konkurrenzprodukte.\r\n\r\nF\u00fcr unseren Stichprobenmittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/>=7,5 Geschmackspunkten haben wir daraufhin eine Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe von z<sub>emp<\/sub>= 3 berechnet. F\u00fcr diese Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe gilt es nun, einen p-Wert zu berechnen.<\/span>\r\n<h2>1. Schritt:\u00a0 Berechnung des p-Werts<\/h2>\r\nUm den p-Wert zu ermitteln, berechnen wir die Fl\u00e4che, die der empirische z-Wert (in unserem Beispiel: <span class=\"mwe-math-element\">z<sub>emp<\/sub>= 3)<\/span> an den (interessierenden) Enden der Pr\u00fcfverteilung abschneidet. Graphisch sieht diese Fl\u00e4che wie folgt aus:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-867 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-1024x408.png\" alt=\"\" width=\"670\" height=\"267\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Zur Berechnung dieses p-Werts benutzen wir wieder unsere Tabellen. In ihnen sehen wir, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmter\u00a0 oder kleinerer z-Wert auftritt. F\u00fcr unseren empirischen z-Wert von 3 ermitteln wir so eine Wahrscheinlichkeit von \u03a6(3) = 99,865%. Das ist jedoch die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die Fl\u00e4che von -<img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty \" aria-hidden=\"true\" \/> bis zu unserem z-Wert. Der p-Wert hingegen beschreibt die Fl\u00e4che am Ende unserer Pr\u00fcfverteilung. Aus diesem Grund berechnet sich unser p-Wert aus dem Kehrwert dessen:<\/p>\r\np = 1 - \u03a6(3) = 1 - 0,99865 = 0,00135 \u2261 0,135%\r\n\r\nDie Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die H<sub>0\u00a0<\/sub>betr\u00e4gt somit 0,135%.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-869 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1.png\" alt=\"\" width=\"1399\" height=\"502\" \/>\r\n\r\nUnser Beispiel beschreibt die Berechnung des p-Werts an einer rechtsseitig gerichteten Hypothese. F\u00fcr die beiden anderen m\u00f6glichen Hypothesenpaare des z-Tests wird der p-Wert folgenderma\u00dfen berechnet:\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 240px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr style=\"height: 16px;\">\r\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 16px;\"><strong>Alternativ-\r\nhypothese ist:<\/strong><\/td>\r\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 16px;\"><strong>Hypothesenpaar<\/strong><\/td>\r\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 16px;\"><\/td>\r\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 16px;\"><strong>Berechnung des p-Werts<\/strong><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 88px;\">\r\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 88px;\">gerichtet (rechtsseitig)\r\n<em>unser Beispiel<\/em><\/td>\r\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 88px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 \u03bc<sub>0<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 88px;\"><img class=\"aligncenter wp-image-871 size-medium\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-300x108.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"108\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 88px;\">p = 1 - \u03a6(z<sub>emp<\/sub>)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 68px;\">\r\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 68px;\">gerichtet (linksseitig)<\/td>\r\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2265 \u03bc<sub>0<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc &lt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 68px;\"><img class=\"aligncenter wp-image-873 size-medium\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-300x103.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"103\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 68px;\">p = \u03a6(z<sub>emp<\/sub>)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr style=\"height: 68px;\">\r\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 68px;\">ungerichtet<\/td>\r\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc = \u03bc<sub>0<\/sub>\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc \u2260 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 68px;\"><img class=\"size-medium wp-image-874 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-300x108.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"108\" \/><\/td>\r\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 68px;\">p = \u03a6(z<sub>emp<\/sub>) * 2<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nWir sehen, dass sich bei einer ungerichteten Hypothese der p-Wert verdoppelt. Dies passiert, da er an beiden Enden der Pr\u00fcfverteilung auftritt.\r\n<h2>2. Schritt: Entscheidung<\/h2>\r\nF\u00fcr die Entscheidung, ob wir die H<sub>0\u00a0<\/sub>auf Basis unserer Daten ablehnen, vergleichen wir, wie schon erw\u00e4hnt, nicht den z<sub>emp\u00a0<\/sub>mit dem z<sub>krit<\/sub>, sondern diesmal den p-Wert (der zu unserem z<sub>emp <\/sub>geh\u00f6rt) mit dem vordefinierten Signifikanzniveau \u03b1. Die alternative Entscheidungsregeln lautet hierbei:\r\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 50%;\">p &lt; \u03b1<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%;\">Ablehnung der H<sub>0<\/sub><\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 50%;\">p &gt; \u03b1<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%;\">H<sub>0\u00a0<\/sub>kann nicht abgelehnt werden, (keine Aussage m\u00f6glich)<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nZur Gegen\u00fcberstellung der beiden Herangehensweisen bei der Entscheidung soll Ihnen die folgende Grafik dienen. Man sieht, dass bei der Entscheidung mit dem p-Wert die beiden Fl\u00e4chen verglichen werden und nicht die z-Werte.\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-881 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-1024x372.png\" alt=\"\" width=\"708\" height=\"257\" \/>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Grunds\u00e4tzlich sind beide Wege gleichberechtigt und eigentlich auch zwei Seiten der gleichen Medaille. Da die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe bei jedem Test unterschiedlich ist (nach dem z-Test werden Sie noch den T-Test, den F-Test und viele mehr kennen lernen), ist in der Praxis meist der P-Wert f\u00fcr die Interpretation beliebter. Dieser ist bei jedem Test gleicherma\u00dfen und auch ohne Tabelle interpretierbar. Es gilt bei jedem Test grunds\u00e4tzlich: Ist der P-Wert kleiner als das Signifikanzniveau, kann die H<sub>0<\/sub> verworfen werden.<\/p>\r\n\r\n<div class=\"textbox textbox--examples\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Interpretation \u00fcber P-Wert<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nWir m\u00f6chten die Hypothese testen, dass die FiveProfs-YouTube Abonnenten schlauer sind als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung. Aus diesem Grund f\u00fchren wir ein Intelligenztest bei n = 45 Abonnenten durch, in dem eine Mittelwert von 105 IQ Punkten herauskommt. Durch die Normierung der IQ- Punkte ist bekannt, dass der Durchschnitt einen IQ von \u03bc=100 und dabei eine Standardabweichung von \u03c3=15 IQ-Punkten besitzt. Sind unsere Abonnenten nun signifikant schlauer (\u03b1 = 5%)?\r\n\r\n<strong>Hypothesen aufstellen:<\/strong>\r\n\r\nH<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 100\r\n\r\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; 100\r\n\r\n<strong>Voraussetzungen pr\u00fcfen: <\/strong>Intervalldaten (\u2713); n &gt; 30, sodass Verteilung beliebig ist (\u2713); <span class=\"mwe-math-element\" style=\"text-align: initial; font-size: 0.9em;\">\u03c3 gegeben (\u2713)<\/span>\r\n\r\n<strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe berechnen:<img class=\"alignnone size-medium wp-image-880\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-300x38.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"38\" \/><\/strong>\r\n\r\n<strong>p-Wert berechnen: <\/strong>p = 1- \u03a6(2,24) = 1 - 0,9875 = 0,0125\r\n\r\n<strong>Entscheidung treffen:\u00a0 <\/strong>p=0,0125 \u00a0&lt;\u00a0 \u03b1=0,05\u00a0 --&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen\r\n\r\n<strong>Antwort:<\/strong> Die FiveProfs-Abonnenten sind signifikant schlauer als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5%.\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\nDas folgende Video von Five Profs veranschaulicht und erkl\u00e4rt Ihnen das Thema nochmals an einem Beispiel\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/TQIzCltDrRw\">11.4 Z-Test Gau\u00dftest | P-Wert und Interpretation<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/TQIzCltDrRw\r\n\r\nDoch was bedeutet ein signifikanter Unterschied eigentlich?\r\n<h1>11.6 Aussagekraft des Signifikanztests<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu ergr\u00fcnden, was f\u00fcr eine Aussagekraft ein signifikantes Ergebnis besitzt, m\u00fcssen wir uns die Logik von Signifikanztests nochmal vor Augen f\u00fchren. Ein Signifikanztest ermittelt die Wahr\u00adschein\u00adlich\u00adkeit eines Ergebnisses bei G\u00fcltigkeit der Nullhypothese: <strong>P(Ergebnis | H<sub>0<\/sub>)<\/strong>. Wir machen also nur Aussagen \u00fcber die <strong>Wahrscheinlichkeit der Daten unter der Annahme der Nullhypothese.<\/strong>\u00a0Wenn wir dementsprechend ein signifikantes Ergebnis erhalten, muss die Nullhypothese (die wir ablehnen) nicht zwangsweise falsch sein. Die gefundenen Daten sind nur recht unwahrscheinlich unter Annahme der Nullhypothese. Zum Vergleich: wenn wir bei einem nicht signifikanten Ergebnis die H<sub>0<\/sub> beibehalten, muss auch diese nicht zwangsweise richtig sein. Unsere gefundenen Daten sind nur nicht unwahrscheinlich genug, als dass wie die Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Lassen Sie uns das eben Gesagte nochmal an einem Beispiel verdeutlichen. Nehmen wir an, wir haben durch eine Stichprobe herausgefunden, dass die FiveProfs-Abonnenten einen signifikant h\u00f6heren IQ von 105 IQ-Punkten aufweisen als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung mit 100 IQ-Punkten (\u03b1 = 5%). Als wir den z-Test durchgef\u00fchrt haben, konnten wir aus diesem Grund die Nullhypothese ablehnen. Die Bedeutung dieses Ergebnisses l\u00e4sst sich wie folgt zusammenfassen:<\/p>\r\n\"Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr unser Messergebnis von durchschnittlich 105 IQ-Punkten bei 45 Abonnenten unter der Annahme, dass sie zu einer Population geh\u00f6ren, deren Mittelwert bei 100 IQ-Punkten liegt, betr\u00e4gt weniger als 5% und ist damit relativ unwahrscheinlich.\"\r\n\r\nWas wir hingegen <strong>nicht<\/strong> durch unser signifikantes Ergebnis schlussfolgern k\u00f6nnen, ist, welche Wahrscheinlichkeit die Null- oder Alternativhypothese besitzen. Wir k\u00f6nnen also nichts \u00fcber <strong>P(H<sub>0<\/sub> | Ergebnis)<\/strong>\u00a0oder <strong>P(H<sub>1<\/sub> | Ergebnis) <\/strong>aussagen. Die folgende Behauptung w\u00e4re damit <strong>falsch<\/strong>:\r\n\r\n\"Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Abonnenten schlauer sind als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung betr\u00e4gt 95%.\"\r\n<h1>11.7 Statistische vs. praktische Signifikanz (Bedeutsamkeit)<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn ein Effekt statistisch signifikant ist, wird ihm meist auch eine praktische Bedeutsamkeit zugesprochen. Dies ist aber nicht unbedingt gegeben, da ein Signifikanztest nicht nur eher \u201eausschl\u00e4gt\u201c, je gr\u00f6\u00dfer ein Effekt und je gr\u00f6\u00dfer das Signifikanzniveau \u03b1 ist, sondern auch je sensitiver der gew\u00e4hlte Test und je gr\u00f6\u00dfer die Stichprobengr\u00f6\u00dfe ist. Das bedeutet, dass selbst kleinste Effekte (wie z.B. geringe Mittelwertsunterschiede) bei sensitiven Tests mit einer gro\u00dfen Stichprobengr\u00f6\u00dfe signifikant werden k\u00f6nnen. Denn je gr\u00f6\u00dfer die Stichprobe ist, desto genauer ist auch die Messung und umso eher k\u00f6nnen wir uns sicher sein, dass ein Unterschied nicht zuf\u00e4llig ist (bzw. unter Annahme der Nullhypothese zustande gekommen ist). Dadurch ist es m\u00f6glich, signifikante Unterschiede zu erhalten, die in die Praxis keine Bedeutung haben, wie Ihnen das folgende Beispiel zeigt.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">In einer Studie wurde ein neues Fiebermittel getestet und ergab, dass es das Fieber signifikant herabsenken konnte - und zwar um 0,25\u00b0C. Die statistische Signifikanz ist in diesem Beispiel zwar gegeben, aber praktisch betrachtet hilft Patienten eine Senkung des Fiebers um 0,25\u00b0C leider nur wenig.<\/p>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Ursache der Diskrepanz zwischen statistischer und praktischer Signifikanz liegt darin, dass Signifikanztests nichts \u00fcber die Gr\u00f6\u00dfe unserer gefundenen Effekte aussagen. Hierf\u00fcr ben\u00f6tigen wir ein zus\u00e4tzliches Ma\u00df: die Effektgr\u00f6\u00dfe.<\/p>\r\n\r\n<h1>11.8 Effektgr\u00f6\u00dfe<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>Effektgr\u00f6\u00dfe<\/strong> (auch Effektst\u00e4rke genannt) ist ein <strong>standardisiertes Ma\u00df<\/strong>, welche die Gr\u00f6\u00dfe eines gefundenen Effekts (z.B. Mittelwertsunterschied zwischen Testgruppen, Zusammenhang zwischen zwei Variablen) in standardisierter Form angibt. Durch diese Standardisierung sind Effektgr\u00f6\u00dfen zwischen unterschiedlichen Studien oder Ma\u00dfen vergleichbar. Zudem k\u00f6nnen wir durch sie unsere erhaltenen Testergebnisse im Hinblick auf ihren Nutzen interpretieren, da die Signifikanz allein nichts \u00fcber den praktischen Wert unserer Ergebnisse aussagt. Durch die gro\u00dfe Bandbreite von Hypothesen existieren in der Statistik unterschiedliche Effektgr\u00f6\u00dfen, die je nach Studiendesign variieren. Beispielsweise gibt es andere Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr Zusammenhangs- und f\u00fcr Unterschiedshypothesen, welche wir z.B. beim z-Test pr\u00fcfen. Auch die gew\u00e4hlten Tests spielen bei der Wahl der passenden Effektgr\u00f6\u00dfe eine Rolle. Parametrische Tests, basierend auf metrischen Variablen, besitzen andere Effektgr\u00f6\u00dfen als nicht-parametrische Tests, welche auf nominalen oder ordinalen Variablen basieren. Bei der Berechnung der unterschiedlichen Effektgr\u00f6\u00dfen k\u00f6nnen an dieser Stelle Statistik-Programme wie <a href=\"https:\/\/www.psychologie.hhu.de\/arbeitsgruppen\/allgemeine-psychologie-und-arbeitspsychologie\/gpower.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">G-Power<\/a> behilflich sein.<\/p>\r\n\r\n<h2>Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr parametrische Tests (z.B. Z-Test)<\/h2>\r\n<h2>Cohen's d (<em>\u03b4<\/em>)<\/h2>\r\nBei Signifikanztests zu Mittelwertsunterschieden, wie beispielsweise beim z-Test, bildet Cohen's d das g\u00e4ngigste Ma\u00df zur Angabe der Effektst\u00e4rke. Seine Berechnung entspricht der einer z-Standardisierung und baut sich wie folgt auf:\r\n\r\n<img class=\"aligncenter wp-image-888 \" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1.png\" alt=\"\" width=\"598\" height=\"127\" \/>\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen: Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr T-Test<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n\r\nIn der allgemeinen Formel wird angenommen, dass die Standardabweichungen von nur einer Population betrachtet werden. F\u00fcr Tests, bei denen unterschiedliche Populationen ber\u00fccksichtigt werden (z.B. T-Test), verwendet man die gepoolte Standardabweichung, die die Wurzel aus dem Mittelwert beider Varianzen darstellt.\r\n\r\n<img class=\"size-medium wp-image-885 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild21-300x73.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"73\" \/>\r\n\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Als Ergebnis erhalten wir eine Zahl f\u00fcr Cohen's d, die sich von -<img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty \" aria-hidden=\"true\" \/> bis +<img class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty \" aria-hidden=\"true\" \/> erstrecken kann. Diese stellt den Mittelwertsunterschied bezogen auf die (gepoolte) Standardabweichung dar. Eine Effektst\u00e4rke von .50 bedeutet demzufolge, dass die Differenz zwischen beiden Gruppen gleich einer halben Standardabweichung entspricht. Je gr\u00f6\u00dfer dabei der Betrag von Cohen's <em>d<\/em>, desto gr\u00f6\u00dfer ist der Effekt. Die Faustregel zur Interpretation der berechneten Effektst\u00e4rken definiert Cohen (1988) wie folgt:<\/p>\r\n\r\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 44.9481%; height: 96px;\" border=\"0\">\r\n<tbody>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 50%;\">|<em>d<\/em>| = 0,2<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%;\">kleiner Effekt<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 50%;\">|<em>d<\/em>| = 0,5<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%;\">mittlerer Effekt<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<tr>\r\n<td style=\"width: 50%;\">|<em>d<\/em>| = 0,8<\/td>\r\n<td style=\"width: 50%;\">gro\u00dfer Effekt<\/td>\r\n<\/tr>\r\n<\/tbody>\r\n<\/table>\r\nWie die Berechnung und Interpretation von Cohen's d im Falle eines z-Tests aussieht, veranschaulicht Ihnen das folgende Video von Five Profs noch einmal genauer.\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/youtu.be\/5SZPZ1X9zQg\">Video 11.5 Z-Test Gau\u00dftest | Die Effektgr\u00f6\u00dfe<\/a>\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/5SZPZ1X9zQg\r\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\"><header class=\"textbox__header\">\r\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen: Weitere Effektgr\u00f6\u00dfen<\/p>\r\n\r\n<\/header>\r\n<div class=\"textbox__content\">\r\n<h2>Weitere Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr parametrische Tests<\/h2>\r\n<ul>\r\n \t<li>Pearsons r (<em>\u03c1<\/em>)\r\nDen Pearson Korrelationskoeffizienten r haben Sie bereits in Verbindung mit Zusammenhangshypothesen kennengelernt. Er ist ein Ma\u00df f\u00fcr den linearen Zusammenhang zweier Variablen und gibt dabei sowohl die Richtung als auch die St\u00e4rke des Zusammenhangs an. Sein Wertebereich ist im Gegensatz zu Cohen's d auf den Bereich zwischen -1 und +1 beschr\u00e4nkt.<\/li>\r\n \t<li>Eta Quadrat (\u03b7\u00b2)\r\nDiese Effektgr\u00f6\u00dfe wird bei ANOVAs (Analyse of Variance) verwendet und dr\u00fcckt den gesamten Anteil der durch alle Effekte erkl\u00e4rten Varianz an der Gesamtvarianz aus. Jedoch hat Eta Quadrat einen positiven Bias, sodass die aufgekl\u00e4rte Varianz immer \u00fcbersch\u00e4tzt wird.<\/li>\r\n \t<li>Omega Quadrat (<em>\u03c9<sup>2<\/sup><\/em>)\r\nDiese Effektgr\u00f6\u00dfe wird ebenfalls bei ANOVAs verwendet und sch\u00e4tzt die aufgekl\u00e4rte Varianz einer bestimmten Variablen, nachdem die Einfl\u00fcsse aller anderen Faktoren in der Gesamtvariabilit\u00e4t kontrolliert wurden. Hierbei bezieht es die Anzahl der Gruppen bei der Berechnung der Varianzaufkl\u00e4rung mit ein, sodass es einen geringeren Bias als f\u00fcr die ANOVA haupts\u00e4chlich verwendete Effektst\u00e4rke \"partielles Eta Quadrat\" besitzt.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<h2>Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr nicht-parametrische Tests<\/h2>\r\n<ul>\r\n \t<li>Cohen's w \/ Cramers Phi \/ Cramers V\r\nAlle drei Kennzahlen stellen Effektgr\u00f6\u00dfen in Bezug auf (relative) H\u00e4ufigkeiten dar und k\u00f6nnen uns Auskunft \u00fcber den statistischen Zusammenhang zwischen zwei oder mehreren\u00a0nominalskalierten Variablen geben. Ihre Berechnung basiert auf einer <span class=\"mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y\">\u03c7<sup>2<\/sup><\/span>-Verteilung und damit auf den Abweichungen der beobachteten H\u00e4ufigkeiten von den erwarteten H\u00e4ufigkeiten.<\/li>\r\n \t<li>Quotenverh\u00e4ltnis (odds-ratio)\r\nDiese Effektgr\u00f6\u00dfe ist ebenso wie Cohen's w \/ Cramers Phi \/ Cramers V f\u00fcr Kreuztabellen geeignet, jedoch basiert sie nicht auf (relativen) H\u00e4ufigkeiten, sondern wie der Name schon sagt, auf Quoten. Das Quotenverh\u00e4ltnis beschreibt dabei ebenfalls den Zusammenhang von zwei Merkmalen und wird durch den Vergleich zweier Quoten berechnet.<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<\/div>\r\n<\/div>\r\n&nbsp;\r\n<h1>11.9 Kritik am Signifikanztest<\/h1>\r\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Signifikanztest ist sehr beliebt, weil er ein formales (und scheinbar objektives) Entscheidungskriterium liefert. Der Hypothesentest ist jedoch immer wieder auch in der Kritik, da dieser oft ohne spezifische H<sub>1<\/sub> und mit oftmals unplausibler H<sub>0<\/sub> durchgef\u00fchrt wird[footnote]Vgl. Woolston, Chris: Psychology journal bans p-values, in: Nature News &amp; Comment, 26.02.2015, [online] https:\/\/www.nature.com\/news\/psychology-journal-bans-p-values-1.17001 [12.12.2020].[\/footnote]. Ein weiterer Kritikpunkt ist das, meist willk\u00fcrlich gew\u00e4hlte, Signifikanzniveau.<\/p>\r\n<em>\u201eUnd warum lehren Universit\u00e4ten und Hochschulen weiterhin den Schwellenwert des P-Wertes von f\u00fcnf Prozent? Ronald Wasserstein und Nicole Lazar von der American Statistical Association geben die Antwort: Weil dieser Schwellenwert nach wie vor von den meisten Forschern benutzt wird. Und warum benutzen Forscher weiterhin den Schwellenwert? Weil das an den Universit\u00e4ten gelehrt wird.\u201c [footnote]Vgl. Amrhein, Amrhein: Das magische P, in: S\u00fcddeutsche.de, 23.09.2017, [online] https:\/\/www.sueddeutsche.de\/wissen\/wissenschaft-das-magische-p-1.3676252 [12.12.2020].[\/footnote]<\/em>\r\n\r\nAus diesen Gr\u00fcnden sollten bei der Testanwendung oder der Lekt\u00fcre von Testergebnissen folgende Punkte ber\u00fccksichtigt und diskutiert werden:\r\n<ul>\r\n \t<li>Ist die <em>H<\/em><sub>0<\/sub> plausibel oder a priori falsch?<\/li>\r\n \t<li>L\u00e4sst sich die Alternativhypothese pr\u00e4zisieren?<\/li>\r\n \t<li>Welches Signifikanzniveau ist im vorliegenden Fall angemessen?<\/li>\r\n \t<li>Wie gro\u00df sollte der Effekt sein (Signifikanz \u2260 Bedeutsamkeit)?<\/li>\r\n<\/ul>\r\n<h1>11.10 Z-Test in Jamovi rechnen<\/h1>\r\nDer Z-Test l\u00e4sst sich in Jamovi nur mit dem Zusatzmodul \u201eztestvis\u201c berechnen. Dies k\u00f6nnen Sie mit einem Klick auf das gro\u00dfe Plus im Men\u00fc \u201eAnalysen\u201c einfach hinzuf\u00fcgen.\r\nDann erreichen Sie die Funktion unter:\r\n<em><strong>Analysen &gt; Misc &gt; One-Sample Z-Test<\/strong><\/em>\r\nAnders als in den bisherigen Men\u00fcs k\u00f6nnen Sie hier keine Variablen hinzuf\u00fcgen sondern m\u00fcssen die, ggf. vorab berechneten Werte, direkt eintragen. Da das Men\u00fc nur auf Englisch verf\u00fcgbar ist hier die notwendigen Eingaben in K\u00fcrze:\r\n<ul>\r\n \t<li>Sample Mean : Hier tr\u00e4gt man den Mittelwert der Stichprobe ein<\/li>\r\n \t<li>Null Population Mean : Hier tr\u00e4gt man den Mittelwert der Population ein<\/li>\r\n \t<li>Null Population SD: Hier tr\u00e4gt man die Standardabweichung der Population ein<\/li>\r\n \t<li>Sample Size: Hier tr\u00e4gt man die Stichprobengr\u00f6\u00dfe ein<\/li>\r\n \t<li>Alpha Level: Hier gibt man das Alpha Niveau an, auf dem getestet werden soll, also z.B. 0.05 f\u00fcr 5%<\/li>\r\n<\/ul>\r\nBei \u201eAlternative Hypothesis\u201c kann man dann noch ausw\u00e4hlen ab man zweiseitig, einseitig rechtsseitig oder linksseitig testen m\u00f6chte. Neben dem resultierenden z-Wert wird auch direkt der p-Wert ausgegeben, der uns sagt wie Wahrscheinlich diese Ergebnisse unter Annahme der H0 sind. Au\u00dferdem bekommen wir die Effekt-Gr\u00f6\u00dfe Cohen's d ausgegeben, sowie ein sehr anschauliches Diagramm dass die Stichprobenkennwerteverteilung, sowie den Ablehnungsbereich der H0 anzeigt. Dies wird im folgenden Video noch mal im Detail gezeigt.\r\n\r\nhttps:\/\/youtu.be\/Uy-mfi5e0nw\r\n<h1>11.11 \u00dcbungsfragen<\/h1>\r\nBei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!\r\n\r\n&nbsp;\r\n<div>[h5p id=\"110\"]<\/div>\r\n<div><\/div>\r\n<div>[h5p id=\"111\"]<\/div>\r\n<div><\/div>\r\n<div>[h5p id=\"112\"]<\/div>\r\n<div><\/div>\r\n<div>[h5p id=\"113\"]<\/div>\r\nIn diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!\r\n\r\n&nbsp;\r\n<div>[h5p id=\"116\"]<\/div>\r\n<div><\/div>\r\n<div>[h5p id=\"114\"]<\/div>\r\n<div><\/div>\r\n<div>[h5p id=\"115\"]<\/div>\r\n[h5p id=\"33\"]\r\n<h1>11.12 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\r\n<h2>\u00dcbungsaufgabe Z-Test<\/h2>\r\nDie Mitarbeiter der Burgerkette Five Profs m\u00fcssen t\u00e4glich mehrere tausend Burger zubereiten. Es wird eine Zufallsstichprobe (n = 72) aus der Belegschaft (N = 5.000) gezogen. Die 72 Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter bekommen ein exklusives Training vom Burger-Profi Patty, um schneller Burger zu braten. Nach dem Training schaffen die 72 Teilnehmer im Durchschnitt 49 Burger pro Person. Es ist bekannt, dass unsere Mitarbeiter (=Population) im Mittel 47 Burger schaffen, bei einer Varianz von 9.\r\n\r\nK\u00f6nnen wir nun sagen, dass das Training bei Burger-Profi Patty zu einer signifikanten Ver\u00e4nderung der Mitarbeiterleistung gef\u00fchrt hat? Berechnen Sie hierzu den Z-Wert und interpretieren Sie diesen Anhand der Z-Werte-Tabelle im Anhang.\r\n\r\nDie L\u00f6sung finden Sie im folgenden Video:\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/6x6jiXw6dK4\r\n<h2>\u00dcbungsaufgabe Effektgr\u00f6\u00dfe<\/h2>\r\nBerechnen Sie f\u00fcr das Beispiel oben die Effektst\u00e4rke Cohens' d.\r\n\r\nDie L\u00f6sung finden Sie im folgenden Video:\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/embed\/1pcgjfP9PqE\r\n\r\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch4.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a>","rendered":"<h1>11.0 Einf\u00fchrung Z-Test\/Gau\u00dftest<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Zu Beginn von Testverfahren stehen die Hypothesen. Wie solche Hypothesen aussehen k\u00f6nnen und was f\u00fcr Hypothesen es in der Forschung gibt, haben Sie bereits im letzten Kapitel gelernt. Nun geht es darum, diese anhand von Stichproben zu testen und dadurch zu best\u00e4tigen oder zu verwerfen. Da unterschiedliche Hypothesen diverse Sachverhalte postulieren k\u00f6nnen, gibt es jedoch nicht den einen statistischen Test, der f\u00fcr alle Hypothesen anwendbar ist. Stattdessen finden sich in der Inferenzstatistik zahlreiche Testverfahren, die jeweils f\u00fcr bestimmte Hypothesen geeignet sind. So auch der Z-Test oder Gau\u00dftest, welchen Sie in diesem Kapitel kennenlernen werden.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Z-Test geh\u00f6rt hierbei zu den Tests, die auf Basis <em>einer <\/em>Stichprobe Unterschiedshypothesen bez\u00fcglich des Erwartungswerts untersuchen<span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">. <\/span><strong style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">Er \u00fcberpr\u00fcft dabei, ob das arithmetische Mittel eines Merkmals aus einer Stichprobe zu einer Population geh\u00f6ren kann, f\u00fcr die der entsprechende Mittelwert (\u03bc<sub>0<\/sub>) bekannt bzw. gegeben ist<\/strong><span style=\"text-align: initial; font-size: 14pt;\">. Das klingt zun\u00e4chst kompliziert, jedoch lassen sich hierf\u00fcr auch viele, sehr praktische, Anwendungsf\u00e4lle finden, wie die nachfolgenden Beispiele zeigen.<\/span><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiele Z-Test<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Der Betreiber einer Burger-Filiale m\u00f6chte herausfinden, ob eine neue Cola-Sorte beim Kunden besser ankommt als sein aktuelle Cola-Marke. Der aktuelle Geschmack liegt laut Meinungsumfragen bei \u03bc = 3,6 von 5 Geschmackspunkten (Die Populationsvarianz ist hierbei bekannt). Bei einer Zufalls-Stichprobe von 50 Probanden hat die neuen Cola-Sorte einen Mittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 4,5 Geschmackspunkten ergeben. Doch reicht dieses Ergebnis aus um nun sagen zu k\u00f6nnen, dass die neue Cola-Sorte auch wirklich signifikant besser schmeckt als die bisherige? Mit anderen Worten: ist dieser Unterschied auch in der Population so zu erwarten?<\/span><\/p>\n<p>Hierbei lauten die Hypothesen:<\/p>\n<\/div>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>H<sub>0<\/sub>: Die neue Cola-Sorte schmeckt im Durchschnitt gleich oder schlechter als die aktuellen Cola-Sorte.<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Die neuen Cola-Sorte schmeckt im Durchschnitt besser als die aktuellen Cola-Sorte.<\/p>\n<p>Sind Abonnenten des FiveProfs YouTube Kanals schlauer als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung? Hierf\u00fcr wurde eine Zufalls-Stichprobe mit 45 Kanal-Abonnenten durchgef\u00fchrt, die einen Mittelwert von 105 IQ-Punkten aufwies. Der Durchschnitt in der Bev\u00f6lkerung ist mit einem Durchschnittswert von 100 IQ-Punkten und einer Standardabweichung von 15 IQ-Punkten bekannt.<\/p>\n<p>In diesem Fall lauten die Hypothesen:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Die Abonnenten des FiveProfs YouTube Kanals haben den gleichen oder einen geringeren IQ als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung.<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Die Abonnenten des FiveProfs YouTube Kanals haben einen h\u00f6heren IQ als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wie auch schon bei den Konfidenzintervallen ist das Ziel des Hypothesentests, eine Wahrscheinlichkeitsaussage zu treffen. Wie schon zuvor arbeiten wir mit einer vorab definierten Irrtumswahrscheinlichkeit, dem Signifikanzniveau \u03b1, welches definiert, ab welcher Wahrscheinlichkeit wir die Hypothesen ablehnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Das folgende Video bietet Ihnen die M\u00f6glichkeit, nochmal einen \u00dcberblick \u00fcber das Thema zu erhalten und den Z-Test mit weiteren Beispielen veranschaulicht zu bekommen.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/eFqT0cSujVg\">11.1 Z-Test Gau\u00dftest | Einf\u00fchrung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.1 Z-Test Gau\u00dftest | Einf\u00fchrung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/eFqT0cSujVg?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Doch wie geht man an die Testung solcher Hypothesen in der Praxis heran? Schauen wir uns die Testdurchf\u00fchrung schrittweise an.<\/p>\n<h1>11.1 Hypothesen aufstellen<\/h1>\n<p>Bevor wir mit dem Hypothesentest beginnen, bilden wir zun\u00e4chst eine Forschungshypothese und \u00fcbersetzen diese anschlie\u00dfend in die dazugeh\u00f6rigen statistischen Hypothesen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Nehmen wir an, ein Hersteller hat die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; entwickelt, die bei hohen Temperaturen langsamer schmilzt. Nun m\u00f6chten Sie das Produkt auf den Markt bringen und f\u00fchren vorab einen Geschmackstest durch. Sie vermuten jedoch, dass Ihre Eiscreme-Sorte durch die neue Mischung deutlich besser schmeckt und f\u00fchren zur Best\u00e4tigung Ihrer These eine Studie mit 36 zuf\u00e4llig gew\u00e4hlten Probanden durch, die Ihre Eiscreme mit durchschnittlich 7,5 von 10 Geschmackspunkten bewerten. In diesem Beispiel nehmen wir an, dass es ausreichend Marktforschung zum Eis-Geschmack gibt, so dass wir aus vorherigen Analysen wissen, dass die bisher erh\u00e4ltliche Eiscreme mit 7,2 von 10 Geschmackspunkten bewertet wird, bei einer Populationsvarianz von \u03c3<sup>2<\/sup> = 0,36. Ihre operationale Alternativhypothese lautet dementsprechend:<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; erzielt eine h\u00f6here Geschmackspunktzahl, als bisher verf\u00fcgbare Eiscreme.<\/p>\n<p>Daraufhin bilden Sie das logische Gegenteil, die Null-Hypothese:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; erzielt die gleiche oder eine schlechtere Geschmackspunktzahl, als bisher verf\u00fcgbare Eiscreme.<\/p>\n<p>Anschlie\u00dfend leiten Sie daraus die statistischen Thesen ab, die wir anschlie\u00dfend testen werden:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 7,2<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; 7,2<\/p>\n<p>Nun w\u00e4hlen wir anhand der Hypothesen einen geeigneten Test aus. In unserem Fall eignet sich der z-Test am besten, da er \u00fcberpr\u00fcft, ob eine Stichprobe aus einer bestimmten Population mit dem Mittelwert \u03bc<sub>0 <\/sub>stammt oder nicht. Im Allgemeinen k\u00f6nnte man die Hypothesen des z-Tests folgenderma\u00dfen formulieren:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Die Stichprobe stammt aus einer Population, die den Mittelwert \u03bc<sub>0 <\/sub>aufweist.<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Die Stichprobe stammt nicht aus einer Population, die den Mittelwert \u03bc<sub>0 <\/sub>aufweist.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Auch in unserem Beispiel k\u00f6nnte man die Forschungsthesen so formulieren. Die H<sub>0 <\/sub>w\u00fcrde in diesem Fall bedeuten, dass der Geschmack unsere Eissorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; der Population, also allen anderen Eissorten, entspricht und die Abweichung vom Populationsmittelwert von 0,3 Geschmackspunkten daher nur zuf\u00e4llig entstanden ist (H<sub>0<\/sub>). Alternativ, k\u00f6nnte man die Abweichung vom Populationsmittelwert von 0,3 Geschmackspunkten dadurch erkl\u00e4ren, dass unser Eis wirklich besser Schmeckt, also nicht aus dieser Population stammt bzw. sich signifikant von dieser Population unterschiedet (H<sub>1<\/sub>). Das folgende Schaubild zeigt die Situation grafisch.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-813 size-large\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-1024x251.png\" alt=\"\" width=\"1024\" height=\"251\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-1024x251.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-300x73.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-768x188.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-1536x376.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-2048x501.png 2048w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-65x16.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-225x55.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild2-e1608663967701-350x86.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der grau schattierte Bereich zeigt die Wahrscheinlichkeit der H<sub>0\u00a0<\/sub>(Sp\u00e4ter auch P-Wert genannt). Je weiter der gefundene Stichprobenmittelwert vom Populationsmittelwert \u03bc entfernt ist, desto unwahrscheinlicher ist die H<sub>0<\/sub>. Die Regel, ab wann diese dann abzulehnen ist, werden wir im folgenden kennen lernen (Die Festlegung dieser Grenze ist der eigentliche Z-Test). Zuvor wollen wir uns abschlie\u00dfend nochmal den m\u00f6glichen Hypothesen widmen. Grunds\u00e4tzlich kann der Z-Test ungerichtet, oder links-\/rechtsseitig gerichtet durchgef\u00fchrt werden. Die folgende Tabelle zeigt die daraus resultierenden Hypothesenpaare f\u00fcr unser Beispiel.<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 25%;\">Die Alternativ-<br \/>\nhypothese ist&#8230;<\/td>\n<td style=\"width: 19.5231%;\">H<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 18.2012%;\">H<sub>1<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Beispiel der Alternativ-<br \/>\nhypothese<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 25%;\">ungerichtet<\/td>\n<td style=\"width: 19.5231%;\">\u03bc = \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 18.2012%;\">\u03bc \u2260 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt nicht wie die der Konkurrenz und erzielt dementsprechend eine andere Geschmackspunktzahl.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 25%;\">gerichtet (rechtsseitig)<\/td>\n<td style=\"width: 19.5231%;\">\u03bc \u2264 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 18.2012%;\">\u03bc &gt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt besser als das Konkurrenzprodukt und erzielt damit mehr Geschmackspunkte.<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 25%;\">gerichtet (linksseitig)<\/td>\n<td style=\"width: 19.5231%;\">\u03bc \u2265 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 18.2012%;\">\u03bc &lt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 37.2757%;\">Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt schlechter als das Konkurrenzprodukt und erzielt damit weniger Geschmackspunkte.<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">\u03bc steht hierbei f\u00fcr den Erwartungswert der Population, aus der wir unsere Stichprobe gezogen haben (in unserem Fall also der Erwartungswert unserer Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220;). \u03bc<sub>0\u00a0<\/sub>hingegen steht f\u00fcr den Populationsparameter, gegen den wir testen (im Beispiel w\u00e4re das die 7,2 Geschmackspunkte des Konkurrenten). Dieser wird in den statistischen Hypothesen als fester Wert dargestellt.<\/p>\n<h1>11.2 Voraussetzungen pr\u00fcfen<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Zudem m\u00fcssen wir, bevor wir mit dem Test beginnen, \u00fcberpr\u00fcfen, ob unsere Daten die Voraussetzungen des Tests erf\u00fcllen. Beispielsweise unterscheiden sich Signifikanztests darin, welches Skalenniveau sie ben\u00f6tigen oder welche Verteilungsfunktion in den Daten vorliegen muss.<\/p>\n<p>Der z-Test besitzt folgende Voraussetzungen:<\/p>\n<ul>\n<li>Die abh\u00e4ngige Variable muss mindestens intervallskaliert sein.<\/li>\n<li>Die Daten sollten normalverteilt sein. Jedoch kann ab n &gt; 30, gem\u00e4\u00df dem zentralen Grenzwerttheorem, von dieser Voraussetzung abgesehen werden.<\/li>\n<li>Die Standardabweichung der Population \u03c3 (bzw. die Populationsvarianz \u03c3<sup>2<\/sup>) muss bekannt sein.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Beispiel sind alle Voraussetzungen erf\u00fcllt, da wir bei den Geschmackspunkten von einer Intervallskala ausgehen, unsere Stichprobe ein n &gt; 30 aufweist und die Populationsvarianz mit \u03c3<sup>2 <\/sup>= 0,36 bekannt ist. Nun k\u00f6nnen wir mit der Testung unserer Hypothesen beginnen.<\/p>\n<h1>11.3 Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um die Abweichung der Stichprobe von der angenommenen Grundgesamtheit messen zu k\u00f6nnen, berechnen wir zun\u00e4chst die <strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe <\/strong>(auch<strong> Teststatistik <\/strong>genannt), die sich von Test zu Test unterscheidet. Im Falle des z-Tests berechnen wir die <strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z. <\/strong>Diese Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe sollte Ihnen aus dem Kapitel <a href=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/chapter\/z-standardisierung\/\">z-Standardisierung<\/a> bekannt vorkommen. Diese Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe dr\u00fcckt die Mittelwertsdifferenz zwischen dem gefundenen Mittelwert <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-26\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/x_quer-1.png\" alt=\"\" width=\"13\" height=\"16\" \/> und dem Populationsmittelwert \u03bc in Standardfehlern aus. Dadurch \u00fcberf\u00fchren wir die Stichprobenkennwerteverteilung aus unserer Aufgabenstellung (in unserem Beispiel eine Normalverteilung mit \u03bc<sub>0<\/sub>= 7,2 und \u03c3<sup>2 <\/sup>= 0,36) in eine Standardnormalverteilung mit \u03bc= 0 und \u03c3<sup>\u00a0<\/sup>=1. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass wir nun anhand des berechneten z-Wertes die Auftretenswahrscheinlichkeit f\u00fcr unseren gefundenen Mittelwert aus der Stichprobe mittels Tabellen bestimmen k\u00f6nnen (aber dazu sp\u00e4ter mehr).<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-812\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-1024x411.png\" alt=\"\" width=\"917\" height=\"368\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-1024x411.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-300x120.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-768x308.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-1536x617.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-225x90.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2-350x141.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild1-2.png 1766w\" sizes=\"(max-width: 917px) 100vw, 917px\" \/><\/p>\n<p>Rechnen wir zun\u00e4chst die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z f\u00fcr unser Beispiel der Eissorten aus:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-814\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-1024x410.png\" alt=\"\" width=\"704\" height=\"282\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-1024x410.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-300x120.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-768x307.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-1536x615.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-225x90.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3-350x140.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild3.png 1542w\" sizes=\"(max-width: 704px) 100vw, 704px\" \/><\/p>\n<p>Die Pr\u00fcfstatistik f\u00fcr unseren Stichprobenmittelwert ist z<sub>emp<\/sub> = 3.<\/p>\n<p>An dieser Beispielrechnung wird ein weiterer wichtiger Grundsatz der Hypothesentestung deutlich. Wir berechnen den z-Wert des Stichprobenmittelwerts unter Annahme, dass er zu der Normalverteilung mit \u03bc<sub>0<\/sub>= 7,2 und \u03c3<sup>\u00a0<\/sup>= 0,6 geh\u00f6rt. Wenn Sie sich an den vorherigen Absatz der Hypothesenaufstellung erinnern, so war genau dies die Annahme der H<sub>0<\/sub>. Dementsprechend pr\u00fcfen wir, wie wahrscheinlich es ist, dass unsere Daten aus der Stichprobe (hier: 7,5 Geschmackspunkte) auftreten, wenn die H<sub>0 <\/sub>gilt.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-815\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-1024x310.png\" alt=\"\" width=\"724\" height=\"219\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-1024x310.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-300x91.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-768x233.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-1536x466.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-65x20.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-225x68.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4-350x106.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild4.png 1709w\" sizes=\"(max-width: 724px) 100vw, 724px\" \/><\/p>\n<p>Noch Fragen offen geblieben? Das folgende Video erkl\u00e4rt die Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z anhand der Discobeleuchtung in der Five Profs Kette.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/tqU61FSP7_8\">11.2 Z-Test Gau\u00dftest | Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe Z<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.2 Z-Test Gau\u00dftest | Berechnung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe Z\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/tqU61FSP7_8?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>11.4 Konstruktion des Ablehnungsbereichs und Entscheidung<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im n\u00e4chsten Schritt des Testens gilt es zu kl\u00e4ren, wie wahrscheinlich unser gefundener z-Wert unter Annahme der Nullhypothese ist. Ist sein Auftreten &#8222;unwahrscheinlich genug&#8220;, k\u00f6nnen wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen. Doch wie definieren wir, welcher z-Wert f\u00fcr uns &#8222;unwahrscheinlich genug&#8220; ist? Hierf\u00fcr konstruieren wir einen <strong>Ablehnungsbereich<\/strong>, dessen Grenzen als <strong>kritische z-Werte <\/strong>oder kurz<strong> z<sub>krit<\/sub><\/strong> bezeichnet werden. Liegt unser empirisch gefundener z-Wert z<sub>emp<\/sub> in diesem Ablehnungsbereich, so wird die H<sub>0<\/sub> abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-856\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-1024x397.png\" alt=\"\" width=\"608\" height=\"236\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-1024x397.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-300x116.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-768x298.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-65x25.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-225x87.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9-350x136.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild9.png 1386w\" sizes=\"(max-width: 608px) 100vw, 608px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wo genau unsere kritischen z-Werte liegen, h\u00e4ngt dabei vom Signifikanzniveau \u03b1 ab, welches wir im Vorhinein definieren. Mit dem Signifikanzniveau legen wir fest, welche Irrtumswahrscheinlichkeit \u03b1 wir akzeptieren m\u00f6chten. Zur Wiederholung zeigt Ihnen die folgende Tabelle die \u00fcblichen Signifikanzniveaus in der Forschung. Welches Signifikanzniveau Sie dabei festlegen, ist ganz allein Ihnen \u00fcberlassen, jedoch sollte die Entscheidung unter Ber\u00fccksichtigung der jeweiligen Forschungshypothese erfolgen.<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><strong>\u03b1<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><strong>%<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><strong>Beschreibung<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,1 (.10)<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">10%-Signifikanzniveau<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">marginal signifikant<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,05 (.05)<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">5%-Signifikanzniveau<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">signifikant<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,01 (.01)<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">1%-Signifikanzniveau<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">hoch signifikant<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">\u03b1 = 0,001 (.001)<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">0,1%-Signifikanzniveau<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\">h\u00f6chst signifikant<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Eis-Beispiel wollen wir auf Nummer sicher gehen und legen unser Signifikanzniveau auf 1% fest. Anders gesagt legen wir fest, dass wir uns gegen unsere Nullhypothese (&#8222;Unser Eis schmeckt gleich oder schlechter als das der Konkurrenz&#8220;) entscheiden, wenn die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr das Auftreten unseres empirischen z-Werts unter 1% liegt. Graphisch sieht der Ablehnungsbereich f\u00fcr unser Beispiel wie folgt aus:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-858\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-1024x427.png\" alt=\"\" width=\"607\" height=\"253\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-1024x427.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-300x125.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-768x320.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-65x27.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-225x94.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3-350x146.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild5-3.png 1369w\" sizes=\"(max-width: 607px) 100vw, 607px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Im definierten Ablehnungsbereich liegen genau 1% der Werte unter der Standardnormalverteilung. Anders gesagt bedeutet dies, dass unter Annahme der H<sub>0<\/sub> bei einer Zufallsziehung nur 1% der Stichproben ein solches Ergebnis liefern w\u00fcrden. Wir bestimmen nun den zugeh\u00f6rigen z-Wert wieder aus einer Tabelle f\u00fcr die Standardnormalverteilung. Da diese Tabellen meist nur die Werte von &#8211; unendlich bis zum entsprechenden z-Wert angeben, m\u00fcssen wir noch den Kehrwert berechnen (1- \u03b1) , also 1 &#8211; 0,01 = 0,99. Dies definiert die Grenze des Ablehnbereichs z<sub>krit <\/sub>(= z<sub>1-\u03b1<\/sub>).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-842\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6.png\" alt=\"\" width=\"698\" height=\"455\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6.png 927w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-300x195.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-768x500.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-65x42.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-225x147.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild6-350x228.png 350w\" sizes=\"(max-width: 698px) 100vw, 698px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Unser kritischer z-Wert hat laut der Tabelle einen Wert von 2,33. Da die Tabellen immer nur grob die Werte angeben, h\u00e4tten wir alternativ auch den kritischen z-Wert von 2,32 w\u00e4hlen k\u00f6nnen. Da wir jedoch unsere H<sub>0<\/sub> nicht zu schnell ablehnen m\u00f6chten, bietet es sich grunds\u00e4tzlich an, den konservativeren Wert zu w\u00e4hlen. Der Wert 2,33 stellt somit unsere kritische Grenze dar, ab der wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen. Diese vergleichen wir nun mit unserer Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z. Wenn unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe gr\u00f6\u00dfer als der kritische z-Wert ist, liegt sie im Ablehnungsbereich, in der wir die Nullhypothese verwerfen. Da unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe einen Wert von z<sub>emp<\/sub>=3 aufweist und damit gr\u00f6\u00dfer ist als der kritische z-Wert, lehnen wir die Nullhypothese im vorliegenden Fall ab.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-852\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-1024x337.png\" alt=\"\" width=\"754\" height=\"248\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-1024x337.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-300x99.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-768x252.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-1536x505.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-65x21.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-225x74.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2-350x115.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild7-2.png 1673w\" sizes=\"(max-width: 754px) 100vw, 754px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir k\u00f6nnen sagen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass unser erhobener Stichprobenmittelwert zur selben Population, wie die Eiscreme-Sorte der Konkurrenz geh\u00f6rt, bei unter 1% liegt. Dadurch wird unser selbstgew\u00e4hltes Signifikanzniveau unterschritten und man kann von einem <strong>signifikanten Unterschied<\/strong> sprechen (bzw. genauer: einem hoch signifikantem Unterschied, da das Signifikanzniveau bei \u03b1 = 1% lag).<br \/>\nWenn wir zur\u00fcck an unsere Aufgabenstellung denken, wollten wir herausfinden, ob unsere Eissorte &#8222;Ewiges Eis&#8220;, besser beim Geschmackstest abschneidet als die Konkurrenzsorten. Dadurch, dass wir die H<sub>0<\/sub> abgelehnt haben, k\u00f6nnen wir diese Frage nun beantworten und sagen, dass unsere Eissorte signifikant besser schmeckt, als die Eissorten der Konkurrenz (mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1%). Mit dieser Entscheidung ist unser Testverfahren abgeschlossen.<br \/>\n<a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch3.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In unserem Beispiel haben wir einen <strong>einseitigen z-Test<\/strong> durchgef\u00fchrt mit einer gerichteten rechtsseitigen Hypothese. Der z-Test kann jedoch auch andere Hypothesenpaare testen, wie z.B. eine gerichtete linksseitige oder eine ungerichtete Hypothese. Um zu verdeutlichen, wie wir den Ablehnungsbereich in diesen F\u00e4llen konstruieren, drehen wir unser Beispiel um und pr\u00fcfen die folgenden Behauptungen:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; erzielt die gleiche oder eine h\u00f6here Geschmackspunktzahl als das Konkurrenzprodukt. \u03bc \u2265 7,2<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; erzielt eine <strong>niedrigere<\/strong> Geschmackspunktzahl als das Konkurrenzprodukt. \u03bc &lt; 7,2<\/p>\n<p>Bei einem Signifikanzniveau von 1% sieht unser Ablehnungsbereich wie folgt aus:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-859\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-1024x395.png\" alt=\"\" width=\"642\" height=\"248\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-1024x395.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-300x116.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-768x296.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-65x25.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-225x87.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4-350x135.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/7-4.png 1474w\" sizes=\"(max-width: 642px) 100vw, 642px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wir sehen, dass unser Ablehnungsbereich nun auf der anderen Seite der Verteilung liegt. Dies liegt daran, weil wir aufgrund unserer linksseitigen Hypothese vermuten, dass unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe kleiner als der Erwartungswert der Verteilung ausf\u00e4llt. Dementsprechend lehnen wir die Nullhypothese ab, wenn unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z<sub>emp<\/sub> <strong>kleiner<\/strong> als der entsprechende kritische z-Wert z<sub>krit<\/sub> ist. Um zu berechnen, wo unser kritischer z-Wert liegt, nutzen wir wieder eine Tabelle f\u00fcr die Standardnormalverteilung, basierend auf unserem festgelegten Signifikanzniveau. Da dieses auf \u03b1=1% festgelegt wurde, ist die Grenze unseres Ablehnungsbereichs bei dem z-Wert, bis zu welchem 1% aller Daten liegen. Es gilt:<\/p>\n<p>z<sub>krit<\/sub> = &#8211; z<sub>(1-\u03b1)<\/sub><\/p>\n<p>F\u00fcr unseren kritischen Wert von z<sub>1%<\/sub> w\u00fcrden wir demnach Folgendes berechnen:<\/p>\n<p>z<sub>krit<\/sub> = &#8211; z<sub>(1-0,01)<\/sub> = &#8211; z<sub>0,99<\/sub> = &#8211; 2,33<\/p>\n<p>Wenn unsere Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe einen kleineren Wert als -2,33 aufweist, so befindet z<sub>emp<\/sub> sich im Ablehnungsbereich und wir k\u00f6nnen die H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen. Ist der Teststatistik gr\u00f6\u00dfer als der kritische z-Wert, wird die H<sub>0<\/sub> beibehalten.<\/p>\n<p>In einem letzten Beispiel schauen wir uns unser Eiscreme-Szenario f\u00fcr eine ungerichtete Hypothese bei einem Signifikanzniveau von 1% an. Unsere Hypothesen lauten hierbei:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; schmeckt gleich gut wie die Konkurrenz und erzielt die gleiche Geschmackspunktzahl wie die Konkurrenzprodukte (\u03bc = 7,2).<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Unsere Eiscreme-Sorte schmeckt nicht wie die der Konkurrenz und erzielt dementsprechend eine andere Geschmackspunktzahl (\u03bc \u2260 7,2).<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In diesem Fall f\u00fchren wir einen <strong>zweiseitigen z-Test<\/strong> durch. Hierf\u00fcr bilden wir auf beiden Seiten der Verteilung einen Ablehnungsbereich, da wir keine Vermutung dar\u00fcber aufstellen, auf welcher Seite der Verteilung sich unsere empirisch erhobene Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe z befindet. Als Konsequenz halbiert sich die Fl\u00e4che unserer Ablehnungsbereiche auf beiden Seiten, sodass wir nun statt einem Ablehnungsbereich mit 1%, zwei Ablehnungsbereiche mit jeweils 0,5% haben.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-860\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-1024x379.png\" alt=\"\" width=\"711\" height=\"263\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-1024x379.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-300x111.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-768x284.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-1536x568.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-65x24.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-225x83.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1-350x129.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild8-1.png 1538w\" sizes=\"(max-width: 711px) 100vw, 711px\" \/><\/p>\n<p>Dementsprechend \u00e4ndern sich auch unsere kritischen z-Werte, die die Grenzen, der Ablehnungsbereiche bilden. Statt bei z<sub>1-\u03b1\u00a0<\/sub>zu liegen, befinden sie sich nun bei +\/- z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub>. F\u00fcr unser Beispiel mit einem Signifikanzniveau von 1% liegen sie damit bei:<\/p>\n<p>Untergrenze: z<sub>krit<\/sub> = -z<sub>1-\u03b1\/2 <\/sub>\u00a0 =\u00a0 -z<sub>1-0,01\/2<\/sub> \u00a0= -z<sub>0,995<\/sub>\u00a0 = &#8211; 2,58<\/p>\n<p>Obergrenze: z<sub>krit<\/sub> = \u00a0 z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub>\u00a0 =\u00a0 z<sub>1-0,01\/2<\/sub>\u00a0 = z<sub>0,995 <\/sub>=\u00a0 2,58<\/p>\n<p>Ist unsere empirische Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe kleiner als z<sub>krit<\/sub> von -2,58 beziehungsweise gr\u00f6\u00dfer als unser oberer kritischer z-Wert von +2,58, k\u00f6nnen wir die Nullhypothese ablehnen und damit best\u00e4tigen, dass sich unsere Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; in der Geschmacksbewertung signifikant von der Konkurrenz unterscheidet (mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 1%).<\/p>\n<p>Um die Konstruktion des Ablehnungsbereichs und die Entscheidung besser nachvollziehen zu k\u00f6nnen, zeigt Ihnen das folgende Video von Five Profs eine Beispielrechnung an einem Praxisfall.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/DXupYlxm70M\">11.3 Z-Test Gau\u00dftest | Konstruktion des Ablehnbereichs und Entscheidung<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.3 Z-Test Gau\u00dftest | Konstruktion des Ablehnbereichs und Entscheidung\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/DXupYlxm70M?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Zudem zeigt Ihnen die folgende Tabelle eine \u00dcbersicht, \u00fcber alle Hypothesenpaare des z-Tests und wie die entsprechenden Zwischenschritte zu berechnen sind.<\/p>\n<p>Voraussetzungen : Intervalldaten; f\u00fcr n &lt; 30 Normalverteilung in den Daten, ab n \u2265 30 beliebige Verteilung; \u03c3 bekannt<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 116px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 68px;\">\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">Hypothesen<\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc = \u03bc<sub>0<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc \u2260 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 \u03bc<sub>0<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2265 \u03bc<sub>0<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc &lt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">Bestimmung der Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe (z<sub>emp<\/sub>)<\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-861\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png\" alt=\"\" width=\"158\" height=\"42\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-65x17.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-225x59.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-350x92.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10.png 640w\" sizes=\"(max-width: 158px) 100vw, 158px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-861\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png\" alt=\"\" width=\"180\" height=\"48\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-65x17.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-225x59.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-350x92.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10.png 640w\" sizes=\"(max-width: 180px) 100vw, 180px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-861\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png\" alt=\"\" width=\"173\" height=\"45\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-300x79.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-65x17.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-225x59.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10-350x92.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild10.png 640w\" sizes=\"(max-width: 173px) 100vw, 173px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">Bestimmung kritischer z-Wert (z<sub>krit<\/sub>)<\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>krit\u00a0<\/sub>= -z<sub>1-\u03b1\/2 <\/sub>; + z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>krit\u00a0<\/sub>= \u00a0z<sub>1-\u03b1<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>krit\u00a0<\/sub>=\u00a0 &#8211; z<sub>1-\u03b1<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">H<sub>0<\/sub> ablehnen, wenn:<\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">|z<sub>emp<\/sub>| &gt; z<sub>1-\u03b1\/2<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>emp<\/sub> &gt;\u00a0 z<sub>krit<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 25%; height: 16px;\">z<sub>emp<\/sub> &lt;\u00a0 z<sub>krit<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Rechenbeispiel Z-Test<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Wir haben die Vermutung, dass die Einf\u00fchrung des neuen interaktiven Skripts die Lernleistung in Statistik, gemessen \u00fcber das Abschneiden in der Klausur, verbessert. Um diese Hypothese zu \u00fcberpr\u00fcfen, ziehen wir eine Zufalls-Stichprobe von n=45 Studierenden, die das neue interaktive Skript erhalten. Diese haben einen Durchschnitt von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/> = 82 Punkten in der Klausur (von 100 m\u00f6glichen Punkten). Bei Studierenden, die kein interaktives Skript hatten, lag der langj\u00e4hrige Populationsmittelwert in der Klausur bei\u00a0 \u03bc<sub>0\u00a0<\/sub>= 80 mit\u00a0 \u03c3<sup>2<\/sup>=64 (bzw. \u03c3=8). Unser festgelegtes Signifikanzniveau betr\u00e4gt 5%.<\/span><\/p>\n<p><strong>Hypothesen aufstellen:<\/strong><\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 80<br \/>\n(Studierende mit interaktivem Skript erzielen in der Klausur die gleiche oder eine geringere Punktzahl, als Studierende ohne ein interaktives Skript<span class=\"mwe-math-element\">)<br \/>\n<\/span>H<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; 80<br \/>\n(Studierende mit interaktivem Skript erzielen in der Klausur eine h\u00f6here Punktzahl, als Studierende ohne ein interaktives Skript mit einem <span class=\"mwe-math-element\">\u03bc<sub>0\u00a0<\/sub>= 80)<\/span><\/p>\n<p><strong>Voraussetzungen pr\u00fcfen: <\/strong>Intervalldaten (\u2713); n &gt; 30, sodass Verteilung beliebig ist (\u2713); <span class=\"mwe-math-element\">\u03c3 gegeben (\u2713)<br \/>\n<\/span><\/p>\n<p><strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe berechnen:<\/strong><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-862\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-300x38.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"38\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-300x38.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-1024x128.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-768x96.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-1536x192.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-65x8.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-225x28.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11-350x44.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild11.png 1630w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p><strong>kritischen z-Wert berechnen: <\/strong>z<sub>krit<\/sub> = z<sub>1-\u03b1\u00a0<\/sub>= z<sub>0,95<\/sub> = 1,65<\/p>\n<p><strong>Entscheidung treffen: <\/strong>z<sub>emp<\/sub> &gt;\u00a0 z<sub>krit<\/sub>\u00a0 &#8211;&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-863 alignnone\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-1024x337.png\" alt=\"\" width=\"716\" height=\"236\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-1024x337.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-300x99.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-768x253.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-1536x506.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-65x21.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-225x74.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12-350x115.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild12.png 1674w\" sizes=\"(max-width: 716px) 100vw, 716px\" \/><\/p>\n<ul>\n<li><strong>Antwort<\/strong>:<br \/>\nAufgrund der Untersuchung kann angenommen werden, dass das interaktive Skript die Lernleistung der Studierenden verbessert hat (mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5%).<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<h1>11.5 p-Wert als Entscheidungskriterium<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu entscheiden, ob wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen oder beibehalten, haben wir im vorausgegangenen Absatz die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe<em> z<\/em><sub>emp<\/sub> mit dem kritischen z-Wert z<sub>krit<\/sub> verglichen. Als Alternative kann man stattdessen auch den <strong>p-Wert<\/strong> als Entscheidungskriterium verwenden, welcher in der Praxis deutlich h\u00e4ufiger angegeben wird.<br \/>\nHierf\u00fcr berechnen wir aus unserer Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe <em>z<\/em> einen p-Wert, welcher die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die H<sub>0<\/sub> ausdr\u00fcckt. Oder anders ausgedr\u00fcckt: Die Wahrscheinlichkeit, dass wir solch einen Stichprobenmittelwert und damit empirischen z-Wert erhalten, unter der Annahme der H<sub>0<\/sub>. Beispielsweise w\u00fcrde ein p-Wert von 1,75% aussagen, dass das Auftreten unseres empirischen z-Werts unter Annahme der Nullhypothese eine Wahrscheinlichkeit von 1,75% besitzt. Um anschlie\u00dfend zu entscheiden, ob wir die H<sub>0<\/sub> ablehnen oder beibehalten, vergleichen wir diesen p-Wert mit unserem im Vorhinein bestimmten Signifikanzniveau \u03b1. Wenn der p-Wert kleiner als unser definiertes Signifikanzniveau \u03b1 ist, dann k\u00f6nnen wir die H<sub>0<\/sub> verwerfen. In unserem Beispiel w\u00e4hlen wir ein 5%-Signifikanzniveau. Da unser p=1,75% kleiner als \u03b1=5% ist, entscheiden wir uns in diesem Fall f\u00fcr eine Ablehnung der Nullhypothese. Unsere Begr\u00fcndung hierbei ist, dass unser z-Wert lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1,75% unter Annahme der Nullhypothese auftritt, sodass das Ergebnis besser mit der Alternativhypothese zu vereinbaren w\u00e4re.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Doch schauen wir uns dieses Vorgehen einmal Schritt f\u00fcr Schritt an unserem Eiscreme-Beispiel an. Die Hypothesenaufstellung, Pr\u00fcfung der Voraussetzungen des Tests, sowie die Berechnung der Pr\u00fcfstatistik z bleiben gleich. Erst nach diesen Schritten berechnen wir den p-Wert. Zur Erinnerung, unsere Hypothesen lauten hierbei:<\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; erzielt die gleiche oder eine schlechtere Geschmackspunktzahl als\u00a0 die Konkurrenzprodukte.<br \/>\nH<sub>1<\/sub>: Die Eiscreme-Sorte &#8222;Ewiges Eis&#8220; erzielt eine h\u00f6here Geschmackspunktzahl als die Konkurrenzprodukte.<\/p>\n<p>F\u00fcr unseren Stichprobenmittelwert von <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97\" alt=\"\\overline x\" aria-hidden=\"true\" \/>=7,5 Geschmackspunkten haben wir daraufhin eine Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe von z<sub>emp<\/sub>= 3 berechnet. F\u00fcr diese Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe gilt es nun, einen p-Wert zu berechnen.<\/span><\/p>\n<h2>1. Schritt:\u00a0 Berechnung des p-Werts<\/h2>\n<p>Um den p-Wert zu ermitteln, berechnen wir die Fl\u00e4che, die der empirische z-Wert (in unserem Beispiel: <span class=\"mwe-math-element\">z<sub>emp<\/sub>= 3)<\/span> an den (interessierenden) Enden der Pr\u00fcfverteilung abschneidet. Graphisch sieht diese Fl\u00e4che wie folgt aus:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-867\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-1024x408.png\" alt=\"\" width=\"670\" height=\"267\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-1024x408.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-300x120.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-768x306.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-65x26.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-225x90.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13-350x140.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild13.png 1369w\" sizes=\"(max-width: 670px) 100vw, 670px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Zur Berechnung dieses p-Werts benutzen wir wieder unsere Tabellen. In ihnen sehen wir, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmter\u00a0 oder kleinerer z-Wert auftritt. F\u00fcr unseren empirischen z-Wert von 3 ermitteln wir so eine Wahrscheinlichkeit von \u03a6(3) = 99,865%. Das ist jedoch die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die Fl\u00e4che von &#8211;<img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty\" aria-hidden=\"true\" \/> bis zu unserem z-Wert. Der p-Wert hingegen beschreibt die Fl\u00e4che am Ende unserer Pr\u00fcfverteilung. Aus diesem Grund berechnet sich unser p-Wert aus dem Kehrwert dessen:<\/p>\n<p>p = 1 &#8211; \u03a6(3) = 1 &#8211; 0,99865 = 0,00135 \u2261 0,135%<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr die H<sub>0\u00a0<\/sub>betr\u00e4gt somit 0,135%.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-869\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1.png\" alt=\"\" width=\"1399\" height=\"502\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1.png 1399w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1-300x108.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1-1024x367.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1-768x276.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1-65x23.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1-225x81.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild14-1-350x126.png 350w\" sizes=\"(max-width: 1399px) 100vw, 1399px\" \/><\/p>\n<p>Unser Beispiel beschreibt die Berechnung des p-Werts an einer rechtsseitig gerichteten Hypothese. F\u00fcr die beiden anderen m\u00f6glichen Hypothesenpaare des z-Tests wird der p-Wert folgenderma\u00dfen berechnet:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%; height: 240px;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 16px;\">\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 16px;\"><strong>Alternativ-<br \/>\nhypothese ist:<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 16px;\"><strong>Hypothesenpaar<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 16px;\"><\/td>\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 16px;\"><strong>Berechnung des p-Werts<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 88px;\">\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 88px;\">gerichtet (rechtsseitig)<br \/>\n<em>unser Beispiel<\/em><\/td>\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 88px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 \u03bc<sub>0<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 88px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-871 size-medium\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-300x108.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"108\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-300x108.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-1024x370.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-768x278.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-65x24.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-225x81.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1-350x127.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild15-1.png 1369w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 88px;\">p = 1 &#8211; \u03a6(z<sub>emp<\/sub>)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 68px;\">\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 68px;\">gerichtet (linksseitig)<\/td>\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2265 \u03bc<sub>0<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc &lt; \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 68px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-873 size-medium\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-300x103.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"103\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-300x103.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-1024x351.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-768x263.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-65x22.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-225x77.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1-350x120.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild16-1.png 1445w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 68px;\">p = \u03a6(z<sub>emp<\/sub>)<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 68px;\">\n<td style=\"width: 24.5279%; height: 68px;\">ungerichtet<\/td>\n<td style=\"width: 15.8404%; height: 68px;\">H<sub>0<\/sub>: \u03bc = \u03bc<sub>0<\/sub><\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc \u2260 \u03bc<sub>0<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 33.4985%; height: 68px;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-874 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-300x108.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"108\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-300x108.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-1024x367.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-768x275.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-65x23.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-225x81.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17-350x125.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild17.png 1381w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 26.1332%; height: 68px;\">p = \u03a6(z<sub>emp<\/sub>) * 2<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Wir sehen, dass sich bei einer ungerichteten Hypothese der p-Wert verdoppelt. Dies passiert, da er an beiden Enden der Pr\u00fcfverteilung auftritt.<\/p>\n<h2>2. Schritt: Entscheidung<\/h2>\n<p>F\u00fcr die Entscheidung, ob wir die H<sub>0\u00a0<\/sub>auf Basis unserer Daten ablehnen, vergleichen wir, wie schon erw\u00e4hnt, nicht den z<sub>emp\u00a0<\/sub>mit dem z<sub>krit<\/sub>, sondern diesmal den p-Wert (der zu unserem z<sub>emp <\/sub>geh\u00f6rt) mit dem vordefinierten Signifikanzniveau \u03b1. Die alternative Entscheidungsregeln lautet hierbei:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">p &lt; \u03b1<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">Ablehnung der H<sub>0<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">p &gt; \u03b1<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">H<sub>0\u00a0<\/sub>kann nicht abgelehnt werden, (keine Aussage m\u00f6glich)<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Zur Gegen\u00fcberstellung der beiden Herangehensweisen bei der Entscheidung soll Ihnen die folgende Grafik dienen. Man sieht, dass bei der Entscheidung mit dem p-Wert die beiden Fl\u00e4chen verglichen werden und nicht die z-Werte.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-881\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-1024x372.png\" alt=\"\" width=\"708\" height=\"257\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-1024x372.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-300x109.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-768x279.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-65x24.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-225x82.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1-350x127.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild18-1.png 1369w\" sizes=\"(max-width: 708px) 100vw, 708px\" \/><\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Grunds\u00e4tzlich sind beide Wege gleichberechtigt und eigentlich auch zwei Seiten der gleichen Medaille. Da die Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe bei jedem Test unterschiedlich ist (nach dem z-Test werden Sie noch den T-Test, den F-Test und viele mehr kennen lernen), ist in der Praxis meist der P-Wert f\u00fcr die Interpretation beliebter. Dieser ist bei jedem Test gleicherma\u00dfen und auch ohne Tabelle interpretierbar. Es gilt bei jedem Test grunds\u00e4tzlich: Ist der P-Wert kleiner als das Signifikanzniveau, kann die H<sub>0<\/sub> verworfen werden.<\/p>\n<div class=\"textbox textbox--examples\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Beispiel Interpretation \u00fcber P-Wert<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>Wir m\u00f6chten die Hypothese testen, dass die FiveProfs-YouTube Abonnenten schlauer sind als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung. Aus diesem Grund f\u00fchren wir ein Intelligenztest bei n = 45 Abonnenten durch, in dem eine Mittelwert von 105 IQ Punkten herauskommt. Durch die Normierung der IQ- Punkte ist bekannt, dass der Durchschnitt einen IQ von \u03bc=100 und dabei eine Standardabweichung von \u03c3=15 IQ-Punkten besitzt. Sind unsere Abonnenten nun signifikant schlauer (\u03b1 = 5%)?<\/p>\n<p><strong>Hypothesen aufstellen:<\/strong><\/p>\n<p>H<sub>0<\/sub>: \u03bc \u2264 100<\/p>\n<p>H<sub>1<\/sub>: \u03bc &gt; 100<\/p>\n<p><strong>Voraussetzungen pr\u00fcfen: <\/strong>Intervalldaten (\u2713); n &gt; 30, sodass Verteilung beliebig ist (\u2713); <span class=\"mwe-math-element\" style=\"text-align: initial; font-size: 0.9em;\">\u03c3 gegeben (\u2713)<\/span><\/p>\n<p><strong>Pr\u00fcfgr\u00f6\u00dfe berechnen:<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-880\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-300x38.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"38\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-300x38.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-1024x128.png 1024w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-768x96.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-1536x192.png 1536w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-65x8.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-225x28.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19-350x44.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild19.png 1631w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/strong><\/p>\n<p><strong>p-Wert berechnen: <\/strong>p = 1- \u03a6(2,24) = 1 &#8211; 0,9875 = 0,0125<\/p>\n<p><strong>Entscheidung treffen:\u00a0 <\/strong>p=0,0125 \u00a0&lt;\u00a0 \u03b1=0,05\u00a0 &#8211;&gt; H<sub>0\u00a0<\/sub>ablehnen<\/p>\n<p><strong>Antwort:<\/strong> Die FiveProfs-Abonnenten sind signifikant schlauer als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5%.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>Das folgende Video von Five Profs veranschaulicht und erkl\u00e4rt Ihnen das Thema nochmals an einem Beispiel<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/TQIzCltDrRw\">11.4 Z-Test Gau\u00dftest | P-Wert und Interpretation<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.4 Z-Test Gau\u00dftest | P-Wert und Interpretation\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/TQIzCltDrRw?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p>Doch was bedeutet ein signifikanter Unterschied eigentlich?<\/p>\n<h1>11.6 Aussagekraft des Signifikanztests<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Um zu ergr\u00fcnden, was f\u00fcr eine Aussagekraft ein signifikantes Ergebnis besitzt, m\u00fcssen wir uns die Logik von Signifikanztests nochmal vor Augen f\u00fchren. Ein Signifikanztest ermittelt die Wahr\u00adschein\u00adlich\u00adkeit eines Ergebnisses bei G\u00fcltigkeit der Nullhypothese: <strong>P(Ergebnis | H<sub>0<\/sub>)<\/strong>. Wir machen also nur Aussagen \u00fcber die <strong>Wahrscheinlichkeit der Daten unter der Annahme der Nullhypothese.<\/strong>\u00a0Wenn wir dementsprechend ein signifikantes Ergebnis erhalten, muss die Nullhypothese (die wir ablehnen) nicht zwangsweise falsch sein. Die gefundenen Daten sind nur recht unwahrscheinlich unter Annahme der Nullhypothese. Zum Vergleich: wenn wir bei einem nicht signifikanten Ergebnis die H<sub>0<\/sub> beibehalten, muss auch diese nicht zwangsweise richtig sein. Unsere gefundenen Daten sind nur nicht unwahrscheinlich genug, als dass wie die Nullhypothese ablehnen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Lassen Sie uns das eben Gesagte nochmal an einem Beispiel verdeutlichen. Nehmen wir an, wir haben durch eine Stichprobe herausgefunden, dass die FiveProfs-Abonnenten einen signifikant h\u00f6heren IQ von 105 IQ-Punkten aufweisen als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung mit 100 IQ-Punkten (\u03b1 = 5%). Als wir den z-Test durchgef\u00fchrt haben, konnten wir aus diesem Grund die Nullhypothese ablehnen. Die Bedeutung dieses Ergebnisses l\u00e4sst sich wie folgt zusammenfassen:<\/p>\n<p>&#8222;Die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr unser Messergebnis von durchschnittlich 105 IQ-Punkten bei 45 Abonnenten unter der Annahme, dass sie zu einer Population geh\u00f6ren, deren Mittelwert bei 100 IQ-Punkten liegt, betr\u00e4gt weniger als 5% und ist damit relativ unwahrscheinlich.&#8220;<\/p>\n<p>Was wir hingegen <strong>nicht<\/strong> durch unser signifikantes Ergebnis schlussfolgern k\u00f6nnen, ist, welche Wahrscheinlichkeit die Null- oder Alternativhypothese besitzen. Wir k\u00f6nnen also nichts \u00fcber <strong>P(H<sub>0<\/sub> | Ergebnis)<\/strong>\u00a0oder <strong>P(H<sub>1<\/sub> | Ergebnis) <\/strong>aussagen. Die folgende Behauptung w\u00e4re damit <strong>falsch<\/strong>:<\/p>\n<p>&#8222;Die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Abonnenten schlauer sind als die Durchschnittsbev\u00f6lkerung betr\u00e4gt 95%.&#8220;<\/p>\n<h1>11.7 Statistische vs. praktische Signifikanz (Bedeutsamkeit)<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Wenn ein Effekt statistisch signifikant ist, wird ihm meist auch eine praktische Bedeutsamkeit zugesprochen. Dies ist aber nicht unbedingt gegeben, da ein Signifikanztest nicht nur eher \u201eausschl\u00e4gt\u201c, je gr\u00f6\u00dfer ein Effekt und je gr\u00f6\u00dfer das Signifikanzniveau \u03b1 ist, sondern auch je sensitiver der gew\u00e4hlte Test und je gr\u00f6\u00dfer die Stichprobengr\u00f6\u00dfe ist. Das bedeutet, dass selbst kleinste Effekte (wie z.B. geringe Mittelwertsunterschiede) bei sensitiven Tests mit einer gro\u00dfen Stichprobengr\u00f6\u00dfe signifikant werden k\u00f6nnen. Denn je gr\u00f6\u00dfer die Stichprobe ist, desto genauer ist auch die Messung und umso eher k\u00f6nnen wir uns sicher sein, dass ein Unterschied nicht zuf\u00e4llig ist (bzw. unter Annahme der Nullhypothese zustande gekommen ist). Dadurch ist es m\u00f6glich, signifikante Unterschiede zu erhalten, die in die Praxis keine Bedeutung haben, wie Ihnen das folgende Beispiel zeigt.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">In einer Studie wurde ein neues Fiebermittel getestet und ergab, dass es das Fieber signifikant herabsenken konnte &#8211; und zwar um 0,25\u00b0C. Die statistische Signifikanz ist in diesem Beispiel zwar gegeben, aber praktisch betrachtet hilft Patienten eine Senkung des Fiebers um 0,25\u00b0C leider nur wenig.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die Ursache der Diskrepanz zwischen statistischer und praktischer Signifikanz liegt darin, dass Signifikanztests nichts \u00fcber die Gr\u00f6\u00dfe unserer gefundenen Effekte aussagen. Hierf\u00fcr ben\u00f6tigen wir ein zus\u00e4tzliches Ma\u00df: die Effektgr\u00f6\u00dfe.<\/p>\n<h1>11.8 Effektgr\u00f6\u00dfe<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Die <strong>Effektgr\u00f6\u00dfe<\/strong> (auch Effektst\u00e4rke genannt) ist ein <strong>standardisiertes Ma\u00df<\/strong>, welche die Gr\u00f6\u00dfe eines gefundenen Effekts (z.B. Mittelwertsunterschied zwischen Testgruppen, Zusammenhang zwischen zwei Variablen) in standardisierter Form angibt. Durch diese Standardisierung sind Effektgr\u00f6\u00dfen zwischen unterschiedlichen Studien oder Ma\u00dfen vergleichbar. Zudem k\u00f6nnen wir durch sie unsere erhaltenen Testergebnisse im Hinblick auf ihren Nutzen interpretieren, da die Signifikanz allein nichts \u00fcber den praktischen Wert unserer Ergebnisse aussagt. Durch die gro\u00dfe Bandbreite von Hypothesen existieren in der Statistik unterschiedliche Effektgr\u00f6\u00dfen, die je nach Studiendesign variieren. Beispielsweise gibt es andere Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr Zusammenhangs- und f\u00fcr Unterschiedshypothesen, welche wir z.B. beim z-Test pr\u00fcfen. Auch die gew\u00e4hlten Tests spielen bei der Wahl der passenden Effektgr\u00f6\u00dfe eine Rolle. Parametrische Tests, basierend auf metrischen Variablen, besitzen andere Effektgr\u00f6\u00dfen als nicht-parametrische Tests, welche auf nominalen oder ordinalen Variablen basieren. Bei der Berechnung der unterschiedlichen Effektgr\u00f6\u00dfen k\u00f6nnen an dieser Stelle Statistik-Programme wie <a href=\"https:\/\/www.psychologie.hhu.de\/arbeitsgruppen\/allgemeine-psychologie-und-arbeitspsychologie\/gpower.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">G-Power<\/a> behilflich sein.<\/p>\n<h2>Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr parametrische Tests (z.B. Z-Test)<\/h2>\n<h2>Cohen&#8217;s d (<em>\u03b4<\/em>)<\/h2>\n<p>Bei Signifikanztests zu Mittelwertsunterschieden, wie beispielsweise beim z-Test, bildet Cohen&#8217;s d das g\u00e4ngigste Ma\u00df zur Angabe der Effektst\u00e4rke. Seine Berechnung entspricht der einer z-Standardisierung und baut sich wie folgt auf:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter wp-image-888\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1.png\" alt=\"\" width=\"598\" height=\"127\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1.png 956w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1-300x64.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1-768x163.png 768w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1-65x14.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1-225x48.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild22-1-350x74.png 350w\" sizes=\"(max-width: 598px) 100vw, 598px\" \/><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen: Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr T-Test<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<p>In der allgemeinen Formel wird angenommen, dass die Standardabweichungen von nur einer Population betrachtet werden. F\u00fcr Tests, bei denen unterschiedliche Populationen ber\u00fccksichtigt werden (z.B. T-Test), verwendet man die gepoolte Standardabweichung, die die Wurzel aus dem Mittelwert beider Varianzen darstellt.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-885 aligncenter\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild21-300x73.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"73\" srcset=\"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild21-300x73.png 300w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild21-65x16.png 65w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild21-225x55.png 225w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild21-350x86.png 350w, https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2020\/10\/Bild21.png 547w\" sizes=\"(max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"text-align: justify;\">Als Ergebnis erhalten wir eine Zahl f\u00fcr Cohen&#8217;s d, die sich von &#8211;<img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty\" aria-hidden=\"true\" \/> bis +<img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c26c105004f30c27aa7c2a9c601550a4183b1f21\" alt=\"\\infty\" aria-hidden=\"true\" \/> erstrecken kann. Diese stellt den Mittelwertsunterschied bezogen auf die (gepoolte) Standardabweichung dar. Eine Effektst\u00e4rke von .50 bedeutet demzufolge, dass die Differenz zwischen beiden Gruppen gleich einer halben Standardabweichung entspricht. Je gr\u00f6\u00dfer dabei der Betrag von Cohen&#8217;s <em>d<\/em>, desto gr\u00f6\u00dfer ist der Effekt. Die Faustregel zur Interpretation der berechneten Effektst\u00e4rken definiert Cohen (1988) wie folgt:<\/p>\n<table class=\"aligncenter\" style=\"border-collapse: collapse; width: 44.9481%; height: 96px;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">|<em>d<\/em>| = 0,2<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">kleiner Effekt<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">|<em>d<\/em>| = 0,5<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">mittlerer Effekt<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">|<em>d<\/em>| = 0,8<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">gro\u00dfer Effekt<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Wie die Berechnung und Interpretation von Cohen&#8217;s d im Falle eines z-Tests aussieht, veranschaulicht Ihnen das folgende Video von Five Profs noch einmal genauer.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/youtu.be\/5SZPZ1X9zQg\">Video 11.5 Z-Test Gau\u00dftest | Die Effektgr\u00f6\u00dfe<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.5 Z-Test Gau\u00dftest | Die Effektgr\u00f6\u00dfe\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/5SZPZ1X9zQg?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<div class=\"textbox textbox--key-takeaways\">\n<header class=\"textbox__header\">\n<p class=\"textbox__title\">Expertenwissen: Weitere Effektgr\u00f6\u00dfen<\/p>\n<\/header>\n<div class=\"textbox__content\">\n<h2>Weitere Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr parametrische Tests<\/h2>\n<ul>\n<li>Pearsons r (<em>\u03c1<\/em>)<br \/>\nDen Pearson Korrelationskoeffizienten r haben Sie bereits in Verbindung mit Zusammenhangshypothesen kennengelernt. Er ist ein Ma\u00df f\u00fcr den linearen Zusammenhang zweier Variablen und gibt dabei sowohl die Richtung als auch die St\u00e4rke des Zusammenhangs an. Sein Wertebereich ist im Gegensatz zu Cohen&#8217;s d auf den Bereich zwischen -1 und +1 beschr\u00e4nkt.<\/li>\n<li>Eta Quadrat (\u03b7\u00b2)<br \/>\nDiese Effektgr\u00f6\u00dfe wird bei ANOVAs (Analyse of Variance) verwendet und dr\u00fcckt den gesamten Anteil der durch alle Effekte erkl\u00e4rten Varianz an der Gesamtvarianz aus. Jedoch hat Eta Quadrat einen positiven Bias, sodass die aufgekl\u00e4rte Varianz immer \u00fcbersch\u00e4tzt wird.<\/li>\n<li>Omega Quadrat (<em>\u03c9<sup>2<\/sup><\/em>)<br \/>\nDiese Effektgr\u00f6\u00dfe wird ebenfalls bei ANOVAs verwendet und sch\u00e4tzt die aufgekl\u00e4rte Varianz einer bestimmten Variablen, nachdem die Einfl\u00fcsse aller anderen Faktoren in der Gesamtvariabilit\u00e4t kontrolliert wurden. Hierbei bezieht es die Anzahl der Gruppen bei der Berechnung der Varianzaufkl\u00e4rung mit ein, sodass es einen geringeren Bias als f\u00fcr die ANOVA haupts\u00e4chlich verwendete Effektst\u00e4rke &#8222;partielles Eta Quadrat&#8220; besitzt.<\/li>\n<\/ul>\n<h2>Effektgr\u00f6\u00dfen f\u00fcr nicht-parametrische Tests<\/h2>\n<ul>\n<li>Cohen&#8217;s w \/ Cramers Phi \/ Cramers V<br \/>\nAlle drei Kennzahlen stellen Effektgr\u00f6\u00dfen in Bezug auf (relative) H\u00e4ufigkeiten dar und k\u00f6nnen uns Auskunft \u00fcber den statistischen Zusammenhang zwischen zwei oder mehreren\u00a0nominalskalierten Variablen geben. Ihre Berechnung basiert auf einer <span class=\"mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y\">\u03c7<sup>2<\/sup><\/span>-Verteilung und damit auf den Abweichungen der beobachteten H\u00e4ufigkeiten von den erwarteten H\u00e4ufigkeiten.<\/li>\n<li>Quotenverh\u00e4ltnis (odds-ratio)<br \/>\nDiese Effektgr\u00f6\u00dfe ist ebenso wie Cohen&#8217;s w \/ Cramers Phi \/ Cramers V f\u00fcr Kreuztabellen geeignet, jedoch basiert sie nicht auf (relativen) H\u00e4ufigkeiten, sondern wie der Name schon sagt, auf Quoten. Das Quotenverh\u00e4ltnis beschreibt dabei ebenfalls den Zusammenhang von zwei Merkmalen und wird durch den Vergleich zweier Quoten berechnet.<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1>11.9 Kritik am Signifikanztest<\/h1>\n<p style=\"text-align: justify;\">Der Signifikanztest ist sehr beliebt, weil er ein formales (und scheinbar objektives) Entscheidungskriterium liefert. Der Hypothesentest ist jedoch immer wieder auch in der Kritik, da dieser oft ohne spezifische H<sub>1<\/sub> und mit oftmals unplausibler H<sub>0<\/sub> durchgef\u00fchrt wird<a class=\"footnote\" title=\"Vgl. Woolston, Chris: Psychology journal bans p-values, in: Nature News &amp; Comment, 26.02.2015, [online] https:\/\/www.nature.com\/news\/psychology-journal-bans-p-values-1.17001 [12.12.2020].\" id=\"return-footnote-101-1\" href=\"#footnote-101-1\" aria-label=\"Footnote 1\"><sup class=\"footnote\">[1]<\/sup><\/a>. Ein weiterer Kritikpunkt ist das, meist willk\u00fcrlich gew\u00e4hlte, Signifikanzniveau.<\/p>\n<p><em>\u201eUnd warum lehren Universit\u00e4ten und Hochschulen weiterhin den Schwellenwert des P-Wertes von f\u00fcnf Prozent? Ronald Wasserstein und Nicole Lazar von der American Statistical Association geben die Antwort: Weil dieser Schwellenwert nach wie vor von den meisten Forschern benutzt wird. Und warum benutzen Forscher weiterhin den Schwellenwert? Weil das an den Universit\u00e4ten gelehrt wird.\u201c <a class=\"footnote\" title=\"Vgl. Amrhein, Amrhein: Das magische P, in: S\u00fcddeutsche.de, 23.09.2017, [online] https:\/\/www.sueddeutsche.de\/wissen\/wissenschaft-das-magische-p-1.3676252 [12.12.2020].\" id=\"return-footnote-101-2\" href=\"#footnote-101-2\" aria-label=\"Footnote 2\"><sup class=\"footnote\">[2]<\/sup><\/a><\/em><\/p>\n<p>Aus diesen Gr\u00fcnden sollten bei der Testanwendung oder der Lekt\u00fcre von Testergebnissen folgende Punkte ber\u00fccksichtigt und diskutiert werden:<\/p>\n<ul>\n<li>Ist die <em>H<\/em><sub>0<\/sub> plausibel oder a priori falsch?<\/li>\n<li>L\u00e4sst sich die Alternativhypothese pr\u00e4zisieren?<\/li>\n<li>Welches Signifikanzniveau ist im vorliegenden Fall angemessen?<\/li>\n<li>Wie gro\u00df sollte der Effekt sein (Signifikanz \u2260 Bedeutsamkeit)?<\/li>\n<\/ul>\n<h1>11.10 Z-Test in Jamovi rechnen<\/h1>\n<p>Der Z-Test l\u00e4sst sich in Jamovi nur mit dem Zusatzmodul \u201eztestvis\u201c berechnen. Dies k\u00f6nnen Sie mit einem Klick auf das gro\u00dfe Plus im Men\u00fc \u201eAnalysen\u201c einfach hinzuf\u00fcgen.<br \/>\nDann erreichen Sie die Funktion unter:<br \/>\n<em><strong>Analysen &gt; Misc &gt; One-Sample Z-Test<\/strong><\/em><br \/>\nAnders als in den bisherigen Men\u00fcs k\u00f6nnen Sie hier keine Variablen hinzuf\u00fcgen sondern m\u00fcssen die, ggf. vorab berechneten Werte, direkt eintragen. Da das Men\u00fc nur auf Englisch verf\u00fcgbar ist hier die notwendigen Eingaben in K\u00fcrze:<\/p>\n<ul>\n<li>Sample Mean : Hier tr\u00e4gt man den Mittelwert der Stichprobe ein<\/li>\n<li>Null Population Mean : Hier tr\u00e4gt man den Mittelwert der Population ein<\/li>\n<li>Null Population SD: Hier tr\u00e4gt man die Standardabweichung der Population ein<\/li>\n<li>Sample Size: Hier tr\u00e4gt man die Stichprobengr\u00f6\u00dfe ein<\/li>\n<li>Alpha Level: Hier gibt man das Alpha Niveau an, auf dem getestet werden soll, also z.B. 0.05 f\u00fcr 5%<\/li>\n<\/ul>\n<p>Bei \u201eAlternative Hypothesis\u201c kann man dann noch ausw\u00e4hlen ab man zweiseitig, einseitig rechtsseitig oder linksseitig testen m\u00f6chte. Neben dem resultierenden z-Wert wird auch direkt der p-Wert ausgegeben, der uns sagt wie Wahrscheinlich diese Ergebnisse unter Annahme der H0 sind. Au\u00dferdem bekommen wir die Effekt-Gr\u00f6\u00dfe Cohen&#8217;s d ausgegeben, sowie ein sehr anschauliches Diagramm dass die Stichprobenkennwerteverteilung, sowie den Ablehnungsbereich der H0 anzeigt. Dies wird im folgenden Video noch mal im Detail gezeigt.<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.10 Z-Test in Jamovi berechnen\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/Uy-mfi5e0nw?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h1>11.11 \u00dcbungsfragen<\/h1>\n<p>Bei den folgenden Aufgaben k\u00f6nnen Sie Ihr theoretisches Verst\u00e4ndnis unter Beweis stellen. Auf den Karteikarten sind jeweils auf der Vorderseite die Frage und auf der R\u00fcckseite die Antwort dargestellt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung!<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-110\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"110\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<\/div>\n<div><\/div>\n<div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-111\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"111\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<\/div>\n<div><\/div>\n<div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-112\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"112\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<\/div>\n<div><\/div>\n<div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-113\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"113\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<\/div>\n<p>In diesem Teil sollen verschiedene Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt gepr\u00fcft werden. In Form von Multiple Choice Aufgaben soll f\u00fcr jede Aussage gepr\u00fcft werden, ob diese stimmt oder nicht.\u00a0Wenn die Aussage richtig ist, klicke auf das Quadrat am Anfang der jeweiligen Aussage. Viel Erfolg!<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-116\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"116\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<\/div>\n<div><\/div>\n<div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-114\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"114\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<\/div>\n<div><\/div>\n<div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-115\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"115\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<\/div>\n<div class=\"h5p-iframe-wrapper\"><iframe id=\"h5p-iframe-33\" class=\"h5p-iframe\" data-content-id=\"33\" style=\"height:1px\" src=\"about:blank\" frameBorder=\"0\" scrolling=\"no\"><\/iframe><\/div>\n<h1>11.12 \u00dcbungsaufgaben<\/h1>\n<h2>\u00dcbungsaufgabe Z-Test<\/h2>\n<p>Die Mitarbeiter der Burgerkette Five Profs m\u00fcssen t\u00e4glich mehrere tausend Burger zubereiten. Es wird eine Zufallsstichprobe (n = 72) aus der Belegschaft (N = 5.000) gezogen. Die 72 Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter bekommen ein exklusives Training vom Burger-Profi Patty, um schneller Burger zu braten. Nach dem Training schaffen die 72 Teilnehmer im Durchschnitt 49 Burger pro Person. Es ist bekannt, dass unsere Mitarbeiter (=Population) im Mittel 47 Burger schaffen, bei einer Varianz von 9.<\/p>\n<p>K\u00f6nnen wir nun sagen, dass das Training bei Burger-Profi Patty zu einer signifikanten Ver\u00e4nderung der Mitarbeiterleistung gef\u00fchrt hat? Berechnen Sie hierzu den Z-Wert und interpretieren Sie diesen Anhand der Z-Werte-Tabelle im Anhang.<\/p>\n<p>Die L\u00f6sung finden Sie im folgenden Video:<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.8 \u00dcbungsaufgabe Z-Test\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/6x6jiXw6dK4?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<h2>\u00dcbungsaufgabe Effektgr\u00f6\u00dfe<\/h2>\n<p>Berechnen Sie f\u00fcr das Beispiel oben die Effektst\u00e4rke Cohens&#8216; d.<\/p>\n<p>Die L\u00f6sung finden Sie im folgenden Video:<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"11.9 \u00dcbungsaufgabe Effektgr\u00f6\u00dfe\" width=\"500\" height=\"281\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/1pcgjfP9PqE?feature=oembed&#38;rel=0\" frameborder=\"0\" allowfullscreen=\"allowfullscreen\"><\/iframe><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/amzn.to\/3dYLUip\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1675 size-full\" src=\"http:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2022\/03\/Buch4.jpg\" alt=\"Das Statistik Buch von Five Profs\" width=\"1200\" height=\"800\" \/><\/a><\/p>\n<hr class=\"before-footnotes clear\" \/><div class=\"footnotes\"><ol><li id=\"footnote-101-1\">Vgl. Woolston, Chris: Psychology journal bans p-values, in: Nature News &amp; Comment, 26.02.2015, [online] https:\/\/www.nature.com\/news\/psychology-journal-bans-p-values-1.17001 [12.12.2020]. <a href=\"#return-footnote-101-1\" class=\"return-footnote\" aria-label=\"Return to footnote 1\">&crarr;<\/a><\/li><li id=\"footnote-101-2\">Vgl. Amrhein, Amrhein: Das magische P, in: S\u00fcddeutsche.de, 23.09.2017, [online] https:\/\/www.sueddeutsche.de\/wissen\/wissenschaft-das-magische-p-1.3676252 [12.12.2020]. <a href=\"#return-footnote-101-2\" class=\"return-footnote\" aria-label=\"Return to footnote 2\">&crarr;<\/a><\/li><\/ol><\/div>","protected":false},"author":1,"menu_order":2,"template":"","meta":{"pb_show_title":"on","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"part":99,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/101"}],"collection":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"version-history":[{"count":54,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/101\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1869,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/101\/revisions\/1869"}],"part":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/99"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/101\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=101"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=101"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=101"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/statistikgrundlagen.de\/ebook\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=101"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}